偏微分方程基本理论

出版者:科学出版社

作者:王明新

页数:196

出版时间:2009-1

价格:38.00元

isbn号码:9787030228062

具体描述

《偏微分方程基本理论》系统介绍了二阶线性椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程以及一阶偏微分方程的基本理论。第1-4章介绍古典解，第5-7章介绍弱解。《偏微分方程基本理论》的特点是循序渐进，强调基础理论的同时，注重具体应用。书中内容深入浅出，文字通俗易懂，并配有适量难易兼顾的习题。

《偏微分方程基本理论》可作为偏微分方程、动力系统、泛函分析、计算数学、控制论及相关理工科方向研究生的教材和教学参考书，亦可作为数学、工程等领域的青年教师和科研人员的参考书。

用户评价

在学习偏微分方程的过程中，我常常被各种复杂的分析技巧所困扰，而这本书在这方面做得尤为出色。作者并没有回避那些看似“枯燥”的数学工具，而是将它们巧妙地融入到问题的解决过程中。例如，在讲解特征线方法时，作者不仅给出了公式，还详细解释了它如何能够化“偏”为“常”，从而简化问题的求解。我尤其欣赏作者在引入傅里叶变换和拉普拉斯变换时，所进行的背景介绍和动机分析。它让我明白，这些看似高深的数学工具，实际上是为了解决特定类型的问题而诞生的，它们的出现并非偶然，而是数学发展的必然结果。在书中，我找到了关于积分方程、Green函数、Sobolev空间等一系列我之前接触过但不够深入的概念的详细阐释。作者在解释Green函数时，并没有直接给出一个复杂的定义，而是通过类比“点源”的响应来引入，这种直观的解释方式，让我迅速抓住了Green函数的核心思想。

这本书的另一大特点是其对数学模型构建的深入探讨。作者在介绍不同的偏微分方程时，不仅仅是给出方程的形式，还会详细解释这个方程是如何从实际的物理过程或工程问题中推导出来的。这让我明白了数学模型是如何反映和描述现实世界的。书中对一些与偏微分方程相关的概念，如算子谱理论、变分法等，也进行了初步的介绍，并解释了它们在求解和分析偏微分方程中的作用。我尤其对作者在介绍算子谱理论时，如何利用特征值来理解物理系统的振动模式，感到非常启发。这本书的价值在于，它不仅仅是一本教科书，更是一扇通往更广阔数学世界的窗口。

这本书在数学工具的运用上，展现了极高的技巧性和系统性。作者在讲解算子方法时，从最基本的导数算子入手，逐步引入偏微分算子的线性性质、可交换性等概念，并将其与方程的解的性质联系起来。我尤其喜欢作者在介绍Green函数的性质时，它如何作为一种“核函数”，能够通过积分运算将方程的解表示出来。这对于理解线性系统的响应至关重要。书中还对一些重要的偏微分方程，如拉普拉斯方程、泊松方程、波动方程、热传导方程等，进行了详细的推导和性质分析，包括它们的通解形式、特解的构造以及各种边界条件下的行为。我对于作者在介绍拉普拉斯方程时，如何利用调和函数来理解其在物理学中的应用，印象尤为深刻。

我对这本书的另一个深刻印象，来自于其对基本概念的深入剖析。比如，在讲解“解”的概念时，作者并没有止步于“满足方程的函数”这一简单定义，而是详细阐述了弱解、经典解、分布解等不同层面的理解。这对于我这样习惯于在抽象层面思考问题的研究者来说，是至关重要的。理解这些不同类型的解，意味着我能够更灵活地处理那些经典解不存在的复杂问题，也能够为后续学习更高级的理论打下坚实的基础。我特别喜欢作者在介绍柯西问题时，对解的存在性、唯一性以及连续性依赖于初始条件的详细论证。这些“三性”是偏微分方程理论中最核心的部分，它们决定了我们能否信赖方程的解，以及能否在数值计算中得到稳定可靠的结果。作者通过一系列精巧的构造和严密的逻辑推理，一步步引导读者理解这些深刻的数学定理，并且在讲解过程中穿插了大量的例子，例如一维波动方程、热传导方程的柯西问题，这些例子不仅帮助我巩固了理论知识，更让我体会到理论的实际应用价值。

这本书的名字叫《偏微分方程基本理论》，我拿到它的时候，心里是带着一点期待和一点忐忑的。期待的是，作为一名在数学领域摸爬滚打多年的学习者，我始终觉得偏微分方程是连接理论数学和实际应用的一个重要桥梁，而这本书的书名又如此直白地指向了核心，让我觉得它可能是我一直寻找的那本能够系统梳理我知识体系的宝典。然而，忐忑也随之而来，毕竟“基本理论”这四个字，既包含了对广度和深度的要求，也可能意味着对读者基础知识的严苛考验。我翻开第一页，映入眼帘的是作者严谨的逻辑和清晰的排版，这让我稍微松了口气。书的开篇并没有直接跳入复杂的公式推导，而是从偏微分方程的起源、发展以及其在物理、工程、金融等各个领域的应用场景进行了宏观的介绍。这种“由表及里”的叙事方式，恰恰符合了我对于一本好的理论书籍的期望——它应该首先让我明白“为什么”要学，然后再告诉我“如何”学。我特别欣赏作者在介绍方程的分类时，并没有仅仅罗列出椭圆型、抛物型、双曲型这些名词，而是结合了它们所描述的物理现象，例如热传导、波动传播、稳态问题等，用生动的语言解释了不同类型的方程所代表的数学本质和物理意义。这让我感觉自己不是在被动地接受信息，而是在主动地理解和探索。

对于我这样的读者来说，理论的严谨性固然重要，但如果能看到理论如何服务于实际问题，那将是更令人欣喜的。这本书在这方面做得相当到位。在介绍椭圆型方程时，作者详细讲解了泊松方程在电势和引力场计算中的应用，以及Dirichlet边界条件和Neumann边界条件在不同物理场景下的含义。我特别关注了作者对Schrödinger方程的讨论，它在量子力学中的地位举足轻重。书中不仅给出了方程的形式，还解释了波函数、算符、能量本征值等关键概念，并初步探讨了其在描述原子和分子行为中的作用。这让我对抽象的数学符号与具体的物理现象之间的联系有了更深的理解。此外，书中还触及了Navier-Stokes方程，这是流体力学领域一个极其重要的方程，尽管作者没有深入到其解的存在性等前沿问题，但对方程的物理背景和其在天气预报、飞机设计等领域的应用进行了精彩的描述，这极大地激发了我进一步探索的兴趣。

除了方程的求解方法，这本书对偏微分方程的理论性质的探讨也十分深入。例如，作者在讲解柯西-利夫希茨估量时，详细阐述了如何利用能量估计来证明解的存在性。我特别欣赏作者在解释“光滑性”时，不仅给出了数学上的定义，还从物理意义上解释了光滑性对于描述物理过程的平滑性和连续性的重要性。书中对于某些方程的“奇点”问题的讨论，也让我印象深刻。作者解释了为什么在某些情况下，方程的解会变得不光滑，甚至出现无限大的情况，这对于理解一些物理现象的极限行为非常关键。在书中，我找到了关于抛物型方程的先验估计，以及它们如何帮助我们理解解的性质。作者在解释解的“衰减性”和“增长性”时，也结合了具体的物理模型，这让我更容易理解这些抽象的数学性质所代表的实际意义。

阅读这本书的过程，更像是一次循序渐进的智力挑战，而非简单的信息输入。作者的设计思路非常清晰，他先从最简单的二阶线性偏微分方程入手，逐步引入各种求解方法，例如分离变量法、特征线法、积分变换法等，然后才转向更复杂的非线性方程和高维问题。我最喜欢的部分之一是作者在讲解分离变量法时，对于边界条件的处理。他详细阐述了如何根据不同的边界条件，构造出正交函数系，并将方程转化为一系列常微分方程，这对于解决许多实际问题都至关重要。在书中，我找到了关于Dirichlet问题的详细解析，以及如何利用傅里叶级数来求解。作者在解释函数空间的概念时，也花了不少笔墨，他介绍了L^p空间，并且解释了为什么在研究偏微分方程时，需要引入这些抽象的空间。这让我明白，很多数学工具并非空中楼阁，而是为了解决特定问题而精心设计的。

这本书的另一大亮点在于其对数学分析工具的灵活运用。作者在讲解证明过程时，并没有简单地给出结论，而是详细地展示了每一步的逻辑推理和所依赖的数学定理。例如，在证明某些方程解的光滑性时，作者利用了 Sobolev 嵌入定理和嵌入定理，并对这些定理的应用条件进行了详细的说明。这让我能够更深入地理解这些定理的内在联系和应用范围。书中还介绍了 PDE 理论中的一些重要方法，如泛函分析方法、概率方法等，并对它们的适用性和局限性进行了讨论。我尤其对作者在介绍概率方法时，如何利用随机游走来理解热传导方程，感到非常新颖和有趣。

在阅读过程中，我发现这本书在理论的构建上，非常注重逻辑的严密性和思想的连贯性。作者在介绍每一个新的概念或定理时，都会将其与之前的内容建立起清晰的联系，并解释其在整个理论体系中的地位。我特别欣赏作者在讲解守恒定律和能量守恒时，如何将其与偏微分方程的结构紧密联系起来。这让我更加深刻地理解了偏微分方程背后所蕴含的物理规律。书中对一些经典问题的求解，如Helmholtz方程在波传播中的应用，以及Navier-Stokes方程在流体动力学中的作用，也进行了细致的分析。我对于作者在介绍Helmholtz方程时，如何利用其作为波动方程的稳态解，以及其在声学和光学中的应用，印象尤为深刻。