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出版者:Fitzhenry & Whiteside Ltd

作者:Mitchell, Doug

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:

价格:$ 22.60

装帧:Pap

isbn号码:9781552440988

丛书系列:

图书标签:

微积分
高等数学
大学教材
数学分析
函数
极限
导数
积分
应用微积分
数学

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具体描述

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《微积分的基石：从极限到应用的全面解析》本书简介本书旨在为学习微积分的读者提供一个清晰、严谨且富有启发性的入门指南。我们深知微积分作为连接代数、几何与现实世界应用之间的桥梁的重要性，因此本书的设计着重于构建坚实的理论基础，并辅以大量的实际应用案例，帮助读者真正理解微积分的精髓，而非仅仅停留在公式的记忆层面。第一部分：运动与变化——极限与连续性微积分的起点在于“极限”这一核心概念。本部分将深入探讨极限的直观理解与精确定义。我们首先从运动学和无穷小量的角度引入极限的思想，然后过渡到 $epsilon-delta$ 语言的严谨表述。读者将学习如何评估各种形式的极限，包括有理函数、三角函数以及指数函数的极限。特别地，我们将详细分析当自变量趋向无穷大或无穷小时的极限行为，这对于理解函数的渐近线至关重要。紧接着，我们将探讨函数的“连续性”。连续性是微积分得以成立的先决条件。本书将通过图形和代数方法分析函数的连续点、不连续点类型（可去间断点、跳跃不连续点、无穷不连续点），并详细阐述介值定理（Intermediate Value Theorem）的强大应用。介值定理不仅是理论证明的基石，也是在工程和物理问题中证明存在性的有力工具。第二部分：瞬时变化率——导数的定义与计算导数是描述瞬时变化率的数学工具。本部分将从平均变化率过渡到瞬时变化率的极限定义——即导数的定义式。我们将清晰地阐述导数在几何上代表切线的斜率，在物理上代表瞬时速度或加速度的意义。理论基础建立后，我们将系统地介绍导数的计算规则。从最基础的幂法则、常数倍数法则和和差法则开始，随后深入到更复杂的乘法法则、除法法则。函数复合的微分，即链式法则，将被赋予大量的篇幅进行剖析，因为它是处理复杂函数结构的关键。三角函数、指数函数 $left(e^x, a^x ight)$ 和对数函数的求导规则及其推导过程将被详尽展示。本部分的高潮在于“隐函数求导法”和“相关变化率”的应用。隐函数求导使得我们能够处理那些无法显式写出 $y=f(x)$ 形式的方程。相关变化率则将导数直接应用于现实世界的问题，例如，水箱的注水速率、气球的膨胀速度等，帮助读者建立“变化与变化”之间的定量联系。此外，我们还将介绍高阶导数及其在物理学中描述加速度和加速度的变化（急动度）中的作用。第三部分：导数的应用——优化与图像分析导数的力量在于它能揭示函数的局部和全局行为。本部分专注于利用导数进行函数分析和优化。首先，我们将利用一阶导数研究函数的单调性（增减区间）和局部极值（极大值与极小值）。我们详细解释费马定理和一阶导数检验法。随后，二阶导数被引入，用于分析函数的凹凸性（Concavity）和拐点（Inflection Points）。二阶导数检验法为确定极值的性质提供了补充和验证手段。通过结合一阶和二阶导数的信息，读者将掌握绘制任何光滑函数图像的完整流程，从寻找渐近线到确定关键的转折点。本书随后将侧重于优化问题。我们将介绍如何将实际问题（如最大化利润、最小化成本、设计最小表面积的容器）转化为微积分问题，并使用导数找到全局最优解。这部分内容需要读者具备将文字语言准确翻译成数学模型的能力。此外，我们还将介绍洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。该法则为处理 $0/0$ 和 $infty/infty$ 型不定式提供了强有力的代数工具，极大地简化了某些复杂极限的计算过程。第四部分：积累变化量——定积分与不定积分从研究瞬时变化率（导数）转向研究累积变化量（积分），这是微积分的第二个核心支柱。本部分首先从面积问题的几何直观出发，引入黎曼和（Riemann Sums）的概念，作为定积分的精确定义。读者将了解如何通过分割区间、取样点和求和来逼近曲线下的面积。接下来，本书将介绍不定积分，即导数的逆运算——反导数。我们将系统地列出基本积分公式，并详细阐述积分的线性性质。随后，我们将迎来微积分的宏伟桥梁——微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）。FTC 第一部分建立了导数和积分之间的内在联系，而 FTC 第二部分（牛顿-莱布尼茨公式）则提供了一种计算定积分的实用方法，将复杂的极限求和转化为简单的反导数运算。第五部分：积分技巧与进阶应用为了能够有效地计算复杂的定积分，掌握多种积分技巧至关重要。本部分将按部就班地讲解主要的积分技术： 1. 换元法（Substitution Rule）：这是积分中最常用和最基础的技巧，可以看作是链式法则的逆向应用。 2. 分部积分法（Integration by Parts）：基于乘法法则的逆向，尤其适用于包含指数函数和对数函数的积分。 3. 三角代换：用于处理包含 $sqrt{a^2-x^2}$、$sqrt{a^2+x^2}$ 或 $sqrt{x^2-a^2}$ 形式的表达式。 4. 有理函数的积分：主要通过部分分式分解法来处理复杂的有理分式积分。在掌握了这些技巧之后，我们将转向定积分的广泛应用，包括：几何应用：计算由旋转产生的立体体积（圆盘法、洗槽法）。物理应用：计算功、质心、液体压力等物理量。概率与统计：在连续概率分布中，计算概率和期望值。本书的叙述风格力求精确而不失生动，通过清晰的图示和循序渐进的例子，确保读者能够从容应对微积分带来的挑战，为后续的多元微积分、微分方程等高级课程打下坚实的基础。我们相信，通过系统学习本书内容，读者将不仅仅掌握计算方法，更能领悟微积分作为现代科学语言的强大和优雅。