Nonlinear Semigroups, Fixed Points, and Geometry of Domains in Banach Spaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Shokhet, David

出品人:

页数:354

译者:

出版时间:

价格:$ 144.64

装帧:HRD

isbn号码:9781860945755

丛书系列:

图书标签:

Nonlinear Semigroups
Fixed Point Theory
Banach Spaces
Functional Analysis
Domain Theory
Geometric Analysis
Operator Theory
Differential Equations
Evolution Equations
Abstract Analysis

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具体描述

Nonlinear semigroup theory is not only of intrinsic interest, but is also important in the study of evolution problems. In the last forty years, the generation theory of flows of holomorphic mappings has been of great interest in the theory of Markov stochastic branching processes, the theory of composition operators, control theory, and optimization. It transpires that the asymptotic behavior of solutions to evolution equations is applicable to the study of the geometry of certain domains in complex spaces. Readers are provided with a systematic overview of many results concerning both nonlinear semigroups in metric and Banach spaces and the fixed point theory of mappings, which are nonexpansive with respect to hyperbolic metrics (in particular, holomorphic self-mappings of domains in Banach spaces). The exposition is organized in a readable and intuitive manner, presenting basic functional and complex analysis as well as very recent developments.

好的，这是一份关于《非线性半群、不动点与巴拿赫空间中区域的几何学》一书的详细内容概述，侧重于介绍该领域的核心概念、历史发展、主要工具以及该领域在现代数学中的重要性。 --- 《非线性半群、不动点与巴拿赫空间中区域的几何学》内容概述本书深入探讨了泛函分析与几何学交叉领域的一个核心主题：巴拿赫空间中非线性算子的动力学行为，特别关注非线性半群、不动点理论及其在复杂几何结构中的应用。该领域的研究旨在理解无限维空间中演化过程的稳定性和渐近行为，是偏微分方程、动力系统、优化理论和几何分析等多个学科的基石。第一部分：泛函分析基础与巴拿赫空间几何本书的起点是为读者建立必要的数学框架。这包括对巴拿赫空间（Banach Spaces）的深入回顾，强调其在几何结构上的特性，例如光滑性（Smoothness）、凸性（Convexity）以及对范数敏感的性质。 1. 巴拿赫空间的几何特性：详细讨论了有界线性算子的性质、凸集和凸包的概念。特别关注了那些在不动点理论中扮演关键角色的特殊空间，如局部凸拓扑空间（Locally Convex Topological Spaces）和一些具体的函数空间（如 $L^p$ 空间和索伯列夫空间）。 2. 拓扑度量与逼近：介绍了测度理论在无限维空间中的应用，特别是关于“直径”和“紧性”的讨论。这为理解后续的非线性算子奠定了基础。第二部分：不动点理论的演进与核心工具不动点理论是研究映射在特定点上保持不变性的数学分支。本书系统梳理了该理论从有限维到无限维的演进，并侧重于那些能够处理非线性、非紧映射的关键工具。 1. 经典不动点定理的回顾与推广：涵盖了 Brouwer 不动点定理和 Schauder 不动点定理，并着重讨论了它们在巴拿赫空间中的局限性。 2. 度量空间上的不动点：重点介绍了 Banach 压缩映射原理及其在完备度量空间中的普适性。随后，引入了更具代表性的工具——不动点指数理论（Fixed Point Index Theory）。该理论为处理非紧算子提供了强有力的代数拓扑工具，是分析奇点和轨道结构的关键。 3. 拓扑度（Topological Degree）与算子理论：深入探讨了 Leray-Schauder 理论，它将不动点问题转化为一个更易于处理的拓扑问题。本书详细阐述了如何构造和计算这些度，以及它们在证明解的存在性、唯一性以及分支现象中的作用。 4. 非紧性测度（Measures of Non-Compactness, MNCs）：专门章节讨论了 Kuratowski-Sperner 测度和其他 MNCs，如 Darbo 测度。这些工具允许我们将不动点问题转化为在紧凑空间上的等价问题，极大地拓宽了不动点理论的应用范围。第三部分：非线性半群：演化方程的视角非线性半群理论是描述一类演化方程解的渐近行为的强大框架。本书将动力系统的观点引入到巴拿赫空间中，分析算子族的演化特性。 1. 生成元与 $C_0$ 半群：介绍了半群的 Hille-Yosida 定理，虽然这主要针对线性情况，但它为理解非线性半群的构造提供了背景。 2. 非线性半群的定义与构造：核心在于 Hadamard 导数（Hadamard Derivative）和 Fréchet 导数在非线性算子上的应用。本书详细讨论了如何利用这些工具定义非线性半群的生成元，并讨论了粘性解（Viscosity Solutions）的概念在非线性演化方程中的重要性。 3. 收缩映射与渐进行为：研究了半群的稳定性和吸引子（Attractors）的存在性。这涉及到对耗散性（Dissipativity）和半群的全局性质的分析。第四部分：巴拿赫空间中区域的几何学与边界行为本部分将理论工具与具体的空间几何结构相结合，探讨算子作用下区域的变形和不变性。 1. 凸性与算子的限制：讨论了哪些类型的非线性算子能够保持凸性，以及如何利用凸性来保证不动点的存在。例如，对凹算子（Concave Operators）和扩张算子（Expansive Operators）的分析。 2. 几何不动点理论：侧重于对特定几何结构（如星形域、凸锥）上的映射进行研究。这部分内容与优化和变分问题紧密相关，探讨了在几何约束下，不动点或鞍点（Saddle Points）的特征。 3. 区域收缩（Domain Contraction）与膨胀：分析了算子如何影响其定义域的拓扑和几何性质。这在研究流体动力学和弹性理论中的稳定性问题时至关重要。第五部分：应用与前沿方向本书最后部分简要概述了这些理论在具体数学分支中的应用，展示了其强大的工具价值。 1. 非线性积分方程与微分方程：展示如何利用不动点指数和半群理论来证明特定非线性积分方程（如 Volterra 方程）和偏微分方程（如非线性热方程、Navier-Stokes 方程的简化版本）的解的存在性和唯一性。 2. 变分法与优化：讨论了这些工具在求解凸优化问题和寻找鞍点中的应用，特别是针对那些目标函数不光滑的情况。 3. 随机动力系统：简要引入了随机扰动下的非线性半群，探索了在不确定性下系统的长期行为。总结：本书旨在为研究生和研究人员提供一个全面而严谨的视角，连接了纯粹的泛函分析、拓扑学工具以及现代应用数学中的核心问题。它不仅是关于存在性证明的指南，更是关于如何理解无限维系统中复杂映射动态行为的几何学和拓扑学语言的深入探讨。全书强调从具体几何直觉出发，发展出处理无限维困难的抽象工具。