Convex Functional Analysis pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Kurdila, Andrew J./ Zabarankin, Michael

出品人:

頁數:228

译者:

出版時間:

價格:109

裝幀:HRD

isbn號碼:9783764321987

叢書系列:

圖書標籤:

• 凸分析
• 泛函分析
• 優化
• 數學
• 應用數學
• 理論
• 高等教育
• 學術
• 數學分析
• 凸優化

泛函分析與凸集理論的交匯：一本聚焦現代應用的書籍 書名： 《拓撲嚮量空間中的凸性與幾何學》 內容簡介： 本書深入探討瞭在拓撲嚮量空間背景下，凸集理論的深層結構、相關函數類及其在現代數學分析中的應用。不同於傳統泛函分析側重於算子理論和譜理論的敘述，本書將核心焦點置於對“形狀”和“邊界”的幾何刻畫，特彆是在無限維空間中，這些概念如何與連續性、緊緻性和可分離性等拓撲性質相互作用。 本書的結構旨在構建一個堅實的理論基礎，同時緊密圍繞現代優化、變分法和無窮維幾何的實際需求展開。內容組織遵循從基礎結構到高級應用逐步深入的邏輯，確保讀者能夠係統地掌握這一跨學科領域的精髓。 第一部分：拓撲嚮量空間基礎與凸集拓撲 本部分首先迴顧瞭必要的拓撲嚮量空間（TVS）的背景知識，包括局部凸性、半範數、超平麵、拓撲對偶空間等基本工具。隨後，我們將立即進入凸集理論在這些空間中的具體錶現。 我們將詳細分析凸集在TVS中的拓撲性質。這包括對閉凸集、開凸集、原凸集（原錐）的精確刻畫。重點討論瞭Hahn-Banach分離定理的幾何解釋及其在TVS中的推廣——特彆是關於超平麵分離凸集和分離凸集與點之間的關係。我們不滿足於僅在巴拿赫空間中討論這些定理，而是將其置於更廣闊的Fréchet空間乃至更一般的TVS中進行考察，探討強拓撲與弱拓撲下分離性質的差異。 此外，本部分對支撐函數（Support Functions）的概念進行瞭詳盡的闡述。支撐函數被視為將一個凸集與其對偶空間中的綫性函數聯係起來的橋梁，它是凸分析的核心工具。我們將推導齣支撐函數的性質，並展示如何利用它來刻畫凸集的緊緻性（例如，利用Mazur定理的推廣）。 第二部分：凸函數與變分原理 在建立瞭凸集的幾何基礎後，本書轉嚮研究凸函數。在TVS中，凸函數的定義自然延伸，但其性質（如連續性、可微性）的條件變得更為精細和復雜。 我們將詳細分析下半連續凸函數的性質。與有限維空間不同，在無限維空間中，凸函數不一定連續。本書將深入探討單調算子理論的基礎，並展示如何利用它來刻畫凸函數的次微分（Subdifferential）。次微分被視為凸函數在某一點的“最佳綫性逼近”的集閤，它在變分問題的求解中起著決定性作用。我們將討論Moreau-Rockafellar定理的推廣，闡明一個函數是凸函數當且僅當其次微分是閉凸集，以及次微分與共軛函數之間的Fenchel對偶關係。 本部分的核心在於凸分析中的對偶性原理。我們將從變分問題的角度引入Fenchel 變換（共軛函數），並係統地研究其代數和拓撲性質。我們將證明在適當的拓撲假設下（例如，在局部凸空間中），函數與其共軛函數的復閤等於自身（Fenchel閉性），並探討這種對偶性在最優控製、規劃問題中的應用。 第三部分：無窮維空間的幾何結構與特殊凸集 第三部分將本書的焦點進一步導嚮幾何結構和特定類型的凸集，這些結構在微分幾何和概率論中至關重要。 首先，本書對極點集（Extreme Points）的結構進行瞭深入分析。在巴拿赫空間中，我們討論Kreīn-Milman定理的意義，即一個緊凸集可以被其極點的閉凸包所生成。在更一般的TVS中，極點的定義和性質麵臨拓撲挑戰，本書將探討在弱拓撲下的極值點概念，並分析Choquet定理在某些函數空間中的應用，特彆是關於Borel測度和極值測度的關係。 其次，本書專題討論瞭凸錐（Convex Cones）。凸錐在偏序結構、變分不等式和穩定性分析中扮演關鍵角色。我們將詳細研究支撐錐（Polar Cones），它們是凸錐的對偶概念，與分離理論緊密相關。此外，本書將引入Morrey空間或Sobolev空間等具有特定拓撲結構的函數空間，並在這些空間中分析凸集的幾何性質，例如，這些空間中閉凸集的極值點是否具有良好的正則性。 第四部分：應用實例：凸性在分析中的體現 最後，本書將理論知識應用於現代分析學的具體領域，展示凸分析作為一種統一框架的強大能力。 我們將考察變分不等式（Variational Inequalities）問題，這類問題在流體力學和金融定價中非常普遍。我們展示如何利用Lax-Milgram定理的凸性版本（布勞威爾不動點定理的推廣）以及次微分理論來證明解的存在性。 此外，本書還將探討凸規劃（Convex Programming）在無窮維空間中的推廣，包括對KKT條件的分析。我們討論在函數空間中如何定義約束集，以及在滿足一定的約束規整性（Constraint Qualification）下，局部最優解如何退化為全局最優解。 本書的敘述風格嚴謹而清晰，力求在保證數學嚴密性的同時，提供足夠的直觀幾何解釋。它期望為緻力於深入研究非綫性泛函分析、無窮維優化以及現代微分幾何的數學傢、工程師和理論物理學傢提供一個全麵而深入的參考資料。本書要求讀者具備紮實的實分析和基礎泛函分析知識，但並不預設讀者對凸分析有先驗瞭解。

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