Problems and Solutions in Group Theory F pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Ma, Zhong-Qi/ Gu, Xiao-Yan

出品人:

页数:450

译者:

出版时间:2004-9

价格:$ 78.00

装帧:Pap

isbn号码:9789812388339

丛书系列:

图书标签:

群论
数学
代数
问题求解
高等教育
教材
习题集
数学分析
抽象代数
大学教材

下载链接在页面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 复制链接

想要找书就要到本本书屋

onlinetoolsland.com

立刻按 ctrl+D收藏本页

你会得到大惊喜!!

具体描述

This book is aimed at graduate students in physics who are studying group theory and its application to physics. It contains a short explanation of the fundamental knowledge and method, and the fundamental exercises for the method, as well as some important conclusions in group theory. The book has been designed as a supplement to the author's textbook Group Theory for Physicists, also published by World Scientific. Together these two books can be used in a course on group theory for first-year graduate students in physics, especially theoretical physics. They are also suitable for some graduate students in theoretical chemistry.

《抽象代数核心概念解析》内容简介本书旨在为高等数学专业学生、研究生以及对代数结构有深入探究需求的读者，提供一套全面而严谨的抽象代数理论基础。全书聚焦于群论、环论和域论的核心概念、基本定理及其精妙的结构性质，力求在概念的清晰阐释与证明的逻辑严密性之间达到完美平衡。本书不依赖于任何特定的习题集结构，而是通过详尽的理论构建和关键例证，引导读者真正掌握抽象代数的思维方式。第一部分：群论的基石与结构本书的开篇部分致力于为读者打下坚实的群论基础。我们从集合上的二元运算和基本代数律出发，严格定义了群的公理体系。随后，深入探讨了子群、陪集和正规子群这些构成群结构的要素。 1.1 群的定义与初探：详细剖析了群的四个基本性质，并通过具体的例子——如整数加法群、非零有理数乘法群、对称群 $S_n$ 以及一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$——来展示不同类型的群的特性。特别关注了交换群（Abelian Groups）的特性，并初步引入了阶的概念。 1.2 子群与陪集：深入研究了子群的判定法则和性质。陪集的引入是理解商群结构的关键一步。我们详细阐述了左陪集与右陪集的区别与联系，并利用拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）作为第一个重要的结构性结论，证明了有限群的阶与其子群的阶之间的深刻关系。拉格朗日定理的证明过程被分解为逻辑清晰的步骤，强调了陪集分解的等价关系性质。 1.3 同态与同构：群同态作为保持运算结构的映射，是连接不同群结构的桥梁。本书不仅定义了同态和同构，还深入分析了核（Kernel）和像（Image）的性质，证明了核是正规子群，像是子群这一核心结论。同构定理（Isomorphism Theorems）被系统地介绍和应用，特别是第一同构定理，它揭示了商群与像之间的本质同一性。 1.4 正规子群与商群（因子群）：正规子群的性质是构造新群——商群——的前提。本书详述了判断一个子群是否为正规子的多种等价条件。商群 $mathrm{G/N}$ 的定义基于陪集运算，我们仔细验证了该运算的良好定义性，并探讨了商群的阶与原群、子群的阶之间的关系。 1.5 群的作用与应用：我们将视角扩展到群作用（Group Actions）上，探讨了群如何通过作用在集合上实现其结构。这部分内容包括轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念，以及这些概念在证明群论定理中的强大作用，例如柯西定理（Cauchy's Theorem）和西洛夫定理（Sylow Theorems）的初步介绍。第二部分：有限群的结构分解本部分着重于对有限群的结构进行更精细的分解，特别是对于阿贝尔群的分类。 2.1 循环群与生成元：循环群是群论中最基础且最易于理解的结构。我们详细讨论了循环群的生成元、阶以及其同构分类。任何循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 2.2 直积：引入了直积（Direct Products）的概念，用于构造新的群。通过内部直积和外部直积的区分，展示了如何从已知的群中构建更大的群，特别是对外直积与半直积（Semi-direct Products）的区别和应用进行了细致的辨析。 2.3 有限阿贝尔群的基本定理：这是有限群结构理论的高峰之一。本书详细阐述了有限阿贝尔群的基本定理（Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups），并给出了其证明思路。该定理断言任何有限阿贝尔群都同构于一些初等因子群 $mathbb{Z}_{p_i^{k_i}}$ 的直积。这为我们提供了一个对有限阿贝尔群进行分类的完备工具。第三部分：环论的基础与结构从群论过渡到环论，我们引入了第二个重要的代数结构——环，它包含了两个运算：加法和乘法。 3.1 环的定义与基本性质：严格定义了环（Ring）的公理，区分了交换环、单位环以及整环（Integral Domains）。通过实例分析了矩阵环、多项式环 $R[x]$ 的结构。 3.2 子环、理想与商环：理想（Ideals）是环论中类似于正规子群的概念。本书强调了理想在定义商环（Factor Rings）中的关键作用。我们详细验证了商环 $mathrm{R/I}$ 上的运算是良定义的，并重述了环同态定理（Ring Homomorphism Theorems）。 3.3 整环与域：整环的特性在于其乘法运算满足消去律。域（Field）则要求所有非零元素在乘法下均有逆元。本书明确了域的特殊地位，并证明了任何有限整环都是一个域。 3.4 主理想域与欧几里得整环：我们进入了更具构造性的领域，探讨了具有特定性质的环。主理想域（Principal Ideal Domains, PIDs）是所有理想均为主理想的整环。欧几里得整环（Euclidean Domains）是PIDs的一个子类，它们具有“除法算法”的性质，这使得我们在这些环中能够进行类似最大公约数（GCD）的计算。我们证明了欧几里得整环必是主理想域。第四部分：域与域扩张本书的最后部分聚焦于域（Fields）的性质，特别是域扩张（Field Extensions）的概念，这是代数几何和伽罗瓦理论的必要前奏。 4.1 域扩张的基本概念：定义了域 $E$ 对域 $F$ 的扩张，并引入了扩张次数 $[E:F]$ 的概念。我们通过构造 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 来探索如何生成新的域。 4.2 多项式环与不可约性：详细讨论了多项式在域上的分解，特别是不可约多项式（Irreducible Polynomials）的概念，它们是构造域扩张的基本“砖块”。我们运用高斯引理（Gauss's Lemma）等工具来判定多项式的有理根和不可约性。 4.3 构造域：阐述了如何通过在域中“添加”一个代数元素来构造扩张域。特别关注了分裂域（Splitting Fields）和代数闭包（Algebraic Closures）的存在性，为解决多项式方程提供了完备的代数框架。本书的整体结构设计，旨在通过清晰的逻辑流，引导读者从基础代数结构（群）稳步迈向更复杂的代数对象（环和域），强调理论之间的相互联系和演进，以培养读者对抽象代数深层次结构美的理解和运用能力。全书注重理论的严谨推导，力求使读者在掌握必要计算工具的同时，对代数结构的本质有深刻的洞察。