Lectures in Geometric Combinatorics

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Rekha R. Thomas

页数:143

出版时间:2006-7-31

价格:USD 29.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821841402

丛书系列:Student Mathematical Library

具体描述

This book presents a course in the geometry of convex polytopes in arbitrary dimension, suitable for an advanced undergraduate or beginning graduate student. The book starts with the basics of polytope theory. Schlegel and Gale diagrams are introduced as geometric tools to visualize polytopes in high dimension and to unearth bizarre phenomena in polytopes. The heart of the book is a treatment of the secondary polytope of a point configuration and its connections to the state polytope of the toric ideal defined by the configuration. These polytopes are relatively recent constructs with numerous connections to discrete geometry, classical algebraic geometry, symplectic geometry, and combinatorics. The connections rely on Gröbner bases of toric ideals and other methods from commutative algebra.

The book is self-contained and does not require any background beyond basic linear algebra. With numerous figures and exercises, it can be used as a textbook for courses on geometric, combinatorial, and computational aspects of the theory of polytopes.

作者简介

Rekha R. Thomas: University of Washington, Seattle, WA

目录信息

Cover 1
Title 2
Copyright 3
Contents 4
IAS /Park City Mathematics Institute 6
Preface 8
Chapter 1. Abstract Algebra: Groups, Rings and Fields 10
Chapter 2. Convex Polytopes: Definitions and Examples 16
Chapter 3. Faces of Polytopes 24
Chapter 4. Schlegel Diagrams 34
Chapter 5. Gale Diagrams 46
Chapter 6. Bizarre Polytopes 56
Chapter 7. Triangulations of Point Configurations 66
Chapter 8. The Secondary Poly tope 82
Chapter 9. The Permutahedron 94
Chapter 10. Abstract Algebra: Polynomial Rings 102
Chapter 11. Grobner Bases I 110
Chapter 12. Grobner Bases II 120
Chapter 13. Initial Complexes of Toric Ideals 126
Chapter 14. State Polytopes of Toric Ideals 136
Bibliography 148
Index 150
A 150
B 150
C 150
D 150
E 150
F 150
G 151
H 151
I 151
L 151
M 151
N 151
O 151
P 151
R 152
S 152
T 152
U 152
V 152
Z 152
· · · · · · (收起)

用户评价

这本书的难度曲线设置得相当巧妙，它似乎是为那些已经掌握了离散数学和线性代数基础，并渴望深入几何结构分析的读者量身定制的。初读几章时，我会觉得内容有些挑战性，需要反复琢磨才能完全消化每一个定义和引理。然而，一旦度过了最初的理论铺垫阶段，后面的学习就会变得越来越顺畅。这得益于作者在关键概念上反复的强调和不同角度的阐述，确保了知识点的牢固掌握。特别是对“交错群”和“排列群”在几何配置中的应用部分，处理得非常精妙，将纯粹的代数结构与具体的几何对象巧妙地结合起来。总的来说，这本书需要投入大量的时间和精力去研读，它不是一本可以轻松翻阅的书籍，但它所回报给读者的知识深度和理解力，绝对值得这份付出。它更像是一次严肃的智力探险，而不是一次轻松的阅读之旅。

我最近读完了一本名为《Lectures in Geometric Combinatorics》的教材，它给我留下了非常深刻的印象。这本书的结构非常严谨，从基础概念的引入到复杂的定理证明，层层递进，逻辑链条清晰可见。作者在讲解几何组合的各个分支时，不仅仅是罗列公式和定理，而是深入挖掘了其背后的几何直觉和组合思想。例如，在讲解凸包和对偶性的部分，书中通过大量的图示和具体的例子，让抽象的数学概念变得可视化和易于理解。我尤其欣赏的是它对证明过程的细致剖析，很多证明的关键步骤都被详细阐述，这对于初学者来说是极大的帮助。读完这本书，我感觉自己对几何组合的理解不再停留在表面的概念记忆，而是真正理解了其内在的联系和美感。这本书无疑是一本优秀的入门和进阶读物，对于希望系统学习该领域的读者来说，是不可多得的宝藏。

这本书的排版和图例设计绝对是值得称赞的。在几何组合这种高度依赖视觉化的学科中，清晰的图示是理解概念的关键。该书在这方面做得非常出色，所有的图形都绘制得精准而美观，有效地支撑了文字的论述。例如，在阐述格点多面体的性质时，书中的立体图和投影图切换自然，让人能迅速在大脑中构建起空间想象。此外，书本的装帧质量也很好，纸张的触感和墨水的清晰度都让人感到舒适，长时间阅读也不会产生视觉疲劳。这不仅仅是一本学术著作，更像是一件精美的工艺品。好的阅读载体能极大地提升学习的愉悦度，这本书在这一点上无疑是下了血本的。可以说，从触觉到视觉的每一个细节，都体现了出版方对读者的尊重和对学术质量的追求。

作为一本“讲义”性质的书籍，它的叙述风格非常自由和开放，充满了与读者对话的意味。阅读体验上，这本书不像某些教科书那样刻板生硬，反而更像是一位经验丰富的教授在课堂上娓娓道来。书中经常会出现一些“思考题”或者“延伸讨论”，这些小小的插曲有效地激发了我的主动思考，而不是被动接受知识。例如，在涉及到Matroid理论的章节中，作者并没有直接给出所有结论，而是引导读者去探索不同公理化体系下的等价性，这种互动性极大地增强了学习的参与感。这种非线性的、启发式的教学方法，让我在解决问题的过程中体验到了探索数学真理的乐趣。对于那些不满足于死记硬背公式的读者来说，这本书提供的这种思维训练是极其宝贵的。它教会我的不仅是知识点，更是一种严谨且富有创造力的数学思考方式。

这本书的深度和广度都让人惊叹，它不仅仅涵盖了传统几何组合的核心内容，还涉猎了许多前沿的研究方向。我特别喜欢书中对拓扑组合和离散几何的探讨，这部分内容往往在其他教材中被一笔带过，但在这里却得到了充分的展开。作者在处理这些复杂主题时，展现了极高的学术素养和教学能力。他们善于将看似不相关的领域连接起来，比如通过连通性和同调理论来分析组合结构，这种跨学科的视角极大地拓宽了我的视野。尽管内容深度较高，但作者的行文风格依然保持着一种优雅的克制，没有过多的渲染，而是专注于数学本质的呈现。这本书的价值在于它提供了一个坚实的理论框架，让人能够在理解基本原理的基础上，去探索更深层次的数学问题。对于有一定基础的研究者来说，这本书可以作为一本很好的参考手册，随时查阅和梳理思路。