Introduction to Classical Geometries pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Birkhäuser Basel

作者:Ana Irene Ramírez Galarza

出品人:

页数:227

译者:

出版时间:2007-4-19

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783764375171

丛书系列:

图书标签:

数学
几何
to
Introduction
Geometries
Classical
Birkhäuser
Classical Geometries
Overview
Euclidean Geometry
Geometry History
Plane Geometry
Mathematical Foundations
Proofs
Historical Developments
Logical Structure
Classical Mathematics

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具体描述

现代几何学的拓扑与代数视角图书名称：现代几何学的拓扑与代数视角作者： [虚构作者姓名，例如：艾尔文·R·霍夫曼] 出版社： [虚构出版社名称，例如：环球科学出版社] --- 内容概述《现代几何学的拓扑与代数视角》是一部深入探索二十世纪以来几何学两大核心分支——拓扑学与代数几何学——的权威性著作。本书旨在为具备坚实微积分和基础线性代数知识的读者，构建起一座连接经典几何直觉与现代抽象结构之间的桥梁。我们摒弃了对欧几里得或射影几何的直接依赖，而是从集合论、范畴论的视角出发，系统地阐述现代几何学的语言、工具和基本理论框架。全书结构清晰，共分为六个主要部分，循序渐进地引导读者领略几何学在抽象化和普遍化进程中所展现出的深刻洞察力。 --- 第一部分：拓扑学基础与连续性的本质本部分着重于奠定点集拓扑学的理论基石，将“接近性”和“形变不变性”的概念从度量空间的直观感受提升到集合论的抽象层面。第一章：拓扑空间的定义与构造本章详细讨论了拓扑结构的定义，即通过开集的族来取代度量。我们探讨了子空间拓扑、商拓扑、积拓扑和函子拓扑的严格构造方法，并着重分析了这些构造如何影响空间的连通性和紧致性等基本性质。特别是对商拓扑的深入讨论，为理解流形和商空间在代数几何中的重要性埋下了伏笔。第二章：连续性、同胚与不变量连续函数的拓扑定义及其与开集的对偶关系被置于核心地位。我们引入了同胚（Homeomorphism）的概念，并开始探讨拓扑不变量——那些在同胚变换下保持不变的性质。本章详述了连通性（包括路径连通性）和紧致性（及其在Rauchy定理中的重要性），并引入了度量空间的完备性概念，解释了为何在拓扑学中，紧致性在局部性质研究中比完备性更为基础。第三章：基础群与同伦本部分转向代数拓扑的开端。我们定义了路径空间和同伦关系，并导出了基础群（Fundamental Group）$pi_1(X)$。本章通过计算著名的圆周 $S^1$ 的基础群，展示了如何利用群论工具来区分拓扑空间。此外，还讨论了万有覆盖空间的存在性及其与基础群的深层联系，为后续的纤维丛理论做了铺垫。 --- 第二部分：流形与微分结构本部分将拓扑概念提升到局部具有欧几里得性质的结构——流形。第四章：拓扑流形的定义与范例流形的定义强调了局部欧几里得性。本书详细分析了二维球面 $S^2$、环面 $T^2$ 以及更高维流形的构造。我们着重讨论了光滑结构（微分结构）的引入，解释了为什么在某些情况下，单纯的拓扑结构不足以进行更精细的几何分析。第五章：向量丛与切空间向量丛是理解流形上微分结构的关键工具。本章引入了向量丛的抽象概念，特别是与流形相关的切丛（Tangent Bundle）。我们定义了切向量和微分映射（推拉映射），这些工具是构建微分几何和李群理论的基石。 --- 第三部分：代数几何的萌芽：射影空间与代数集本部分开始转向代数几何，将几何对象转化为多项式方程的零点集。第六章：射影空间与齐次坐标我们从线性代数的角度重新审视射影空间 $mathbb{P}^n$ 的构造，重点阐述了齐次坐标系如何自然地统一了仿射空间与无穷远处的点。这为理解射影几何中的对偶性原理提供了清晰的代数基础。第七章：代数集与理想本章引入了代数几何的核心对象——代数集（Affine Algebraic Sets）。我们通过希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的非严格介绍（侧重于其几何意义），阐明了多项式环的理想与代数集之间的深刻对偶关系。重点分析了素理想与不可约代数集之间的对应。 --- 第四部分：概形论：抽象与统一本部分是全书的理论高潮，系统地介绍了现代代数几何的核心语言——概形（Scheme）理论，这是对经典代数几何的根本性革新。第八章：预层、层与模空间在进入概形之前，本章详细探讨了拓扑空间上的预层（Presheaf）和层（Sheaf）的概念。我们通过规范层（如切层）的例子，解释了层如何在局部组合信息以构建全局结构。接着，我们引入了模空间（Moduli Space）的想法——用空间来参数化几何对象。第九章：环到概形：扎里斯基拓扑的推广本章的核心在于将环论提升到几何对象的层面。我们定义了环谱 $ ext{Spec}(R)$，并赋予其扎里斯基拓扑。接着，我们构建了结构层 $mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)}$，最终给出了概形的完整定义。本书强调了概形如何超越经典代数集，能够处理奇点、非代数封闭域以及“无限小”的邻域信息。第十章：态射与函子我们定义了概形之间的态射（Morphisms），并分析了这些态射如何诱导出环同态的反向作用。本章还简要介绍了函子（Functors）的概念，特别是作为“几何对象到代数对象”的桥梁，例如对偶化函子。 --- 第五部分：代数拓扑与同调理论的引入本部分将代数工具应用于拓扑空间的分类，侧重于更强大的不变量——同调群。第十一章：链复形与边界算子我们从辛普利夏（Simplicial）复合体出发，定义了链群（Chain Groups），并引入了边界算子 $d$，推导出 $d^2=0$ 的关键性质。第十二章：同调群的构造与性质本章详细构造了同调群 $H_n(X)$，解释了它们如何衡量空间中“洞”的代数结构。我们通过计算圆球 $S^n$ 的同调群，展示了其在区分拓扑空间方面的优越性。此外，还介绍了精确序列的概念及其在计算复杂空间同调时的威力。 --- 第六部分：现代几何学的交汇点与展望本书最后一部分将视角扩展到现代研究的前沿。第十三章：李群与微分几何的代数结构本章探讨了既具有群结构又具有光滑结构的空间——李群。我们引入了李代数作为李群在单位元处的切空间，并分析了李群的指数映射。这展示了代数结构如何嵌入到微分几何框架之中。第十四章：代数几何中的上同调与Sheaf Cohomology 我们简要介绍了对同调理论的推广——上同调理论（Sheaf Cohomology），并讨论了其在代数几何中的核心地位，例如在研究范畴和层上的范畴论工具。 --- 目标读者与本书特色本书的目标读者是研究生阶段或高年级本科生，他们希望从代数和拓扑的视角全面理解现代几何学的基本原理，而非仅仅停留在古典欧氏几何的范畴内。本书的特色在于： 1. 抽象性与严格性并重：在保证数学严谨性的前提下，注重解释抽象定义背后的几何直觉。 2. 范畴思维的渗透：尽管不专门开篇介绍范畴论，但通过对函子和结构层（Sheaf）的描述，培养读者的现代数学思维模式。 3. 无缝衔接：确保从拓扑学到代数几何的过渡是逻辑连贯的，使得读者能够理解概形理论如何解决了经典代数几何中的局限性。本书不包含任何关于非欧几何（如双曲几何或黎曼几何）的深入讨论，亦未涉及辛几何或代数拓扑中的谱序列等高级技术，而是专注于建立现代几何学的核心“骨架”。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

从章节安排来看，这本书的逻辑跳跃性非常强，似乎是按照作者个人的研究兴趣而非教学递进顺序来组织内容的。开篇部分迅速地抛出了伽罗瓦群与几何变换之间的联系，这对于一个“Introduction”来说，无疑是过早地引入了复杂的群论概念。我原以为会从欧氏空间的基本公理开始，循序渐进地探讨平行公设的突破，但这本教材却直接将读者置于一个高度建构化的代数框架之中，要求读者自行去“挖掘”出经典几何的影子。比如，在讲述射影几何的部分，它几乎完全集中在坐标系变换和齐次坐标的应用上，对于射影平面上“无穷远点”和“理想线”这些核心概念的几何直觉培养，着墨甚少。我感觉自己像是在阅读一本关于“如何在抽象空间中操作几何对象”的操作手册，而不是一本介绍“什么是几何”的教科书。这种结构安排，对于习惯了经典教材循序渐进叙事方式的读者来说，无疑是一种挑战，需要极强的毅力和预先知识储备才能跟上其高速的思维步伐。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实引人注目，那深沉的宝蓝色背景上用烫金字体镌刻着书名，仿佛一下子就把人拉回了那个充满几何美学的黄金时代。然而，当我翻开扉页，期望在“经典几何”的宏大叙事中寻找欧几里得、阿基米德的智慧回响时，却发现内容似乎更侧重于一种高度抽象化的代数拓扑结构，而不是我所熟悉的那些基于尺规作图的直观证明。这让我感到一丝困惑，毕竟“古典”二字通常暗示着对传统欧氏几何体系的梳理和深化。书中大量使用了群论和向量空间的语言来重构几何概念，比如对射影几何的探讨，虽然在数学上严谨到无可挑剔，但却缺乏几何学原本应有的那种“画面感”。它更像是一部高等代数在几何领域的应用指南，而非一部纯粹的几何学入门读物。对于一个期待在二维平面上挥舞圆规尺子，探索三角形、圆和多面体奥秘的读者来说，这本书提供的知识路径显得过于陡峭和间接，其“导论”的定位似乎有些名不副实，更像是为已经掌握了线性代数和基础拓扑学的研究生准备的进阶材料。我花了很大力气去理解那些关于黎曼流形和非欧几何的早期讨论，但始终感觉与标题所承诺的“经典”二字存在着一种微妙的脱节。

评分☆☆☆☆☆

这本书在参考文献和历史背景的引用上也表现得十分“现代”。它似乎更倾向于引用近三十年内关于几何基础和范畴论在几何学中应用的论文，而对于希尔伯特对公理系统的重构，或者十九世纪微分几何学派的争论，提及得非常简略，或者仅仅是以脚注的形式一带而过。这使得全书的学术氛围显得非常“前沿”和“纯粹”，但同时也割裂了读者与几何学思想史的联系。例如，当讨论到非欧几何的必然性时，书中直接引用了现代拓扑学的工具来证明其一致性，却很少提及罗巴切夫斯基和鲍耶的心路历程。一个真正的“经典几何”导论，理应承担起架起历史与现代之间的桥梁的责任，让读者理解这些概念是如何在历史的迷雾中被逐步清晰起来的。这本书却仿佛从一个已经完全搭建好的、高度现代化的数学大厦的顶层开始讲解，使得我们难以追溯到奠基石是如何被一块块打磨出来的。这种对历史深度的回避，让这本书在传达知识的深度之余，在拓宽读者的学术视野方面显得有些不足。

评分☆☆☆☆☆

在练习题的设计上，这本书也暴露出了其强烈的学术偏向。习题并非旨在巩固学生对基本几何定理的理解或应用，而是大量集中在证明新的、具有代数性质的同构关系，或者要求读者在给定的代数结构中构造出某种几何对象。这些题目往往需要复杂的抽象推理，对于那些希望通过解题来加深对“直角三角形”、“圆周率”这些经典概念理解的读者来说，帮助不大。举例来说，其中一个章节的练习题要求读者利用狄拉克矩阵来描述四维时空中的刚体运动，这显然已经远远超出了任何对“经典几何”的常规理解范畴。这种练习设置，无疑是培养未来专业研究人员的有效途径，但对于那些需要通过解决具体几何问题来建立自信和空间感的普通学习者来说，无疑是挫败感的来源。简而言之，这本书更像是一本为训练“符号操作员”而编写的教材，而不是一本引导“几何思想家”入门的经典之作。我不得不承认其内容的严谨性，但其教学适用性，尤其是针对“Introduction”这一目标群体，存在着巨大的问号。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格极其冷静、客观，几乎到了冷酷的地步。作者似乎秉持着一种“去人性化”的叙事原则，完全没有采用任何能够引导初学者建立空间直觉的辅助手段。插图方面，几乎是吝啬到了极致，偶尔出现的图示也往往是高度简化的、缺乏标注的拓扑示意图，而非清晰的几何图形。例如，在讨论双曲几何的等距变换时，书中直接跳跃到了矩阵表示，而略过了庞加莱圆盘模型那种直观但“不规则”的视觉体验。这种处理方式无疑能让数学基础扎实的读者迅速把握核心算法和定理的代数本质，但对于那些需要通过视觉辅助来理解空间关系的学生来说，阅读体验简直是一场煎熬。每当我想在脑海中构建一个具体的几何场景时，书中提供的公式和符号就会立刻将其打碎，还原成一堆抽象的数字和变量。我一度怀疑，作者撰写此书的目的，是否是想证明几何学早已脱离了其“形体”的束缚，成为纯粹的符号游戏。阅读过程中，我不得不频繁地在我的笔记本上自行绘制草图，试图为书中的抽象描述找到一个具象的锚点，这极大地拖慢了我的学习进度，也削弱了阅读的乐趣。

评分☆☆☆☆☆