Solutions Manual for Lang's " Linear Algebra "

出版者:Springer-Verlag New York Inc.

作者:Rami Shakarchi

页数:211

出版时间:1996-08-09

价格:$ 90.39

装帧:Print on Demand (Paperback)

isbn号码:9780387947600

具体描述

This solutions manual for Lang's Undergraduate Analysis provides worked-out solutions for all problems in the text. They include enough detail so that a student can fill in the intervening details between any pair of steps.

用户评价

对于那些看似繁复的证明题，这本习题解答更是功不可没。很多时候，证明题的难点不在于定理本身，而在于如何组织论证的思路，如何巧妙地运用已有的定义和性质。这本书提供了一个非常好的范例。它并没有将证明过程简化到难以理解的地步，而是保留了必要的步骤，并用清晰的语言解释了每一步的依据。 我特别欣赏它在处理矩阵理论中的证明时，所展现出的细致。比如，关于特征值和特征向量的计算，以及它们在对角化过程中的作用，教材虽然给出了理论框架，但实际操作起来往往需要反复试验。这本习题解答通过对不同类型矩阵的分解，展示了如何一步步地找到特征值和特征向量，并最终实现矩阵的对角化。对于那些证明矩阵相似性的问题，它也提供了非常清晰的推导过程，让我明白了如何通过构造合适的变换矩阵来连接两个矩阵。

这本习题解答对我来说，最大的价值在于它提供了一种“反向学习”的可能性。在没有完全掌握某个概念之前，我可以通过书中对题目解法的解析，来反推出这个概念是如何被应用和理解的。 例如，在学习正交性和正交投影时，我曾对Gram-Schmidt正交化过程感到不知所措。书中不仅给出了每一步的计算公式，更重要的是解释了每一步为什么要这样做，以及最终得到的正交基在几何上代表什么。 它还会提供一些关于优化计算的技巧，比如利用矩阵的对称性来简化特征值和特征向量的计算。这些细节上的补充，让我在学习过程中少走了很多弯路，也培养了我对数学问题的严谨性和细致性。

线性代数是一门建立在严谨逻辑基础上的学科，每一个概念、每一个定理都环环相扣。当我遇到理解上的障碍时，这本习题解答所提供的详细步骤和解释，就如同一次次的“透视”，让我能够看到问题背后隐藏的逻辑链条。 在学习特征值和特征向量的部分，我曾对如何找到这些值感到困惑。书中不仅仅给出了计算行列式为零的标准方法，还详细展示了如何通过矩阵的代数重数和几何重数来理解特征向量的生成空间。 尤其是在对角化部分，书中提供的案例分析，让我明白在什么条件下一个矩阵可以被对角化，以及对角化后的矩阵在几何上代表的意义。它通过一系列的矩阵乘法演示，展示了对角化如何简化了高次幂的计算，这让我深刻体会到了线性代数在简化复杂问题中的强大力量。

这本书的价值远不止于“答案提供者”。在我看来，它更像是一个“解题思路的百科全书”。很多时候，一道题可能有多种解法，而教材往往只展示其中一种。这本习题解答则会根据题目的特点，提供不同的求解策略，并且详细地分析每种策略的优劣。 例如，在涉及到线性方程组求解的章节，除了常规的高斯消元法，书中还穿插了一些关于克拉默法则和矩阵逆的应用。它会告诉你，在什么情况下，使用哪种方法更为高效。这种多角度的学习方式，让我能够从不同的视角理解同一个问题，从而形成更全面的知识体系。 更重要的是，书中对于某些复杂计算的技巧，也进行了详细的介绍。这些技巧往往是学生在日常学习中容易忽略的，但它们却能极大地提高解题效率。比如，在进行大规模矩阵乘法时，书中展示了一些更优化的计算顺序，以及如何利用矩阵的特殊性质来简化计算。

这本书的出现，对于我这样在数学领域摸爬滚打多年的学习者来说，无疑是及时雨。在学习朗的《线性代数》过程中，我常常会遇到一些概念理解上的瓶颈，尤其是那些抽象的定义和复杂的证明，往往需要反复研读教材，甚至借助其他资料才能勉强消化。而这本习题解答，就像一位经验丰富的向导，为我指明了前进的方向。它不仅仅是简单地给出答案，更重要的是，它详细地展示了求解过程中的每一步逻辑推导，那些我曾经卡壳的地方，在这里都得到了清晰的剖析。 其中，关于向量空间和线性变换的章节，我尤为受益。教材中对这些概念的介绍非常严谨，但初学者往往难以建立起直观的理解。这本习题解答通过大量的例题，将抽象的定义具象化，让我能够一步步地看到向量在不同变换下的演变，理解子空间的结构，以及线性映射的性质是如何被体现出来的。例如，书中对于核和像的计算，不仅仅列出了最终的集合，更重要的是详细地解释了每一步矩阵运算的意义，以及这些运算是如何导向最终结果的。这种“授人以渔”的方式，让我对线性代数有了更深刻的认识，也增强了我独立解决问题的信心。

在我看来，一本好的习题解答，不应该仅仅是提供答案，更应该教会你“如何思考”。这本习题解答在这方面做得非常出色。它在解答过程中，常常会穿插一些解释性的文字，引导你思考问题的本质，而不是仅仅机械地套用公式。 在学习矩阵分解（如LU分解、QR分解）时，书中不仅仅是展示了分解步骤，更重要的是解释了这些分解的意义和应用场景。比如，LU分解如何应用于求解线性方程组，QR分解如何应用于最小二乘法问题。 它还鼓励读者尝试不同的解题方法，并对比它们的优缺点。这种开放性的学习方式，让我能够更深入地理解线性代数中的各种概念，并培养了独立思考和解决问题的能力。

线性代数中的一些概念，如向量空间的维度、基的唯一性等，往往需要反复的练习和思考才能真正掌握。这本习题解答提供了大量的练习题目，并且对每一道题都进行了详细的解答。 我特别喜欢它在处理向量空间基的替换和坐标变换时的详细步骤。它不仅仅是给出公式，更重要的是解释了坐标变换背后的几何意义，以及如何通过矩阵乘法来实现坐标的转换。 它还提供了一些关于同构性的讨论，让我理解了不同结构的向量空间之间可能存在的联系。这种深入的解析，帮助我建立起对线性代数概念的更深层次的理解，也让我能够更自信地去应对更复杂的题目。

学习线性代数，尤其是像朗这样的经典教材，最令人头疼的往往是那些抽象的概念和理论的严谨性。我常常会陷入对某些定义和定理的死循环，无法将其与实际应用联系起来。而这本习题解答，就像一个桥梁，将抽象的理论与具体的计算紧密地结合起来。 在学习向量空间基的选择和坐标表示时，书中提供了大量的例子，展示了如何在一个给定的向量空间中，找到不同的基，并计算向量在这些基下的坐标。这让我理解了基的选择是任意的，但坐标表示是相对于特定基而言的。 更让我印象深刻的是，在处理线性映射的核和像时，它不仅仅是给出集合，更重要的是通过具体的矩阵例子，来展示核向量是如何被映射到零向量的，以及像空间是如何由线性无关的列向量张成的。这种具象化的解释，极大地帮助我建立起对这些抽象概念的直观理解，也让我能够更自信地去分析和解决相关的计算和证明题。

学习线性代数，尤其是在初学阶段，很容易因为抽象的概念和复杂的计算而感到沮丧。这本习题解答就像一位耐心的导师，在你遇到困难时，总能提供清晰、详尽的指导。 在我看来，它最突出的优点在于其对证明题的解答。很多时候，证明题的难点在于如何组织论证的逻辑，如何巧妙地运用已有的定义和性质。这本书通过细致的步骤分解和清晰的逻辑推理，有效地解决了这一难题。 它还会提供一些关于证明思路的启示，引导读者自己去发现证明的关键点。例如，在证明矩阵性质时，它会提示读者可以从哪些方面入手，可以运用哪些定理。这种引导性的教学方式，对于提升学生的自主学习能力至关重要。

线性代数涉及的概念非常广泛，从向量、矩阵到线性变换、特征值等，每一个概念都需要扎实的理解。这本习题解答对我来说，最大的帮助在于它将这些抽象的概念与具体的计算紧密地联系起来。 它在讲解向量空间的基和维度时，提供了大量的例子，展示了不同向量空间是如何被表示和度量的。这让我对这些抽象概念有了更直观的认识。 尤其是在处理线性方程组的解的结构时，它不仅给出了通解的表达式，更重要的是解释了自由变量和基本变量的作用，以及它们如何共同构成了解空间。这种深入的解析，让我对线性代数的理解上升了一个层次。