Beginning Algebra, 4th Edition pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Prentice Hall

作者:K. Elayn Martin-Gay

出品人:

頁數:654

译者:

出版時間:2004-5-2

價格:USD 138.67

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780131444447

叢書系列:

圖書標籤:

• Algebra
• Beginning Algebra
• Mathematics
• Textbook
• Education
• College
• 4th Edition
• 入門代數
• 數學
• 學習

《高等代數：原理與應用》 內容提要 《高等代數：原理與應用》旨在為讀者提供一個深入而全麵的代數知識體係，涵蓋從基礎概念到高級理論的廣泛內容。本書特彆強調代數結構之間的內在聯係、理論的嚴謹性以及在現代科學和工程領域中的實際應用。它不僅是高等院校數學、物理、計算機科學及工程類專業本科生的核心教材，也是希望係統迴顧或深化代數知識的自學者和研究人員的理想參考書。 全書共分為十二章，邏輯清晰，循序漸進。 第一部分：基礎迴顧與結構引入 (第1章 - 第3章) 第1章：集閤論與邏輯基礎 本章首先對高等代數所需的基礎集閤論工具進行梳理，包括集閤的運算、函數、映射的性質（單射、滿射、雙射）以及基數的初步概念。隨後，重點引入命題邏輯與謂詞邏輯的基本規則，確保讀者對數學證明的底層邏輯框架有清晰的理解。對歸納法和反證法在代數證明中的應用進行瞭詳盡的實例分析。 第2章：群論的初步探索 群是抽象代數的核心結構。本章從二元運算的封閉性、結閤律、單位元和逆元這四個基本公理齣發，嚴謹地構造瞭最基礎的群概念。我們深入討論瞭有限群的性質，包括拉格朗日定理及其推論，如子群的階必須整除群的階。對稱群 $S_n$ 和二麵體群 $D_n$ 作為具體實例被詳細剖析，特彆是對 $S_n$ 中置換的分解和奇偶性的討論，為後續的環和域理論奠定基礎。 第3章：同態、同構與子群 本章將群論的視角提升到結構映射層麵。詳細闡述瞭群同態的定義、核（Kernel）與像（Image）的性質，並證明瞭第一同構定理——這是連接商群結構與同態性質的關鍵橋梁。子群的性質被進一步細化，包括生成子群、陪集（Left and Right Cosets）的概念及其在劃分群中的作用。正規子群的引入，是構建商群（Factor Groups）的必要條件，本章通過嚴格的定義和構造性證明，展示瞭商群如何形成一個新的、更簡單的群結構。 第二部分：環論與域的深入研究 (第4章 - 第7章) 第4章：環的代數結構 環的引入將代數運算從一個（加法）擴展到兩個（加法與乘法）。本章從加法交換群和乘法幺半環的性質齣發，定義瞭交換環與非交換環。單位元、零因子、整環（Integral Domains）的概念被清晰界定。特彆關注瞭多項式環 $R[x]$ 的性質，其中 $R$ 是一個環。對多項式除法算法的嚴謹證明，是本章的重點之一。 第5章：理想與商環 理想（Ideals）作為環中的特殊子環，扮演著類似群論中正規子群的角色。本章詳細討論瞭左、右、雙邊理想的定義與性質，並證明瞭雙邊理想是構造商環（Quotient Rings）的唯一途徑。極大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals）的特性被深入探究，它們與域和整環的直接聯係是本章理論的升華。 第6章：整環中的特殊結構：歐幾裏得整環、主理想整環與唯一因子域 本章聚焦於具有良好除法性質的環。引入瞭整除性、最大公約數（GCD）的概念。歐幾裏得整環（Euclidean Domains）因其算法上的便利性而受到重點關注，例如 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$。隨後，通過鏈式推理，展示瞭歐幾裏得整環是主理想整環（Principal Ideal Domains, PID），而PID是唯一因子域（Unique Factorization Domains, UFD）的充分條件。本書提供瞭反例，說明 UFD 不一定是 PID。 第7章：域的構造與擴張 域（Fields）作為加法和乘法運算都可逆的代數結構，是綫性代數和伽羅瓦理論的基礎。本章的核心在於通過構造“分數域”（Field of Quotients），將任何一個整環擴展為一個域。此外，對於多項式環 $F[x]$，通過構造商環 $F[x] / langle p(x) angle$，講解瞭如何從一個域 $F$ 構造齣一個包含 $p(x)$ 的根的新域，這是代數數論和域擴張理論的基石。 第三部分：綫性代數基礎與嚮量空間 (第8章 - 第10章) 第8章：嚮量空間與子空間 綫性代數作為代數結構的應用典範，在本部分展開。嚮量空間（Vector Spaces）的八條公理被詳細列齣。本章側重於有限維嚮量空間的性質，包括綫性相關性、綫性無關組、基（Basis）的概念，以及維數（Dimension）的唯一性定理。子空間、生成集以及子空間的和與交的維度公式得到充分論證。 第9章：綫性變換與矩陣錶示 綫性變換（Linear Transformations）是連接不同嚮量空間的橋梁。本章詳細分析瞭綫性變換的核（Null Space）和像（Range），以及秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的普適性。矩陣作為綫性變換在特定基下的錶示，其變化規律（相似變換）被深入探討。特徵值與特徵嚮量的求解，以及矩陣對角化的條件，為係統動力學和量子力學中的應用做瞭鋪墊。 第10章：內積空間與正交性 內積空間（Inner Product Spaces）為抽象的嚮量空間引入瞭幾何概念，如長度、角度和正交性。本章討論瞭實內積和復內積的區彆。正交基的構造——特彆是施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthonormalization）——被作為關鍵算法詳細講解。對於綫性變換，本章引入瞭伴隨算子（Adjoint Operators）的概念，為後續研究對稱矩陣和正規矩陣的性質提供瞭代數工具。 第四部分：高級主題與應用 (第11章 - 第12章) 第11章：多項式環的深入分析 本章迴歸到對特定環 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 的深入研究。在 $mathbb{Z}$ 中，本章討論瞭模運算（Congruences）及其在數論中的應用，如中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）。在 $F[x]$ 中，著重於不可約多項式的概念，並係統闡述瞭域擴張中最小多項式（Minimal Polynomial）的性質，這是構造有限域和理解伽羅瓦理論的必要前提。 第12章：有限域與應用初探 有限域（Finite Fields），特彆是伽羅瓦域 $GF(p^n)$ 的存在性與唯一性被證明。本章展示瞭如何利用這些域來構造糾錯碼（如 BCH 碼的基礎）和設計加密算法（如有限域上的離散對數問題）。此外，還簡要探討瞭代數拓撲中基本群（Fundamental Group）的代數描述，展示瞭代數結構在非純數學領域的影響力。 本書特色 理論與應用的平衡： 每一個抽象概念的引入都伴隨著至少一個清晰的、可操作的實例。 證明的嚴謹性： 所有關鍵定理均提供完整的、可復現的代數證明。 豐富的習題集： 每章末尾包含不同難度梯度的習題，從基礎運算到開放性研究問題，確保讀者能夠主動構建知識網絡。 適用讀者 數學、物理、計算機科學、信息安全、電子工程等專業本科生和研究生。

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