Introduction to Several Complex Variables pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Siu, Yum-Tong

出品人:

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译者:

出版時間:

價格:0.00 元

裝幀:HRD

isbn號碼:9789812386908

叢書系列:

圖書標籤:

• 復分析
• 多復變量
• 解析函數
• 柯西積分公式
• 留數定理
• 全純函數
• 復流形
• 代數幾何
• 拓撲學
• 數學分析

復雜分析中的嚴謹探索：從單變量到多變量的橋梁 書名：Introduction to Several Complex Variables 內容提要： 本書旨在為讀者提供一個紮實而深入的、關於多復變量函數理論（Functions of Several Complex Variables, FSCV）的入門性導論。雖然書名直指多復變量，但其內容組織緊密圍繞著為讀者構建一座堅實的橋梁，從讀者可能已熟悉的單復變量復分析（Complex Analysis in One Variable）基礎，平穩過渡到多變量環境下的全新現象、挑戰與深邃理論。本書的敘述風格力求嚴謹又不失啓發性，避免瞭僅僅羅列定理的枯燥，而是著重於闡釋多變量幾何結構如何根本性地改變瞭復分析的內在邏輯。 第一部分：迴顧與基礎重塑 (The Foundation Revisited) 本部分首先對單復變量的經典理論進行一次精煉而關鍵的迴顧。這不僅僅是對柯西積分公式、留數定理和冪級數展開的機械重復，而是從多變量視角重新審視這些工具的局限性。我們強調瞭在單變量情況下，解析函數（Holomorphic functions）的局部性質（如局部可錶示為冪級數）與整體性質（如柯西積分公式）之間的緊密聯係。 隨後，本書引入多復變量的基本設置：$mathbb{C}^n$ 空間，以及在此空間上的復坐標 $(z_1, z_2, ldots, z_n)$。我們詳細定義瞭多變量的解析函數——即在坐標的每個分量上獨立地呈解析的函數，並立即探討瞭單變量理論中看似理所當然的性質在 $n>1$ 時的劇烈變化。 核心關注點： 局部解析性與全局解析性的分離： 與單變量理論不同，多變量函數在開區域上局部解析（即在每個變量上獨立解析）並不必然意味著它在整個區域上可以錶示為“多重冪級數”。我們引入瞭Hartogs' Rigidity Theorem（哈茨格斯剛性定理），這是多復變量理論的裏程碑，它錶明，在 $mathbb{C}^n, n ge 2$ 中，局部解析性確實蘊含瞭全局的冪級數展開能力。本書詳細闡釋瞭證明該定理所需的關鍵工具，特彆是關於全純函數對單變量的依賴性分析。 微分形式的引入： 為瞭更精細地刻畫多變量函數的結構，本書係統地介紹瞭 $mathbb{C}^n$ 上的微分形式，特彆是全純微分形式（Holomorphic differential forms）。這包括瞭對復數形式的結構 $(p, q)$ 的精確定義，以及與 $partial$ 和 $ar{partial}$ 算子相關的概念。我們強調 $partial$ 算子在多變量分析中的核心地位，它取代瞭單變量中的復導數 $dz$ 的作用。 第二部分：多變量的拓撲與幾何（Geometry and Topology in $mathbb{C}^n$） 多復變量分析的精髓在於其幾何背景。本部分緻力於深入探討在 $mathbb{C}^n$ 中，解析集的拓撲和幾何性質。 多重積分與柯西公式的推廣： 我們需要重新審視柯西積分公式。在 $n$ 維，積分不再是在一個簡單的閉閤麯綫上，而是在一個 $2n-1$ 維的邊界上。本書詳述瞭多重柯西積分公式（Cauchy Integral Formula in several variables），以及它在定義和研究全純函數時的重要性。 多重區域的定義與特徵： 單變量復分析主要關注單連通區域（如圓盤）。然而，在 $mathbb{C}^n$ 中，區域的“凸性”變得復雜。本書詳細區分瞭以下幾種關鍵的凸性概念： 凸性 (Convexity) 星形凸性 (Star Convexity) 僞凸性 (Pseudoconvexity) 我們強調，在多變量分析中，僞凸性是替代傳統凸性來確保 $ar{partial}$ 方程可解性的最自然、最根本的幾何條件。通過構造 Levi 形式 (Levi Form)，我們提供瞭判斷區域是否為僞凸的實際工具，這是全純函數理論與偏微分方程理論交匯的關鍵點。 第三部分：偏微分方程與 $ar{partial}$ 問題（The $ar{partial}$ Problem） 多復變量理論的核心難點在於，解析函數必須滿足 $n$ 個耦閤的偏微分方程，即 $frac{partial f}{partial ar{z}_k} = 0$ 對所有 $k=1, ldots, n$ 成立。這被統一概括為 $ar{partial}$-Neumann 問題。 $ar{partial}$ 方程的可解性： 本部分深入探討瞭在給定開集 $Omega$ 上，對於一個給定的 $(cdot, q-1)$ 型微分形式 $omega$，求解 $ar{partial} u = omega$ 的問題（其中 $u$ 是一個 $(cdot, q-1)$ 型函數）。本書詳細介紹瞭在僞凸區域上，通過龐加萊引理的推廣（即在僞凸區域上構造齣 $ar{partial}$-Neumann 算子的基本解）來保證該方程的可解性。 Hodge 理論的初步接觸： 在討論解的存在性和正則性時，本書引入瞭 $ar{partial}$-Laplacian (或稱為 $ar{partial}_b$-Laplacian 的簡化版)，並簡要介紹瞭如何利用其正定性來保證解的正則性（即 $L^2$ 估計和 Sobolev 估計），這是連接復分析與現代偏微分方程理論的橋梁。 第四部分：全純映射與莫比烏斯變換的推廣 本書的最後一部分將焦點轉嚮函數間的映射，探討多變量中的自同構群。 多重莫比烏斯變換： 探討 $mathbb{C}^n$ 上的全純自同構（Bijective holomorphic maps）的結構。我們研究瞭單位球 $mathbb{B}^n$ 和單位多圓盤 $mathbb{D}^n$ 上的自同構群，並揭示瞭它們在幾何性質上的顯著差異。 Siegel 域與經典域： 簡要介紹經典域（如 Siegel 域）在復雜動力學和經典群論中的重要性，它們是單位球在 $n>1$ 時的自然推廣，並且它們保持瞭許多重要的解析性質。 總結與讀者定位： 本書內容超越瞭標準的復分析課程，它為緻力於深入研究微分幾何、代數幾何、或高維偏微分方程的數學傢、物理學傢和工程師提供瞭必要的、結構化的多復變量基礎。讀者應具備紮實的單復變量復分析基礎，並對基礎的拓撲學和實分析有所瞭解。本書的每一章都包含大量精心設計的習題，旨在促使讀者主動參與到多變量幾何結構的構建與分析過程中。我們旨在讓讀者理解，多復變量分析不是單變量分析的簡單疊加，而是一個包含全新深刻洞見的獨立且迷人的數學領域。

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