Beginning Algebra, 4th Edition pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:K. Elayn Martin-Gay

出品人:

页数:654

译者:

出版时间:2004-5-2

价格:USD 138.67

装帧:Hardcover

isbn号码:9780131444447

丛书系列:

图书标签:

Algebra
Beginning Algebra
Mathematics
Textbook
Education
College
4th Edition
入门代数
数学
学习

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具体描述

《高等代数：原理与应用》内容提要《高等代数：原理与应用》旨在为读者提供一个深入而全面的代数知识体系，涵盖从基础概念到高级理论的广泛内容。本书特别强调代数结构之间的内在联系、理论的严谨性以及在现代科学和工程领域中的实际应用。它不仅是高等院校数学、物理、计算机科学及工程类专业本科生的核心教材，也是希望系统回顾或深化代数知识的自学者和研究人员的理想参考书。全书共分为十二章，逻辑清晰，循序渐进。第一部分：基础回顾与结构引入 (第1章 - 第3章) 第1章：集合论与逻辑基础本章首先对高等代数所需的基础集合论工具进行梳理，包括集合的运算、函数、映射的性质（单射、满射、双射）以及基数的初步概念。随后，重点引入命题逻辑与谓词逻辑的基本规则，确保读者对数学证明的底层逻辑框架有清晰的理解。对归纳法和反证法在代数证明中的应用进行了详尽的实例分析。第2章：群论的初步探索群是抽象代数的核心结构。本章从二元运算的封闭性、结合律、单位元和逆元这四个基本公理出发，严谨地构造了最基础的群概念。我们深入讨论了有限群的性质，包括拉格朗日定理及其推论，如子群的阶必须整除群的阶。对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 作为具体实例被详细剖析，特别是对 $S_n$ 中置换的分解和奇偶性的讨论，为后续的环和域理论奠定基础。第3章：同态、同构与子群本章将群论的视角提升到结构映射层面。详细阐述了群同态的定义、核（Kernel）与像（Image）的性质，并证明了第一同构定理——这是连接商群结构与同态性质的关键桥梁。子群的性质被进一步细化，包括生成子群、陪集（Left and Right Cosets）的概念及其在划分群中的作用。正规子群的引入，是构建商群（Factor Groups）的必要条件，本章通过严格的定义和构造性证明，展示了商群如何形成一个新的、更简单的群结构。第二部分：环论与域的深入研究 (第4章 - 第7章) 第4章：环的代数结构环的引入将代数运算从一个（加法）扩展到两个（加法与乘法）。本章从加法交换群和乘法幺半环的性质出发，定义了交换环与非交换环。单位元、零因子、整环（Integral Domains）的概念被清晰界定。特别关注了多项式环 $R[x]$ 的性质，其中 $R$ 是一个环。对多项式除法算法的严谨证明，是本章的重点之一。第5章：理想与商环理想（Ideals）作为环中的特殊子环，扮演着类似群论中正规子群的角色。本章详细讨论了左、右、双边理想的定义与性质，并证明了双边理想是构造商环（Quotient Rings）的唯一途径。极大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals）的特性被深入探究，它们与域和整环的直接联系是本章理论的升华。第6章：整环中的特殊结构：欧几里得整环、主理想整环与唯一因子域本章聚焦于具有良好除法性质的环。引入了整除性、最大公约数（GCD）的概念。欧几里得整环（Euclidean Domains）因其算法上的便利性而受到重点关注，例如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$。随后，通过链式推理，展示了欧几里得整环是主理想整环（Principal Ideal Domains, PID），而PID是唯一因子域（Unique Factorization Domains, UFD）的充分条件。本书提供了反例，说明 UFD 不一定是 PID。第7章：域的构造与扩张域（Fields）作为加法和乘法运算都可逆的代数结构，是线性代数和伽罗瓦理论的基础。本章的核心在于通过构造“分数域”（Field of Quotients），将任何一个整环扩展为一个域。此外，对于多项式环 $F[x]$，通过构造商环 $F[x] / langle p(x) angle$，讲解了如何从一个域 $F$ 构造出一个包含 $p(x)$ 的根的新域，这是代数数论和域扩张理论的基石。第三部分：线性代数基础与向量空间 (第8章 - 第10章) 第8章：向量空间与子空间线性代数作为代数结构的应用典范，在本部分展开。向量空间（Vector Spaces）的八条公理被详细列出。本章侧重于有限维向量空间的性质，包括线性相关性、线性无关组、基（Basis）的概念，以及维数（Dimension）的唯一性定理。子空间、生成集以及子空间的和与交的维度公式得到充分论证。第9章：线性变换与矩阵表示线性变换（Linear Transformations）是连接不同向量空间的桥梁。本章详细分析了线性变换的核（Null Space）和像（Range），以及秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的普适性。矩阵作为线性变换在特定基下的表示，其变化规律（相似变换）被深入探讨。特征值与特征向量的求解，以及矩阵对角化的条件，为系统动力学和量子力学中的应用做了铺垫。第10章：内积空间与正交性内积空间（Inner Product Spaces）为抽象的向量空间引入了几何概念，如长度、角度和正交性。本章讨论了实内积和复内积的区别。正交基的构造——特别是施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization）——被作为关键算法详细讲解。对于线性变换，本章引入了伴随算子（Adjoint Operators）的概念，为后续研究对称矩阵和正规矩阵的性质提供了代数工具。第四部分：高级主题与应用 (第11章 - 第12章) 第11章：多项式环的深入分析本章回归到对特定环 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 的深入研究。在 $mathbb{Z}$ 中，本章讨论了模运算（Congruences）及其在数论中的应用，如中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）。在 $F[x]$ 中，着重于不可约多项式的概念，并系统阐述了域扩张中最小多项式（Minimal Polynomial）的性质，这是构造有限域和理解伽罗瓦理论的必要前提。第12章：有限域与应用初探有限域（Finite Fields），特别是伽罗瓦域 $GF(p^n)$ 的存在性与唯一性被证明。本章展示了如何利用这些域来构造纠错码（如 BCH 码的基础）和设计加密算法（如有限域上的离散对数问题）。此外，还简要探讨了代数拓扑中基本群（Fundamental Group）的代数描述，展示了代数结构在非纯数学领域的影响力。本书特色理论与应用的平衡：每一个抽象概念的引入都伴随着至少一个清晰的、可操作的实例。证明的严谨性：所有关键定理均提供完整的、可复现的代数证明。丰富的习题集：每章末尾包含不同难度梯度的习题，从基础运算到开放性研究问题，确保读者能够主动构建知识网络。适用读者数学、物理、计算机科学、信息安全、电子工程等专业本科生和研究生。