The Nuts and Bolts of Proofs, Third Edition pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Antonella Cupillari

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2005-06-03

价格:USD 47.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780120885091

丛书系列:

图书标签:

数学
思维
数学证明
离散数学
逻辑
集合论
图论
组合数学
算法
数学基础
证明技巧
高等数学

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The Nuts and Bolts of Proof instructs students on the basic logic of mathematical proofs, showing how and why proofs of mathematical statements work. It provides them with techniques they can use to gain an inside view of the subject, reach other results, remember results more easily, or rederive them if the results are forgotten.A flow chart graphically demonstrates the basic steps in the construction of any proof and numerous examples illustrate the method and detail necessary to prove various kinds of theorems.

* The "List of Symbols" has been extended.

* Set Theory section has been strengthened with more examples and exercises.

* Addition of "A Collection of Proofs"

论逻辑的基石：严谨证明的艺术与实践作者：[请自行想象一位相关领域的资深学者] 出版社：[请自行想象一家严肃的学术出版社] --- 内容简介本书旨在为致力于掌握数学、理论计算机科学、哲学逻辑以及任何需要高度结构化论证的领域中的读者，提供一套全面、深入且极具实践性的证明方法论指导。它并非简单罗列定理或公式，而是将重点聚焦于“如何思考”和“如何构建”一个无可辩驳的论证过程。我们生活在一个信息爆炸的时代，但信息的有效性往往取决于其背后的支撑逻辑。无论是试图证明一个复杂的算法具有最优性能，还是探究一个抽象数学概念的内在一致性，严谨的证明都是通往真理的唯一途径。本书正是为那些渴望超越肤浅理解，直抵论证核心的求知者而准备的。第一部分：逻辑思维的底层架构本部分将读者从基础的逻辑框架开始，逐步建立起进行严谨证明所需的思维肌肉。我们不会将逻辑视为一种枯燥的规则集，而是视作一种精妙的语言，一种表达确定性的工具。第一章：从直感到形式的飞跃本章探讨人类直觉推理的局限性，并引入形式逻辑的基本元素：命题、联结词（与、或、非、蕴含、当且仅当）。我们将详细分析真值表，并深入探讨“蕴含”的微妙之处——这是许多初学者在证明过程中产生混淆的根源。通过大量的例子，读者将学会如何将日常语言中模糊的陈述，精确地转化为形式逻辑表达式。第二章：推理规则的精炼此章聚焦于演绎推理的核心工具箱。我们将详述诸如肯定前件（Modus Ponens）、否定后件（Modus Tollens）、析取三段论等基本规则。重点在于展示这些规则如何作为“逻辑的公理”，在每一步推理中确保信息的有效传递。我们引入自然演绎系统（Natural Deduction）的基本概念，展示如何通过一系列有效推理步骤，从一组前提中推导出结论，而非仅仅依赖经验或猜测。第三章：量词的精确使用对于涉及无限集合或普遍性的陈述，量词（全称 $forall$ 和存在 $exists$）是不可或缺的。本章将细致区分“存在一个 $x$ 使得 $P(x)$ 成立”与“对于所有 $x$ 都有 $P(x)$ 成立”之间的巨大差异。我们将专门探讨量词的辖域、嵌套以及如何安全地在证明中引入或消除它们，避免常见的“存在性陷阱”。第二部分：核心证明策略的深度剖析这一部分是本书的实践核心，详细讲解了数学和逻辑领域中最常用、最强大的几种证明范式。每种方法都将通过清晰的结构分解和多角度的案例分析来阐述其适用场景和潜在的陷阱。第四章：直接证明：从A到B的坦途直接证明是最直观的方法，它要求我们从已知的前提（A）出发，通过一系列逻辑蕴含的步骤，直接到达目标结论（B）。本章将构建一个“证明蓝图”，教导读者如何逆向工程地思考——从结论B出发，寻找它可能依赖的更简单结论，直到回溯到初始前提A。我们将使用代数恒等式、集合论的定义等具体实例，示范如何组织一个清晰、易于追踪的直接证明链条。第五章：反证法：论证的反向打击反证法（Reductio ad Absurdum）是证明中的一把利刃，尤其适用于那些难以直接构造路径的命题。本章将详细解释其工作原理：假设结论不成立，并由此推导出与已知事实（公理、已证定理或初始假设）相矛盾的荒谬结果，从而证明原结论必然为真。我们将深入探讨如何识别“荒谬”的确切形式，并展示反证法在证明无理性数（如 $sqrt{2}$）或证明某些集合的无限性时的经典应用。第六章：对立面：逆否命题的强大力量许多命题 $P implies Q$ 似乎难以证明，但其逻辑等价的逆否命题 $ eg Q implies eg P$ 却可能一目了然。本章致力于揭示逆否命题证明的威力。我们将通过对比直接证明和逆否命题证明的效率，帮助读者培养在遇到证明瓶颈时切换视角的能力。通过对条件句的深入理解，读者将掌握何时应当直接攻击，何时应该绕道而行。第七章：数学归纳法：对无限的结构化掌控数学归纳法是对自然数集合上命题进行证明的最重要技术。本章超越了简单的“基础步骤”和“归纳步骤”的机械操作，探讨归纳法的深层含义——它是一种对递归结构的精确建模。我们将区分强归纳法（Strong Induction）和弱归纳法（Weak Induction），并展示其在图论、序列分析和初等数论中的应用。此外，还将涵盖归纳法在证明不可能性（如对某些结构进行染色或覆盖）方面的巧妙运用。第三部分：高级构造与论证技巧本部分涵盖了更复杂、更抽象的证明场景，需要读者将前两部分建立的基础融会贯通。第八章：构造性证明与非构造性证明的辩证并非所有证明都必须提供一个具体的例子。本章将探讨构造性证明（Constructive Proofs），即明确给出满足条件的对象的具体构造过程；并将其与非构造性证明（Non-Constructive Proofs，如基于良序原理或选择公理的证明）进行对比。我们将分析在不同学科领域中，对“存在性”的不同哲学要求，以及如何选择合适的证明策略来满足这些要求。第九章：鸽巢原理及其推广鸽巢原理（Pigeonhole Principle）看似简单，却是解决许多组合问题和存在性问题的强大工具。本章不仅介绍其基础形式，还将深入探讨其推广形式——“广义鸽巢原理”，并演示如何将其应用于区间划分、函数映射分析等领域，用以证明在特定约束条件下必然存在重复或聚集的现象。第十集：案例研究：复杂命题的解构本章精选了三个不同领域（例如，一个关于算法效率的证明，一个关于拓扑空间性质的证明，以及一个关于逻辑系统完备性的证明）的经典案例。通过对这些案例的“白板分析”，我们将展示证明是如何在实践中逐步成型的：如何提炼关键引理，如何识别障碍，以及如何优雅地组织论证的层次结构，使最终的证明既严谨又易于理解。结语：走向自洽的论证本书的最终目标是培养读者一种内在的“逻辑敏感性”。一旦掌握了这些工具，读者将不仅能理解他人的证明，更能自信地构建自己的论证。严谨的证明不是知识的堆砌，而是一种艺术——是对真理的精确、无懈可击的表达。掌握这些“螺丝和铆钉”，你将能搭建起属于自己的知识大厦。 --- 目标读者：计算机科学专业本科生、研究生；数学、物理、哲学等学科的高年级学生；需要进行形式化验证和高精度论证的专业人士。本书特色：强调思维过程而非单纯结果；丰富的练习题（不含解答，鼓励读者自行构建推理链）；侧重于如何从“已知”安全地推导出“未知”。