Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces

出版者:Birkhäuser Boston

作者:Mikhail Gromov

页数:606

译者:S. M. Bates

出版时间:2006-12-22

价格:USD 54.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817645823

丛书系列:Modern Birkhäuser Classics

具体描述

This book is an English translation of the famous "Green Book" by Lafontaine and Pansu (1979). It has been enriched and expanded with new material to reflect recent progress. Additionally, four appendices, by Gromov on Levy's inequality, by Pansu on "quasiconvex" domains, by Katz on systoles of Riemannian manifolds, and by Semmes overviewing analysis on metric spaces with measures, as well as an extensive bibliography and index round out this unique and beautiful book.

用户评价

这本书的叙事风格有一种独特的、近乎辩论式的说服力。它很少使用“显然”或“众所周知”这样的词汇，而是坚持用最清晰、最无可辩驳的逻辑链条来构建每一个论点。这使得它在讨论那些充满争议和尚无定论的研究前沿问题时，显得尤为可靠。我尤其喜欢它在介绍新概念时，总是先从其局限性出发，然后逐步完善定义，直到最终构建出一个稳固的理论体系。这种“先破后立”的写作手法，极大地增强了读者的批判性思维能力。关于曲率的广义定义部分，作者巧妙地将黎曼几何中的里奇曲率和更一般的张量场联系起来，展示了不同几何理论之间的深层同源性。对于那些寻求建立连接点、打破学科壁垒的理论物理学家或高级几何学家而言，这本书提供的连接桥梁是无价的。它不仅告诉你“是什么”，更告诉你“为什么是这样”，并且论证了“为什么不能是别的方式”。

这本书的排版和符号约定简直是一场视觉盛宴，完全摆脱了那种传统教科书的枯燥感。我必须承认，我最初被其封面设计吸引，但随后的阅读体验更是超出了我的预期。作者对“结构”二字的理解，已经上升到了哲学的高度。它不只是关于度量张量，更是关于如何在一个拓扑空间上构建一个可测量的、可微分的框架。特别让我印象深刻的是，书中对“不规则”空间的讨论，那些没有完备光滑结构的区域，作者是如何通过局部化和切空间的概念来维持数学分析的有效性的。这种处理方式，让我对传统微积分的适用范围有了全新的认识。书中穿插的一些历史注释也非常到位，它没有生硬地堆砌理论，而是巧妙地将理论的诞生背景融入叙述中，使得知识点不再是孤立的，而是有血有肉的数学发展史的一部分。如果说很多几何书籍是冷峻的数学报告，那么这本则更像是一位经验丰富的向导，耐心地带着你穿越复杂的学术丛林，每走一步，都清晰地标明了方向和意义。

我花费了大量时间去研究这本书中关于“准度量”和“超度量”的章节，这部分内容在现有的教材中是极其罕见的。作者似乎有意避开了所有“舒适区”，直面了那些在度量空间理论边缘游走的困难问题。我尤其欣赏作者在处理非对称性和非三角不等式时的细致入微。他们不仅给出了理论上的处理框架，还提供了具体的数值计算方法作为辅助，这对于应用数学背景的人来说简直是救命稻草。书中关于度量结构在特定积分几何中的应用实例，比如某些非阿基米德域上的几何化尝试，其深度令人咋舌。我甚至需要借助外部文献来辅助理解部分引申的结论，但这本书提供的视角是独一无二的，它为你搭建了一个全新的视角去审视这些“怪异”的空间。它不是一本适合速读的书，更像是一本需要反复研读的工具书，每次重读都会有新的领悟，仿佛在探索一片尚未完全测绘的数学大陆。

坦率地说，初次接触这本书时，我被其中大量的希腊字母和高阶微分算子吓退了。然而，一旦我坚持度过了前三个章节，我发现作者在构建这些复杂符号背后，隐藏着极其清晰的物理直觉和几何画面感。书中关于测地线的“最短路径”定义在非度量空间中的扩展，是全书的精华之一。作者并未简单地将定义套用到新空间上，而是深入探讨了“路径能量”泛函的变分原理在这些环境下的失效与重建过程。这种对变分法的深刻理解，体现在对边界条件的精妙处理上。我甚至开始用书中的框架去重新审视我正在进行的一些数值模拟中的误差来源，发现之前很多基于欧氏直觉的假设，在作者描绘的更广阔的度量空间里是站不住脚的。这本书无疑是一部具有里程碑意义的专著，它不仅拓宽了我们对空间结构认识的边界，更重要的是，它为我们提供了一套在这些新边界上进行可靠数学探险的地图和指南针。

这本书简直是数学分析领域的一颗璀璨明珠！它以一种近乎诗意的精确度，将那些抽象的几何概念具象化。我花了整整一个周末沉浸在它的文字和公式之中，感觉自己的思维被重新塑造成了一种全新的形态。作者对于流形上度量结构的处理，尤其是那些在传统黎曼几何教科书中常常被一笔带过、只给出基础框架的非黎曼情形，给予了极其深入细致的剖析。特别是关于 Finsler 几何和 Finsler 空间中测地线方程的推导，其逻辑的严密性和推导的流畅性，让我这个原本对这部分内容感到头疼的读者豁然开朗。书中的例证选择极其巧妙，既有经典的欧几里得空间上的光滑变形，也有一些非常前沿的、与广义相对论和信息几何交叉的非典型例子。阅读过程中，我强烈感受到作者不仅仅是在传授知识，更是在引导读者去“感受”这些空间是如何在其内在结构上自我定义的。那种层层递进的论证，就像剥洋葱一样，每剥开一层，都能看到更深层次的数学美感。强烈推荐给所有希望从“知道”黎曼几何过渡到“理解”更广义度量空间的学者和研究生。