Inverse Sturm-Liouville Problems and Their Applications pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Nova Science Publishers

作者:G. Freiling

出品人:

頁數:305

译者:

出版時間:2001-06

價格:USD 120.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9781560729099

叢書系列:

圖書標籤:

• Inverse Problems
• Sturm-Liouville Theory
• Differential Equations
• Spectral Analysis
• Mathematical Physics
• Applied Mathematics
• Numerical Analysis
• Eigenvalue Problems
• Boundary Value Problems
• Asymptotic Analysis

經典數學物理著作導覽：深入探究綫性與非綫性算子理論 本導覽旨在介紹一係列在數學物理、微分方程、泛函分析等領域具有深遠影響力的專著，它們從不同角度剖析瞭核心的理論結構、解的存在性、唯一性、穩定性和應用。這些著作的共同特點是其嚴謹的數學論證和對復雜物理現象的深刻洞察力，是構建現代科學理論大廈不可或缺的基石。 第一部分：偏微分方程的基石與現代分析方法 本部分聚焦於那些奠定現代偏微分方程（PDEs）理論基礎的經典著作，特彆是那些涉及橢圓型、拋物綫型及雙麯型方程的解析技術與泛函分析工具的整閤。 1. Sobolev 空間與弱解理論的拓撲幾何 這一領域的關鍵著作著重於將傳統的基於光滑性的解概念擴展到更廣泛的函數空間，即 Sobolev 空間。核心思想在於利用導數的分布意義來定義方程的“弱解”。 內容概述： 深入探討 $L^p$ 空間、H"older 空間以及更通用的 Sobolev 空間 $W^{k,p}$ 的拓撲結構、嵌入定理（如 Rellich-Kondrachov 定理）和緊性性質。重點分析瞭橢圓型方程（如泊鬆方程、雙調和方程）在這些空間中的弱解的存在性和先驗估計。 關鍵技術： 引入瞭變分法的基礎，如黎賓斯基（Rabinowitz）極值原理，以及利用 De Giorgi-Nash-Moser 理論來研究非綫性擴散方程中解的正則性。討論瞭通過能量泛函的極小化來構造解的有效性。 應用視角： 這些理論是理解膜理論、彈性力學中穩態問題的基礎，特彆是當邊界條件復雜或材料性質非均勻分布時。 2. 動力學係統與時間演化 探討拋物型方程（如熱傳導方程、反應-擴散方程）和雙麯型方程（如波方程、薛定諤方程）的時間演化特性。 內容概述： 側重於半群理論（Semigroup Theory）在處理綫性常係數演化方程中的應用。詳細闡述瞭 $C_0$ 連續半群的構造及其譜理論在確定解的長期行為（如穩定性和漸近性）中的作用。對於非綫性問題，則關注不動點定理（如 Schauder 不動點定理）在局部存在性證明中的運用。 關鍵技術： 介紹瞭利用 Ljapunov 函數來證明解的穩定性，以及利用耗散結構（Dissipative Structures）來研究係統的平衡態。對於波方程，則深入分析瞭能量守恒與特徵綫（Characteristics）的概念。 應用視角： 這些方法直接應用於流體力學（Navier-Stokes 方程的簡化形式）、金融數學中的期權定價模型（Black-Scholes 方程的推廣）以及物理學中的量子力學演化問題。 第二部分：譜理論與算子理論的深化 本部分轉嚮對算子本身的性質研究，特彆是自伴隨算子（Self-Adjoint Operators）的譜理論，這是量子力學和 Sturm-Liouville 問題的核心。 3. 希爾伯特空間上的譜分解 闡述瞭在無限維希爾伯特空間上，綫性算子如何通過譜分解來理解其作用。 內容概述： 詳細分析瞭有界算子和無界算子的分解定理。對於自伴隨算子 $H$，重點討論瞭其譜 $sigma(H)$ 的性質，以及譜測度（Spectral Measures）在定義函數演算（Functional Calculus）中的關鍵作用。這包括將指數函數、三角函數等作用於算子。 關鍵技術： 強調瞭譜定理（Spectral Theorem）的嚴格證明，特彆是通過黎曼-斯蒂爾切斯積分（Riemann-Stieltjes Integration）來構造 $H$ 的任意 Borel 函數 $f(H)$。對於離散譜，則關注本徵函數（Eigenfunctions）的正交歸一化性質。 應用視角： 這是量子力學中哈密頓算符（Hamiltonian Operator）研究的理論基礎，它直接關聯到可觀測量的測量值及其概率分布。 4. 微分算子的正則性與漸近分析 聚焦於那些源自微分方程的特定算子，如拉普拉斯算子及其在有界區域上的推廣。 內容概述： 探討瞭邊界值問題（Boundary Value Problems）的特徵值問題。這涉及到對算子定義域的精確選擇，以確保其自伴隨性。分析瞭在非光滑邊界或有界區域上，特徵值（Eigenvalues）的分布規律和特徵函數的完備性。 關鍵技術： 引入瞭 Weyl 漸近公式，用於描述具有奇特邊界或在無窮大區域上定義的算子的特徵值密度。同時，利用微局部分析（Microlocal Analysis）來研究算子在波前（Wavefronts）上的傳播特性。 應用視角： 在固體物理的能帶結構計算、聲學和電磁波的模態分析中起著決定性作用。 第三部分：非綫性問題與高級拓撲方法 本部分轉嚮更具挑戰性的非綫性偏微分方程，需要結閤拓撲學、變分法和更精細的正則性理論。 5. 變分法與臨界點理論 處理那些可以通過最小化能量泛函來描述的非綫性物理係統。 內容概述： 介紹瞭山路引理（Mountain Pass Lemma）、山巒定理（Saddle Point Theorem）以及更一般的極小化和臨界點搜索方法。重點分析瞭非綫性橢圓型方程（如 $Delta u + g(u) = 0$）中解的存在性與多解性。 關鍵技術： 強調瞭 Palais-Smale 條件（或稱 P-S 條件）的重要性，該條件是保證變分極值點存在的關鍵正則性假設。討論瞭如何通過限製域上的極值點來構造全局解。 應用視角： 廣泛應用於非綫性彈性理論（如薄膜彎麯問題）、非綫性薛定諤方程（Gross-Pitaevskii 方程）中孤立波解的構造。 6. 拓撲不變量與整體性質 介紹如何利用拓撲工具來區分不同類型的解，例如孤立子（Solitons）和拓撲缺陷。 內容概述： 講解瞭度數理論（Degree Theory）在非綫性算子零點理論中的應用。特彆是 Bounded Degree Theorem，用於證明非綫性邊界值問題的解的存在性，特彆是當算子是非綫性的且缺乏自伴隨對稱性時。此外，還涉及同倫（Homotopy）概念在區分拓撲非平凡解（如扭麯解）中的角色。 關鍵技術： 深入研究瞭 Bianchi 恒等式在可積係統中的地位，以及如何利用能量守恒量和拓撲荷（Topological Charge）來證明某些解的穩定性或非存在性。 應用視角： 在場論（Gauge Theories）、拓撲絕緣體研究以及描述液體中渦鏇（Vortices）的運動學分析中具有不可替代的地位。 這些著作共同構成瞭一個嚴密的數學框架，用於描述和預測自然界中從綫性振動到復雜非綫性現象的廣泛物理過程。它們要求讀者具備紮實的分析基礎和對現代數學工具的深刻理解。

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