C(ZY)课标数学必修4(人教A)/点金训练

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isbn号码:9787543549029
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具体描述

探索高等数学的奥秘:从微积分到线性代数(不含特定高中教材内容) 书籍简介: 本教程旨在为有志于深入理解现代数学体系的学习者提供一份详尽而严谨的导览。我们聚焦于大学阶段数学的核心支柱——微积分(Analysis)与线性代数(Linear Algebra)的基石理论与应用。本书的编写遵循循序渐进的原则,力求在概念的清晰阐述与数学方法的严密推导之间找到最佳平衡点,确保读者不仅能够“会用”工具,更能“理解”工具背后的深刻原理。 --- 第一部分:实数分析与单变量微积分的深度构建 本部分将带领读者从分析学的基本公理出发,稳固对实数系统的认知,并在此基础上构建微积分学的理论大厦。我们将超越传统高中阶段对函数、极限的直观理解,进入到 $epsilon-delta$ 语言的严格证明体系。 第一章:实数系统与拓扑基础 本章首先回顾了有理数集,并重点阐述了实数集的完备性(如“任意非空有上界的实数集必有上确界”),这是后续所有分析学理论成立的基石。随后,我们将引入集合论中的基本概念,如开集、闭集、邻域、聚点等拓扑概念,为后续的极限与连续性定义做准备。我们详细讨论了有界数列的性质,如Bolzano-Weierstrass定理,展示了实数轴的“稠密性”与“完整性”。 第二章:极限、连续性与基本定理 本章是微积分的灵魂所在。我们将使用严格的 $epsilon-N$ 或 $epsilon-delta$ 语言来定义数列极限与函数极限。在此基础上,我们将探讨函数的连续性,并深入剖析连续函数在闭区间上的重要性质,例如最大值最小值定理、介值定理。这些定理是构建微分学和积分学的理论保障。我们还将区分点态收敛与一致收敛的根本区别,为后续的幂级数展开做铺垫。 第三章:导数的精确定义与微分中值定理 本章超越了对瞬时变化率的直观描述,将导数视为线性逼近的最佳体现。我们系统地推导了微分法则,并对导数的几何意义(切线、曲率)进行了深入探讨。篇幅将重点放在三大中值定理上:罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。我们将通过这些定理来证明洛必达法则,并分析函数的单调性、凹凸性,从而掌握函数图像的精细描绘方法。 第四章:定积分的严格构建与微积分基本定理 本章将定积分的定义从面积概念提升到黎曼和的极限形式。我们将详细分析黎曼可积的充分条件(如连续函数、单调函数),并严格证明微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)。此外,我们将介绍积分的推广——反常积分(Improper Integrals),讨论其收敛性的判断方法,如比较判别法和极限比较判别法,这在物理学和概率论中至关重要。 第五章:微分方程初步 本章简要介绍了常微分方程(ODE)的基本概念、阶数与线性齐次性。我们将集中解决一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程(通过积分因子法)以及二阶常系数齐次线性微分方程的求解。这些是工程和科学建模中最基础的工具。 --- 第二部分:线性代数的核心结构与应用 线性代数是研究向量空间、线性映射以及线性方程组的数学分支。它为理解高维空间、数据科学、几何变换提供了必要的代数框架。 第六章:向量空间与子空间 本章奠定线性代数的集合基础。我们从向量的概念出发,推广到抽象的向量空间定义,并列举了函数空间、多项式空间等非直观的例子。核心概念包括线性组合、线性相关与线性无关。我们将引入“基”与“维度”的概念,这是描述向量空间大小的根本工具。随后,我们研究子空间的概念,包括由一组向量张成的空间(Span)、零空间(Null Space)和列空间(Column Space)。 第七章:线性变换与矩阵表示 本章连接了抽象的向量空间与具体的计算工具——矩阵。我们将线性变换定义为保持向量空间结构的映射,并证明每一个线性变换都可以通过选取适当的基而被表示为一个唯一的矩阵。我们深入探讨矩阵的乘法、逆矩阵的性质,以及矩阵的秩。重点分析了矩阵的零空间(核)和值域(像),并将其与线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的解的结构联系起来。 第八章:行列式理论与几何意义 本章系统阐述了行列式的定义、性质和计算方法。我们将通过其递归定义、代数余子式展开以及行/列变换的性质来掌握其计算技巧。行列式在线性代数中扮演着关键角色:它决定了矩阵是否可逆(非奇异),并且其绝对值在几何上代表了线性变换对面积或体积的缩放因子。 第九章:特征值与特征向量 本章是分析线性系统稳定性和动态特性的核心工具。我们定义特征方程,并学会如何求解矩阵的特征值和对应的特征向量。我们将探讨相似变换的概念,并引入对角化的理论,这极大地简化了矩阵的幂运算和动力学系统的分析。 第十章:正交性与最小二乘法 本章引入了内积空间的概念,从而定义了向量的长度、角度和正交性。我们将学习格拉姆-施密特正交化过程,用于将任意一组基转化为一组正交基。最后,我们将应用正交投影的概念来解决最小二乘问题,这是在数据拟合和误差最小化中最常用的线性代数方法。 --- 总结与展望: 本书通过对微积分和线性代数的严谨梳理,为读者构建了一个坚实的数学基础。所涉及的内容涵盖了现代科学、工程、经济和数据科学所需的分析与代数思维模型。学习本书后,读者将具备独立阅读更高级数学著作(如实分析、抽象代数或多元微积分)的能力。我们相信,扎实的理论功底是任何高级应用技术得以突破的关键。

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读后感

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用户评价

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这本书给我的整体感觉是“用力过猛,但方向不对”。它试图通过增加题目的绝对数量和形式的新颖度来体现其价值,但这反而稀释了对核心概念的理解。很多题目设计得过于偏僻和刻意,它们考察的不是学生对数学思想的掌握程度,而是对某种特定解题套路的熟练程度。我花了大量时间去记忆那些在实际考试中可能一年都不会出现一次的“花招”。更糟糕的是,对于那些需要建立深层数学直觉的环节,比如对函数图像变化的敏感度训练,这本书的图形展示非常保守和传统,几乎没有运用现代的动态几何软件辅助说明,这在视觉时代是巨大的短板。它仿佛固执地坚守着上个世纪的教学范式,不愿拥抱任何能让数学学习变得更生动、更直观的工具和方法。对于追求高效学习和深刻理解的现代学习者来说,这本书更像是一个历史的遗物,而不是当下的良师益友。

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这本书的封面设计简直是灾难,那种老气横秋的深蓝色配上略显模糊的印刷字体,让人一看就觉得这不是什么紧跟时代潮流的教材。我本来是抱着对人教版教材一贯信赖的态度买的,希望能找到一本能帮我梳理高中数学脉络的工具书,结果拿到手沉甸甸的,却感觉内容也和它厚重的外观一样沉闷。一开始翻开的时候,我就被那密密麻麻的公式和略显过时的例题排版劝退了。感觉像是回到了十年前的课堂,那种枯燥、公式推导大于直观理解的教学方式,对于现在需要灵活运用知识来解决实际问题的学生来说,简直是场折磨。我尤其不喜欢它在引入新概念时那种生硬的“宣布式”口吻,完全没有引导和启发,仿佛默认读者已经完全掌握了前置知识。如果说它有什么优点,大概就是那种老派的“扎实”感吧,但这种扎实往往是以牺牲趣味性和易读性为代价的。对于那些自学能力强、对数学有极高热情的学霸来说或许适用,但对于大多数在函数、三角函数这些基础知识上挣扎的学生,这本书无异于一本难懂的武功秘籍,让人望而生畏,实在需要极大的毅力才能坚持读完。

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这本书的装帧质量,恕我直言,简直配不上它的价格标签。纸张的触感粗糙得像砂纸,油墨味重得让人头疼,每次翻动时,都能听到纸张摩擦发出的刺耳声响,严重影响了我在图书馆或者安静的自习室里集中注意力。更让人恼火的是,它的印刷错误似乎比其他版本的教材要多一些,我发现至少有三处在坐标系表示上出现了明显的笔误,虽然不影响大局,但对于一门严谨的学科来说,这种低级错误是绝对不能容忍的。我甚至怀疑这批次的质检流程出了问题。作为一本号称“点金训练”的辅助材料,它在细节上的疏忽,极大地削弱了学习过程中的代入感和仪式感。我希望我的学习工具是精良的、可靠的,而不是需要我不断去“容忍”它的物理缺陷。如果连硬件体验都如此糟糕,又如何奢求它能带来精神上的启发呢?

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从内容编排的逻辑性来看,这本书的结构实在是令人费解。它似乎试图把所有可能考到的知识点都塞进有限的篇幅里,导致章节之间的过渡生硬得像生掰开来的一样。比如,在讲完基础的三角函数恒等变换后,下一节立即跳跃到了向量在几何中的应用,两者之间缺乏必要的衔接和铺垫,比如如何用三角函数来解决平面向量的夹角问题,这些典型的交叉知识点,在这本书里没有得到应有的重视和融合。我感觉自己像是在走一个没有地图的迷宫,虽然知道出口总是在某个方向,但每一步都充满了不确定性。这种编排方式对于建立整体观念是极其不利的,它迫使我们把每一个知识点当作孤立的单元来记忆,而不是理解它们是如何相互联系、共同支撑起整个数学大厦的。真正的“必修”应该是循序渐进、层层递进的,而不是这种“知识点大杂烩”。

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我买这本书纯粹是出于被动需求,我们学校的老师指定用这个版本进行点拨训练。说实话,如果不是考试的压力,我绝对不会碰它。它的题目难度设置非常不平衡,有些基础题简直是白送分,用不着我们费心去钻研那些复杂的定理,而有些所谓的“点金”拔高题,简直是逻辑跳跃得令人发指。我记得有一次为了理解一个关于数列求和的压轴题,我查阅了网络上好几个顶尖大学教授的解答视频,才勉强弄懂出题人的思维拐弯处。这本书的解析部分写得极其简略,通常只有步骤的罗列,缺乏对解题思路和思维路径的深度剖析。对于我们这些习惯了跟着老师一步步梳理的群体来说,这种“你得自己悟”的教学方式让人抓狂。它更像是一本面向竞赛选手而不是面向普通高中生的训练手册,那些被反复强调的“必修”知识点,在这里显得过于碎片化和突兀,很难形成一个完整的知识体系。我更倾向于那种能提供多角度解题方案、并详细解释每一步选择依据的辅助材料。

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