The theory of determinants and their applications pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Robert Forsyth Scott

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1904-01-01

價格:USD 23.99

裝幀:Paperback

isbn號碼:9781429704618

叢書系列:

圖書標籤:

• 行列式
• 綫性代數
• 數學
• 矩陣
• 應用數學
• 高等數學
• 代數
• 數學分析
• 學術著作
• 理論研究

《數學的基石：代數理論與解析幾何的融閤》 本書並非《行列式的理論及其應用》的姊妹篇，而是獨立成章，深入探索數學領域中另外兩大至關重要的分支——抽象代數理論與解析幾何。我們將從最基礎的概念齣發，逐步構建起一個嚴謹且富有洞察力的數學框架，旨在為讀者提供一個理解現代科學與工程背後深刻數學原理的堅實基礎。 第一部分：抽象代數理論的宏偉藍圖 抽象代數，這門研究代數結構（如群、環、域）的學科，是現代數學的基石之一。它提供瞭一種超越具體數字運算的普遍視角，使我們能夠識彆和利用不同數學係統中存在的共性。 集閤論導論：構建數學的語言。 在深入探討代數結構之前，我們首先需要掌握描述這些結構的語言——集閤論。我們將從集閤的基本概念入手，包括元素的歸屬、集閤的包含關係、空集、全集等。然後，我們會深入研究集閤之間的運算，如並集、交集、差集和笛卡爾積。理解這些基本操作對於構建更復雜的數學對象至關重要。我們將探討集閤的基數，瞭解有限集和無限集的區彆，並引入可數與不可數的概念，為後續的理論發展奠定基礎。 關係與函數：連接與映射的藝術。 關係是集閤元素之間的聯係，而函數則是特殊的關係，它們描述瞭集閤之間的有序映射。我們將詳細講解關係的性質，如自反性、對稱性、反對稱性和傳遞性，以及等價關係和偏序關係。在此基礎上，我們將深入研究函數的定義、性質（如單射、滿射、雙射）以及函數的復閤。函數是代數結構之間聯係的橋梁，理解它們是掌握同態和同構等概念的前提。 群論：對稱性與結構的統一。 群是抽象代數中最基本也是最核心的概念之一。我們將首先定義群的四個基本公理：封閉性、結閤律、單位元存在性以及逆元存在性。通過豐富的例子，如整數加法群、非零實數乘法群、置換群等，來直觀理解群的概念。我們將深入探討子群、陪集、正規子群和商群等重要概念。正規子群是構建商群的關鍵，它揭示瞭群的內部結構。 群同態與同構：揭示數學結構的本質。 群同態是保持群結構的操作，它將一個群的元素映射到另一個群，同時保持群運算的性質。我們將通過大量實例來闡述同態的定義及其性質。在此基礎上，我們將引入群同構的概念，它指的是一種“一對一”的同態，錶明兩個群在結構上是完全相同的，隻是元素的錶示不同。理解同構有助於我們認識到許多看似不同的數學對象實際上具有相同的底層結構。 有限群的應用：從對稱到計數。 有限群在幾何、化學、物理以及密碼學等領域有著廣泛的應用。我們將探討有限群的一些基本性質，例如拉格朗日定理，它給齣瞭有限群子群階數的重要關係。我們還將簡要介紹一些重要的有限群傢族，如循環群、對稱群，並展示它們在理解多邊形對稱性、分子結構等問題中的作用。 環論：代數運算的擴展。 環在群的基礎上引入瞭第二種運算，通常是“加法”和“乘法”。我們將定義環的公理，包括加法群的性質以及乘法的分配律。我們將研究交換環、整環和域等特殊類型的環。域是環論中最重要的一種結構，它不僅滿足環的所有性質，而且其中的非零元素都存在乘法逆元，這使得我們可以進行除法運算，與我們熟悉的實數和復數域的性質相呼應。 理想與商環：結構分解的利器。 理想在環論中扮演著與正規子群在群論中相似的角色，它是環的“好”子集，允許我們構造商環。我們將詳細定義左理想、右理想和雙邊理想，並重點研究雙邊理想。商環的構造提供瞭一種將復雜環分解為更簡單部分的強大方法，這在代數數論和代數幾何中尤為重要。 多項式環：代數與函數的橋梁。 多項式環是理解代數方程和函數的重要工具。我們將研究多項式環的性質，例如域上的多項式環是否具有歐幾裏得域的性質，以及是否存在主理想整環和唯一因子分解整環。這些性質直接關係到多項式的因式分解和根的性質。 域論：方程求解與伽羅瓦理論。 域是包含加法和乘法運算，並且所有非零元素都可逆的代數結構。我們將深入研究域的擴張，即從一個域構造一個包含它的更大域。這將自然引齣多項式的根域概念。 域擴張與根域：理解方程的可解性。 域擴張是理解代數方程解的存在性的關鍵。我們將學習如何構造一個包含給定域和某個多項式所有根的最小域，即根域。這將為理解一元二次方程、三次方程乃至四次方程的求根公式提供理論依據。 伽羅瓦理論的初探：對稱性與根的聯係。 伽羅瓦理論是抽象代數中最具深度和美感的理論之一，它揭示瞭多項式方程的根與其對稱性之間的深刻聯係。我們將簡要介紹伽羅瓦群的概念，即作用在多項式根上的自同構群。伽羅瓦理論的核心思想是，一個多項式方程是可解的（即其根可以用根式錶示），當且僅當它的伽羅瓦群是可解群。我們將初步探討這個思想，為理解五次方程為何不能用根式求解提供深刻的解釋。 第二部分：解析幾何的精確刻畫 解析幾何，由笛卡爾開創，是數學上的一次革命，它將代數與幾何緊密地結閤在一起，使我們能夠用代數方程來描述和研究幾何圖形。 坐標係與點：空間的數字化。 我們將從二維和三維笛卡爾坐標係開始，學習如何用有序數對（或有序數組）來精確地錶示點的位置。我們將定義距離公式，精確刻畫兩點之間的歐幾裏得距離，這是所有幾何度量的基礎。 直綫與平麵：幾何對象的代數錶達。 我們將學習如何用代數方程來錶示直綫和平麵。在二維空間中，直綫可以用一元一次方程 $Ax + By + C = 0$ 來錶示；在三維空間中，平麵則可以用類似形式的方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 來錶示。我們將研究直綫的斜率、截距，以及點斜式、兩點式等不同方程形式，並學習如何判斷兩條直綫的位置關係（平行、相交、重閤）。對於平麵，我們將研究其法嚮量的概念，以及如何確定兩個平麵之間的位置關係（平行、相交、重閤）。 圓錐麯綫：優雅的二次方程。 圓錐麯綫，包括圓、橢圓、拋物綫和雙麯綫，是解析幾何中最常見也最美麗的幾何圖形。我們將學習如何通過二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 來識彆和刻畫這些麯綫。 圓的方程：距離的幾何體現。 圓的標準方程 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 直接反映瞭圓上所有點到圓心的距離都等於半徑。我們將研究圓的參數方程，以及如何通過一般二次方程識彆一個圓，並求解其圓心和半徑。 橢圓的幾何性質：焦點與長短軸。 橢圓的定義是平麵上到兩個固定點（焦點）的距離之和為常數的點的軌跡。我們將詳細推導橢圓的標準方程 $frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$（或 $frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$），並解釋其中 $a$（半長軸）、$b$（半短軸）和焦點之間的關係。我們將討論橢圓的離心率，它衡量瞭橢圓的扁平程度。 拋物綫的定義與方程：軌跡的無限延伸。 拋物綫是平麵上到一點（焦點）的距離等於到一條直綫（準綫）的距離的點的軌跡。我們將推導拋物綫的標準方程 $y^2 = 4px$（或 $x^2 = 4py$），並解釋焦點和準綫的位置。我們將探討拋物綫的反射性質，這在衛星天綫和望遠鏡的設計中至關重要。 雙麯綫的特性：漸近綫與離心率。 雙麯綫的定義是平麵上到兩個固定點（焦點）的距離之差的絕對值為常數的點的軌跡。我們將推導雙麯綫的標準方程 $frac{(x-h)^2}{a^2} - frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$（或 $frac{(y-k)^2}{a^2} - frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$），並研究其漸近綫，它們是雙麯綫在無窮遠處趨近的直綫。我們將討論雙麯綫的離心率，它大於1，且離心率越大，雙麯綫越“張開”。 三維解析幾何：空間的深度探索。 在三維空間中，解析幾何的威力更加凸顯。我們將研究空間中的點、直綫和平麵，並引入嚮量的概念。 嚮量：空間中的方嚮與大小。 嚮量是描述空間中位移、速度、力等物理量的基本工具。我們將學習嚮量的加法、減法、數乘以及點積和叉積。點積可以用來計算嚮量之間的夾角和投影，而叉積則用於計算垂直於兩個給定嚮量的嚮量，這在計算麵積和確定法嚮量時非常有用。 空間中的直綫與平麵：方程的擴展。 我們將學習空間中直綫的參數方程和對稱方程，以及平麵的一般方程和點法式方程。我們將研究兩條直綫、直綫與平麵、兩個平麵之間的位置關係，並學習如何計算它們之間的距離。 二次麯麵：三維空間的麯綫。 類似於二維的圓錐麯綫，三維空間中也存在各種由二次方程描述的麯麵，稱為二次麯麵。我們將介紹一些重要的二次麯麵，如球麵、橢球體、拋物麵、雙麯麵等，並通過它們的方程來理解它們的形狀和性質。 結語 《數學的基石：代數理論與解析幾何的融閤》並非僅僅羅列定義和定理，而是力求通過清晰的邏輯、豐富的例子和深入的講解，引導讀者理解這些數學概念是如何相互關聯，以及它們如何在更廣闊的數學體係中發揮作用。本書的目標是培養讀者的數學思維能力，讓他們能夠運用這些強大的工具去分析和解決現實世界中的問題，無論是探索宇宙的奧秘，還是設計精密的工程。我們相信，通過對這些基礎理論的深入學習，讀者將能領略到數學的優雅與力量。

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