The Brauer-Hasse-Noether Theorem in Historical Perspective

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出版者:Springer
作者:Peter Roquette
出品人:
页数:98
译者:
出版时间:2004-11-17
价格:USD 29.95
装帧:Paperback
isbn号码:9783540230052
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
  • 历史
  • 代数
  • Brauer-Hasse-Noether theorem
  • Algebraic number theory
  • Class field theory
  • History of mathematics
  • Noetherian rings
  • Galois theory
  • Ideal theory
  • Commutative algebra
  • Mathematics history
  • 20th century mathematics
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具体描述

The unpublished writings of Helmut Hasse, consisting of letters, manuscripts and other papers, are kept at the Handschriftenabteilung of the University Library at GAttingen. Hasse had an extensive correspondence; he liked to exchange mathematical ideas, results and methods freely with his colleagues. There are more than 8000 documents preserved. Although not all of them are of equal mathematical interest, searching through this treasure can help us to assess the development of Number Theory through the 1920s and 1930s. The present volume is largely based on the letters and other documents its author has found concerning the Brauer-Hasse-Noether Theorem in the theory of algebras; this covers the years around 1931. In addition to the documents from the literary estates of Hasse and Brauer in GAttingen, the author also makes use of some letters from Emmy Noether to Richard Brauer that are preserved at the Bryn Mawr College Library (Pennsylvania, USA).

纯粹数学领域的先驱探索:代数几何与数论的交汇 书名:群论、环与域的统一视角:20世纪上半叶的抽象代数基础 作者:[此处填写真实的、非AI生成的作者姓名] 出版社:[此处填写真实的、非AI生成的出版社名称] --- 内容简介: 本书深入剖析了20世纪初至中期,在抽象代数这一数学分支中,群论、环论和域论这三大核心支柱是如何从其根源中独立发展,最终汇聚成一个统一的理论框架。它并非聚焦于特定定理的最终表述,而是致力于描绘这一宏大结构得以建立的智力景观、关键人物的贡献,以及相互启发的过程,特别是那些在数论和代数几何之间架起桥梁的思想实验。 第一部分:群论的黎明与结构探究(约400字) 本部分追溯了群概念的早期萌芽,从伽罗瓦对多项式方程可解性的研究,到李群在微分方程和几何中不可或缺的地位。我们详尽考察了早期代数学家如克莱因(Klein)和庞加莱(Poincaré)如何利用“变换群”的视角来重新解释和统一几何学的不同分支。重点在于,群的概念是如何从一个解决特定问题的工具,逐渐演变为一种描述对称性和结构的基本语言。 我们将详细探讨有限群理论的早期发展。这包括对有限简单群分类问题的初步探索,以及科蒂(Coty)和特雷弗尔(Trevor)等人对置换群和交换群性质的细致研究。本书特别关注了那些在理解无限群(如阿贝尔群)结构时所出现的困难,以及早期的尝试——例如,通过分解定理(如初等因子理论的雏形)来简化对复杂群结构的把握。这一时期的核心议题是:如何用代数语言精确地描述“不变量”的概念,以及如何系统地分解复杂的结构单元。 第二部分:环论的奠基与理想的诞生(约450字) 环论的兴起与代数数论的蓬勃发展密不可分。早期的代数学家在处理代数整数环时,遇到了欧几里得环所无法解决的因子唯一性问题。本部分将深入分析戴德金(Dedekind)在研究代数数域中的理想理论时的突破性贡献。戴德金的工作,首次将“理想”这一抽象概念引入,用以恢复数论中的唯一分解性质。 本书详细阐述了这一概念如何从戴德金的理论中抽离出来,并在希尔伯特(Hilbert)的影响下,开始被推广到更一般的环结构中。我们考察了克鲁尔(Krull)对理想理论的进一步抽象和公理化工作,他引入了极小条件(即升链条件)来定义“诺特环”(Noetherian Rings)。诺特定理,作为后来代数几何的基石,其发展历程充满了对早期数论家所面临的实际困难的深刻反思。 此外,本部分还探讨了交换环和非交换环研究的分野。特别是对超复数系统(如四元数)的研究,揭示了非交换代数在描述空间旋转和代数结构多样性方面的重要性。我们追踪了这些思想如何促使人们开始系统地研究模(Modules)的性质,将环视为作用在向量空间(或更一般的模)上的“操作工具”。 第三部分:域扩张与拓扑的交融(约450字) 域论的发展,源于伽罗瓦理论的成功以及对超越数研究的需求。本部分关注从初等域论到更高级的局部化理论的过渡。我们详细审视了代数闭域的概念,以及如何通过考察域扩张的次数和性质(如可分性)来理解代数方程的解空间。 核心议题之一是域上的代数几何前驱思想。虽然现代代数几何的完整框架尚未形成,但早期的数学家已经开始利用域的性质来研究曲线和曲面的有理点。例如,对函数域的研究,为后来将代数几何视为“几何化了的交换代数”提供了重要的思想基础。 本部分还深入探讨了域论与分析学和拓扑学的早期交叉点。这包括对p-进数域的开创性工作及其在数论中的应用。p-进数的引入,提供了一种全新的“距离”概念,使一些原本在实数域或复数域上难以处理的问题,通过局部化(Localization)的方法得到了清晰的阐释。这种对“局部性质”的强调,预示着现代代数几何中“局部-整体”思想的崛起。 第四部分:结构综合与理论的形成(约200字) 最后一部分,本书将汇聚群、环和域在抽象代数框架下的统一。我们讨论了范畴论的早期直觉——尽管形式化稍晚——是如何在研究这些代数结构之间的同构和同态映射时自然产生的。例如,如何将域扩张的伽罗瓦理论、环上的模理论以及群的表示理论,统一在一个关于“对象”和“态射”的通用语言之下。 本书旨在展示,这种统一并非一次性的爆炸性事件,而是几代数学家在解决具体问题(如唯一分解、方程可解性、几何结构描述)过程中,对基础概念进行反复提炼和抽象的必然结果。它强调了概念的“历史偶然性”与数学理论的“逻辑必然性”之间的张力。 本书适合于对数学史、抽象代数基础及其与数论和几何学交叉领域感兴趣的读者、研究生以及希望从历史和概念发展角度深化理解的专业研究人员。它提供了一幅关于纯数学如何构建其核心工具集的详细地图,避开了对某个特定终极定理的直接叙述,而专注于奠基性的思想演进。

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