Infinite Dimensional Analysis pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Aliprantis, Charalambos D./ Border, Kim C.

出品人:

頁數:703

译者:

出版時間:

價格:3558.00元

裝幀:HRD

isbn號碼:9783540295860

叢書系列:

圖書標籤:

• 泛函分析
• 無限維空間
• 算子理論
• 譜理論
• 巴拿赫空間
• 希爾伯特空間
• 分布理論
• 偏微分方程
• 數學分析
• 拓撲嚮量空間

好的，這是一份關於一本名為《無限維分析》的圖書的詳細介紹，內容完全圍繞該書的潛在主題展開，不包含任何關於人工智能生成或構思的痕跡。 --- 《無限維分析》：超越有限的數學疆界 第一部分：背景與核心概念的奠基 《無限維分析》是一部深入探討數學分析在無限維空間中應用的權威著作。本書旨在引導讀者從熟悉的有限維歐幾裏得空間（$mathbb{R}^n$）的直觀概念齣發，逐步過渡到更抽象、更具挑戰性的無限維結構，如希爾伯特空間、巴拿赫空間以及更一般的拓撲嚮量空間。 本書伊始，便著力於建立堅實的基礎。第一章聚焦於“距離”與“結構”的本質：度量空間的引入與拓撲學的基本概念。在這裏，我們探討瞭開集、閉集、緊緻性、連通性的概念在無限維背景下的微妙變化，特彆是 Heine-Borel 定理在無限維空間中失效的原因及其替代方案，例如可數緊緻集和序列緊緻集。 第二章是本書的基石——賦範綫性空間與內積空間。我們將詳細分析巴拿赫空間（完備的賦範空間）和希爾伯特空間（完備的內積空間）的定義、構造及其關鍵性質。重點探討瞭Riesz 投影定理和Hahn-Banach 分離定理，這些定理是處理無限維函數空間的基礎工具，它們揭示瞭綫性泛函在這些空間中的存在性和性質。 在第三章中，我們將討論無限維空間中的收斂性與拓撲。這包括強收斂（範數收斂）、弱收斂以及更精細的 $sigma$-弱收斂。對這些不同收斂模式的深入理解，是後續處理微分運算和積分理論的前提。我們引入瞭Banach-Steinhaus 均勻有界性原理（也稱為一緻有界性原理）和開映射定理，它們是連接連續綫性算子理論的關鍵橋梁。 第二部分：算子理論與譜分析 本書的核心部分，從第四章開始，全麵轉嚮無限維空間中的綫性算子。有限維空間中所有綫性算子都可以用矩陣錶示，但在無限維情境下，這不再可能。 第四章詳細闡述瞭有界綫性算子的性質。我們引入瞭算子範數，並探討瞭這些算子在巴拿赫空間之間構成的空間結構，特彆是有界綫性算子空間的完備性。在這裏，對角化的概念被推廣到譜理論的高度。 第五章：緊算子與Fredholm理論是本書的亮點之一。緊算子（或稱完全連續算子）在某種程度上模擬瞭有限維矩陣的行為。我們深入分析瞭 Riesz 的結構定理，該定理錶明，緊算子與有限秩算子的擾動之間的關係。在此基礎上，我們構建瞭Fredholm 分支和Fredholm 指標，這對於理解微分方程的解的存在性和唯一性至關重要。 第六章全麵鋪開譜理論。對於一般的有界綫性算子 $T$ 在希爾伯特空間上的譜 $sigma(T)$ 的定義、性質以及分解，成為本章的重點。我們對比瞭緊算子譜與一般有界算子譜的差異，並詳細討論瞭Gelfand 譜理論在 $C^$-代數中的應用，盡管本書主要側重於函數空間，但該理論的洞察力是理解譜結構的不可或缺的一部分。我們推導瞭求解非齊次方程 $T x = y$ 的條件，這直接依賴於 $y$ 是否落在 $T$ 的值域內，以及 $lambda=0$ 是否在譜 $sigma(T)$ 中。 第三部分：測度、積分與變分法 無限維分析不僅關乎拓撲和算子，還與“積分”的概念緊密相連。第七章處理測度論的推廣。在無限維空間中，黎曼積分的概念迅速瓦解。本書將焦點集中於概率論和隨機過程的數學基礎，討論瞭隨機變量作為可測空間到希爾伯特空間的映射，以及相關的Wiener 測度的初步概念（盡管不深入隨機分析本身，但提供瞭必要的測度背景）。我們探討瞭積分算子的連續性，特彆是 $L^p$ 空間上的積分算子。 第八章深入探討瞭變分法在無限維空間中的應用。這涉及對泛函的變分（Gâteaux 導數和 Fréchet 導數）。我們詳細研究瞭泛函的梯度在希爾伯特空間中的錶示，以及黎卡提方程（Riccati equation）在無限維背景下的推廣。本書強調瞭能量泛函的最小化，這是物理學和最優控製論的基礎。 第九章：Sobolev 空間與弱解。在處理偏微分方程時，要求解在經典意義下可微往往過於苛刻。本書引入瞭 Sobolev 空間 $W^{k,p}(Omega)$，它們是函數及其低階導數的混閤空間，是處理弱解理論的天然場所。我們詳細分析瞭Sobolev 不等式在無限維函數空間中的推廣形式，以及 Rellich-Kondrachov 緊性定理在描述函數序列行為中的關鍵作用。這為理解橢圓型方程的弱解理論提供瞭必要的分析工具。 第四部分：推廣與前沿展望 第十章將分析框架擴展到更一般的非綫性領域。我們探討瞭巴拿赫不動點定理在無限維空間中的應用，特彆是求解常微分方程初值問題時的局部存在性與唯一性。接著，本書引入瞭非綫性泛函分析的基本工具，包括變分不等式和凸分析。對凸集、支撐函數和 Fenchel 對偶的討論，為理解約束優化問題提供瞭堅實的數學基礎。 結論部分，本書簡要概述瞭無限維分析在現代物理學（如量子場論中的路徑積分）和工程學（如無限自由度係統的控製）中的地位，強調瞭本書提供的工具集是理解這些高級領域所必需的。 《無限維分析》並非一部輕鬆的讀物，它需要讀者具備紮實的實分析和綫性代數基礎。然而，對於渴望跨越有限維邊界，探索現代數學和理論物理核心結構的學者、研究人員和高級學生而言，本書無疑是一份不可或缺的指南。它係統地構建瞭從點到函數空間、從有限矩陣到無窮算子譜的完整數學圖景。

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