Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture (Studies in Advanced Mat pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:CRC

作者:Peter B. Gilkey

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:1999-07-27

价格:USD 134.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780849382772

丛书系列:

图书标签:

Spectral geometry
Riemannian geometry
Gromov-Lawson conjecture
Riemannian submersions
Differential geometry
Topology
Manifolds
Analysis
Mathematics
Geometry

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具体描述

This cutting-edge, standard-setting text explores the spectral geometry of Riemannian submersions. Working for the most part with the form valued Laplacian in the class of smooth compact manifolds without boundary, the authors study the relationship-if any-between the spectrum of Dp on Y and Dp on Z, given that Dp is the p form valued Laplacian and pi: Z (R) Y is a Riemannian submersion. After providing the necessary background, including basic differential geometry and a discussion of Laplace type operators, the authors address rigidity theorems. They establish conditions that ensure that the pull back of every eigenform on Y is an eigenform on Z so the eigenvalues do not change, then show that if a single eigensection is preserved, the eigenvalues do not change for the scalar or Bochner Laplacians.For the form valued Laplacian, they show that if an eigenform is preserved, then the corresponding eigenvalue can only increase. They generalize these results to the complex setting as well. However, the spinor setting is quite different. For a manifold with non-trivial boundary and imposed Neumann boundary conditions, the result is surprising - the eigenvalues can change. Although this is a relatively rare phenomenon, the authors give examples - a circle bundle or, more generally, a principal bundle with structure group G where the first cohomology group H1(G;R) is non trivial. They show similar results in the complex setting, show that eigenvalues can decrease in the spinor setting, and offer a list of unsolved problems in this area. Moving to some related topics involving questions of positive curvature, for the first time in mathematical literature the authors establish a link between the spectral geometry of Riemannian submersions and the Gromov-Lawson conjecture. "Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture" addresses a hot research area and promises to set a standard for the field. Researchers and applied mathematicians interested in mathematical physics and relativity will find this work both fascinating and important.

以下是一份关于拓扑学、微分几何与代数拓扑交叉领域的专著简介，旨在探讨与您的特定书籍主题（谱几何、黎曼浸没、格罗莫夫-劳森猜想）不重叠但处于相关数学领域的前沿课题。新书简介：纤维丛、特征类与低维流形的拓扑不变量导言：在结构与不变量之间架设桥梁本书深入探讨了现代微分拓扑学的核心领域，专注于纤维丛的同调结构、特征类理论的深化应用，以及低维流形（特别是3流形和4流形）的拓扑不变量。本书旨在为研究生和研究人员提供一个深入而严谨的框架，理解如何利用代数拓扑工具剖析光滑流形的几何结构，特别是那些超越标准黎曼几何范畴的复杂拓扑现象。我们超越了局部微分的视角，将重点放在全局拓扑性质上，特别是那些由纤维丛的结构群和上同调环所决定的不变量。本书的论述建立在古典代数拓扑（如奇异同调、纤维丛理论）的基础上，并引入了当代几何分析的最新进展，特别是关于规范场理论（Gauge Theory）在拓扑学中的应用。第一部分：纤维丛与上同调理论的深化本书的第一部分致力于复习并深化对纤维丛的理解，并将其与代数拓扑的强大工具——上同调理论——紧密结合。第一章：纤维丛的分类与稳定结构本章首先回顾了向量丛和主丛的经典分类定理（如庞加莱对偶的应用）。核心在于引入稳定向量丛（Stable Vector Bundles）的概念，并探讨其与K理论的联系。我们详尽分析了Thom空间和Pontryagin-Thom构造，解释了如何将拓扑空间的问题转化为稳定同伦群中的问题。特别地，我们将研究Thom同构在计算特定流形上纤维丛上同调群时的精确条件和局限性。第二章：特征类的进一步研究：示性类与规范理论的交汇特征类是连接纤维丛结构与流形拓扑的核心工具。本章将超越陈类（Chern Classes）和庞加莱类（Pontryagin Classes）的基本定义，深入探讨示性类（Stiefel-Whitney Classes）在实向量丛中的作用，以及它们如何与流形的局部微分结构（如二次型）产生深刻的联系。关键内容包括： 1. Whitney 乘积公式的推广：探讨在非平凡纤维丛上如何计算上积（cup product）和截面（cross product）。 2. 广义上同调与配边的关系：介绍配边群（Cobordism Groups）与稳定示性类的关系，特别是米勒-塞里定理（Miller-Seiberg Theorem）在拓扑场的背景下的现代诠释。 3. 规范群作用下的特征类：引入规范上同调（Gauge Cohomology）的概念，探讨在$SU(n)$或$Sp(n)$纤维丛下，如何利用贝蒂-雅各布森（Betti-Jacobson）理论构造出对规范变换不敏感的拓扑不变量。第三章：同伦论与截面存在性本章侧重于利用纤维丛的纤维化性质来分析流形上的截面问题。我们引入了塞尔谱序列（Serre Spectral Sequence）的强大应用，特别是在处理纤维丛$F o E o B$的上同调时，如何通过分析谱序列的收敛和$E_2$项的结构来确定纤维的上同调群。此外，本章还将讨论Hopf不变量在球面上纤维丛中的推广，以及由截面存在性引出的拓扑约束。第二部分：低维流形的拓扑不变量与嵌入理论第二部分将视角转向具体的流形，特别是三维和四维流形，这些维度因其特殊的拓扑刚性而成为现代几何学研究的焦点。第四章：三维流形的拓扑分解与几何化本章专注于三维流形的拓扑分类。我们详尽分析了Thurston的几何化纲领，侧重于代数拓扑工具如何支持这一纲领： 1. 基本群与黎曼曲面结 (Torelli's Theorem in 3D)：分析3流形的基本群如何编码其拓扑结构。 2. 可定向性与Dehn引理：从代数拓扑的角度严格证明Dehn引理，并探讨其在分解环面和球面上的应用。 3. 拟同构与拟等距 (Quasi-isometry)：在不涉及黎曼度量的具体细节下，探讨3流形的拓扑结构如何通过其基本群的拟等距性质被近似识别。第五章：四维流形的拓扑与规范场理论的遗产四维流形是规范场理论（如Donaldson理论）的自然温床。本章不深入规范场的具体计算，而是关注其为拓扑学带来的拓扑不变量： 1. Donaldson不变量的拓扑起源：解释这些不变量如何源于$SU(2)$规范群下的瞬子（Instanton）解的模空间，以及它们如何作用于四维流形的第二陈类。 2. Lex-Seiberg-Witten理论的拓扑含义：介绍$U(1)$规范理论的拓扑推论——Seiberg-Witten不变量。我们将着重探讨这些不变量如何提供比Chern-Simons理论更精细的拓扑区分能力，特别是在区分具有相同Chern类和Pontryagin类的流形方面。 3. 嵌入与交点理论：研究流形内部曲面（如球面或环面）的自交点（Self-Intersection）和交点形式（Intersection Form），特别是高维流形中的Poincaré对偶在确定嵌入空间中的不变量时的作用。第六章：拓扑排序与流形之间的映射本书的最后一部分聚焦于在不同的拓扑空间之间构造保持结构的映射，并研究这些映射如何传递或改变拓扑信息。我们将分析Fibrations (纤维化) 与 Bundle Maps (丛映射)，重点放在如何利用Hurwitz 数来分类具有特定分支点的曲面到曲面的映射。此外，还探讨了高维拓扑中的不动点定理（如Brouwer不动点定理的推广），以及这些不动点如何与流形上的特定几何结构（如向量场或微分同胚）相关联。结论：几何洞察与代数约束本书的核心论点是，尽管黎曼几何提供了局部度量的精确工具，但流形最深刻的全局性质往往被嵌入在纤维丛的代数结构和特征类的组合逻辑之中。通过对这些代数拓扑工具的系统性、深入的探讨，本书为读者提供了一套强大的、独立于具体度量的拓扑分析方法。目标读者：具有扎实代数拓扑和微分几何基础的研究生、博士后研究人员，以及致力于流形拓扑、规范理论拓扑应用和几何分析的数学家。本书的难度和深度适中，可作为高级研究生课程的教材或专业研究的参考书。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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拿到这本书，首先被它厚实的体积和严谨的排版所吸引。作为一名对几何分析充满兴趣的学者，我一直在寻找能够深入理解曲率和谱性质之间关系的文献。《Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture》这个书名，直接点明了其核心主题，让我对它充满了期待。我对黎曼浸入的构造和性质在谱理论中的应用感到尤为好奇，因为直觉上，黎曼浸入能够将复杂流形“折叠”成更简单的结构，这种降维的过程是否会对谱函数的行为产生某种规律性的影响？更不用说Gromov-Lawson猜想了，这个猜想在微分几何领域占据着举足轻重的地位，它的表述本身就充满了数学的诗意，而这本书似乎打算通过谱几何的视角来逐一剖析它。我猜测书中会详细介绍谱序列、Lefschetz定理的推广，以及如何利用算子代数和调和分析的工具来构建黎曼流形的谱不变量。这本书的内容深度预示着它并非易读之作，需要扎实的微分几何基础和一定的分析功底。但我相信，通过对这本书的学习，我不仅能深化对现有知识的理解，更能触及到当前几何分析研究的最前沿，或许还能从中获得新的研究灵感，为我日后的学术探索铺平道路。

评分☆☆☆☆☆

当我在书架上看到《Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture (Studies in Advanced Mathematics)》这本书时，我的研究兴趣瞬间被点燃了。我一直对那些能够连接不同数学领域，尤其是几何和分析之间桥梁的理论感到着迷。谱几何，作为一门新兴的学科，它利用算子（如拉普拉斯算子）的谱来研究几何对象的性质，这种方法本身就充满着魔力。而黎曼浸入，则是一种将高维黎曼流形映射到低维流形的重要工具，它在许多几何问题中扮演着关键角色。将这两个概念与举世闻名的Gromov-Lawson猜想相结合，这本书预示着它将深入探讨正曲率流形的存在性问题，这是一个长久以来困扰数学家的难题。我非常期待书中能够详细阐述如何运用谱理论的语言来刻画和理解流形的曲率性质，或许是通过研究特征值与截面曲率之间的关系，或者是利用谱不变量来区分不同的黎曼流形。同时，我也很好奇黎曼浸入在解决Gromov-Lawson猜想中扮演的具体角色，它是否能够通过简化流形的结构，为分析曲率提供便利？这本书无疑为几何分析的研究者提供了一个宝贵的资源，我期望通过阅读这本书，能够拓展我在这方面的视野，并为我未来的研究提供新的思路和方法。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名《Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture (Studies in Advanced Mathematics)》仿佛为我打开了一个通往抽象数学世界的大门。我一直对那些能够深刻揭示空间结构本质的理论感到由衷的敬畏。“Spectral Geometry”这个词汇本身就充满了一种“听声辨形”的神秘感，暗示着通过研究流形上的微分算子的谱（特征值和特征向量），我们可以获得关于其几何性质的深刻洞察。而“Riemannian Submersions”则是我一直以来颇感兴趣的研究对象，它们提供了将复杂流形结构分解为更简单部分的强大工具。更不用说那个宏伟的“Gromov-Lawson Conjecture”，它关乎着正曲率流形的存在性，是微分几何中的一大挑战。将这三者联系在一起，这本书无疑指向了当前数学研究的前沿，预示着它将深入探讨如何利用谱理论的强大分析工具来解决深奥的几何问题，特别是Gromov-Lawson猜想。我猜测书中会涉及大量的关于算子代数、调和分析以及微分几何的严谨论证。虽然预感到阅读过程会充满挑战，但我坚信，通过潜心研究这本书，我将能够更深入地理解几何和分析的交汇之处，并领略到数学家们如何以非凡的智慧和毅力去探索数学的边界。

评分☆☆☆☆☆

我之所以对《Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture (Studies in Advanced Mathematics)》这本书产生浓厚的兴趣，很大程度上源于其极具挑战性的研究课题。我一直对拓扑学和微分几何中那些看似简单但实则蕴含深邃思想的猜想着迷，而Gromov-Lawson猜想无疑是其中的佼佼者。它触及了流形上正曲率的存在性问题，这本身就是一个极其困难且深刻的几何问题。这本书将谱几何和黎曼浸入作为研究工具，这让我看到了一个全新的解决问题的视角。我很好奇，谱几何的工具，例如拉普拉斯算子的特征值和特征向量，是如何被用来捕捉流形的几何信息，特别是那些与曲率密切相关的性质的。而黎曼浸入，作为一种“纤维化”流形的方法，是否能够简化Gromov-Lawson猜想的分析，使得在高维甚至任意维度上处理该猜想成为可能？这本书很可能包含了关于谱序列、柯西-黎曼方程在几何流中的应用，以及如何利用柯慕尔-马丁定理来建立谱隙和曲率之间的联系。我预感这本书的内容会非常密集，需要我付出大量的精力去消化和理解，但正是这种挑战性，激发了我深入钻研的欲望，我渴望通过这本书，能够真正理解这个数学难题的精髓，并学习到最前沿的几何分析方法。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名《Spectral Geometry, Riemannian Submersions, and the Gromov-Lawson Conjecture (Studies in Advanced Mathematics)》一开始就吸引了我，虽然我并不完全理解书中的所有专业术语，但“Spectral Geometry”（谱几何）和“Riemannian Submersions”（黎曼浸入）这些词汇本身就带着一种深邃而迷人的数学气息。我一直对那些能够连接不同数学分支的理论感到好奇，而书名中将谱几何、黎曼浸入以及著名的Gromov-Lawson猜想并列，暗示着它可能探讨着几何学和分析学之间深刻的联系，甚至可能触及到拓扑学和微分几何的前沿问题。我想象着这本书会如何利用谱论的工具来研究微分流形的几何性质，特别是那些与 Ricci 曲线和正曲率相关的深刻猜想。Gromov-Lawson猜想更是数学界的一颗璀璨明珠，它的证明或反证对于理解微分流形的整体几何结构具有里程碑式的意义。这本书的出现，无疑为我提供了一个深入探索这些高深领域的绝佳机会，让我得以一窥数学家们是如何在抽象的空间中构建深刻的洞察，以及如何通过严谨的逻辑和精妙的计算来攻克那些看似遥不可及的数学难题。我期待这本书能够带我领略数学的壮丽风景，即使有些地方我需要反复琢磨，但那种求知的乐趣和智力上的挑战本身就令人着迷。

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