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《代数几何基础：域、环与模》 作者： [此处留空，意指非《Linear topologies on a ring》的作者] 出版社： [此处留空，意指非原书出版社] 页数： 约 750 页 ISBN： [此处留空] --- 内容概述 本书旨在为读者构建一个坚实的基础，以理解现代代数几何的核心概念——域（Fields）、环（Rings）以及它们上的模（Modules）。本书的叙事逻辑清晰，从最基础的集合论概念出发，逐步过渡到抽象代数的关键结构，最终为深入研究代数几何打下不可或缺的理论基石。全书力求在保持数学严谨性的同时，辅以大量的例子和练习，帮助学习者建立起直观的理解。 第一部分：基础回顾与数论的视角 本部分首先对必要的预备知识进行系统回顾，重点放在群论（Group Theory）和环论的初级概念上。 第一章：集合与映射的代数基础 详细介绍了集合论中的基本概念，包括关系、函数、构造新的集合，并引入了同构（Isomorphism）的概念，为后续的代数结构定义奠定形式语言。 第二章：整数环 $mathbb{Z}$ 与理想的初步探索 从最熟悉的环 $mathbb{Z}$ 出发，介绍整环（Integral Domains）的定义。重点阐述了 $mathbb{Z}$ 中理想（Ideals）的结构，特别是主理想（Principal Ideals）的概念，为后续更高维环的理想结构研究做铺垫。同时，引入了同余关系（Congruence Relations）和商环（Quotient Rings）的构造，这是理解模和代数簇结构的关键步骤。 第三章：域的构建与有限域 本章聚焦于域（Fields）。从有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的性质入手，探讨了域的特征（Characteristic）。核心内容是域的扩张（Field Extensions），包括代数扩张和超越扩张。详细论述了最小多项式（Minimal Polynomials）和伽罗瓦理论（Galois Theory）的初步引入，特别是有限域（Finite Fields）的构造及其在编码理论中的初步应用，完全避开了关于拓扑结构或连续性的一般讨论。 第二部分：环论的深化与结构分解 第二部分是本书的核心，专注于对环结构的深入剖析，特别是那些具备良好“几何”行为的环。 第四章：交换环的分类与特征 本章系统地定义并研究了数个重要的环族：整环、局部环（Local Rings）、正则局部环（Regular Local Rings）的初步概念。重点在于理解主理想整环（PID）和唯一分解整环（UFD）的定义、相互关系及其在多项式环 $K[x]$ 上的体现。讨论了零因子（Zero Divisors）的后果，以及域与这些环的本质区别。 第五章：理想的结构与分解 本章深入研究了环中的理想理论。详细讨论了素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）的性质，以及它们与商环的素性、极大性的关系。内容涵盖了诺特环（Noetherian Rings）的概念，特别是希尔伯特基定理（Hilbert Basis Theorem）的陈述和应用，强调了这些环在代数几何中作为坐标环的重要性。我们探讨了理想的乘积、交集以及它们的生成元问题，但所有讨论都严格限定在代数结构本身，不涉及任何拓扑概念。 第六章：非交换环的初步接触 为了保证代数基础的完备性，本章简要介绍了非交换环，特别是除环（Division Algebras）和斜域（Skew Fields）的性质。引入了环的中心（Center）和简单环（Simple Rings）的概念，讨论了马尔可夫夫定理（Artin-Wedderburn Theorem）的背景，但本书的重点和后续章节仍将回归交换环。 第三部分：模论：线性结构的代数视角 第三部分将视角从环本身扩展到环上的模，这是理解向量空间（作为域上的模）的一般化。 第七章：模的基本定义与构造 定义了模（Modules）的概念，将环视为自身的模，并将域上的向量空间视为一种特殊的模。详细讨论了子模（Submodules）、模的商（Quotient Modules）以及模同态（Module Homomorphisms）。重点分析了自由模（Free Modules）的性质，并引入了秩（Rank）的概念。 第八章：模的分解与结构定理 本章的核心是模块的分解理论。详细介绍了模上的短正合列（Short Exact Sequences）和分裂的概念。对于 PID 上的模，详细阐述了结构定理（Structure Theorem for Modules over a PID），这表明任何有限生成模都可以分解为自由模、挠模和扭转模的直和，这是深入理解线性代数和更高阶代数结构的关键。 第九章：张量积与对偶性 介绍了张量积（Tensor Products）的构造及其通用性质。张量积被视为构建更高阶模结构（如双模）的代数工具。同时，讨论了对偶模（Dual Modules）的概念，以及在有限生成模情况下，模与对偶模之间的关系，特别是模的“对偶性”在纯代数框架下的表现。 --- 本书的特点与目标读者 本书的结构旨在为学习者提供一个清晰、无缝的路径，从基础的数论概念过渡到抽象代数的核心理论。本书严格侧重于环、域和模的代数结构、分解理论和同构分类。 主要特点： 1. 纯代数视角： 内容完全基于集合论和映射的严格定义，不涉及拓扑学中的任何概念，如收敛性、开/闭集、连通性或连续性。 2. 结构驱动： 强调对不同代数结构（如 UFD、Noetherian Ring、Local Ring）的分类和相互关系的研究。 3. 丰富的例子： 大量使用多项式环、矩阵环（作为非交换环的例子）和特定构造的有限环来阐明抽象定理。 目标读者： 本书适合于数学、物理、计算机科学中需要深入理解代数结构的研究生或高年级本科生。它特别适用于那些需要为学习代数几何、代数数论或表示论打下扎实代数基础的读者，这些领域的核心工具正是本书所涵盖的环、域和模的理论。 --- 本书不包含以下任何内容： 拓扑空间、拓扑结构或流形的概念。 任何形式的连续映射的讨论。 任何涉及点集拓扑或代数拓扑的理论。 关于范畴论（Category Theory）的深入探讨，尽管模论的某些表达方式可能与范畴论相交汇，但本书将所有内容严格限制在集合论的语言中进行阐述。
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