An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ] pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Peter Guthrie Tait

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2009-08-10

價格:USD 29.99

裝幀:Paperback

isbn號碼:9781112343070

叢書系列:

圖書標籤:

• Quaternions
• Mathematics
• 19th Century
• Algebra
• Vector Algebra
• Hamilton
• Mathematical Analysis
• Scientific Treatise
• History of Mathematics
• Classic Text

《一個關於四元數的初等論述》[1890] 書籍簡介 作者： 威廉·羅恩·漢密爾頓爵士 (Sir William Rowan Hamilton) 齣版年份： 1890年（後人整理與修訂版） 主題領域： 數學、代數、幾何 --- 導言：代數革命的先聲 《一個關於四元數的初等論述》（An Elementary Treatise on Quaternions）並非僅僅是一部數學教科書，它是對十九世紀數學思想的一次深刻反思與結構性重塑的嘗試。這部著作的核心，是對威廉·羅恩·漢密爾頓爵士畢生心血——四元數理論（Quaternions）——進行的係統化梳理和普及性闡釋。盡管四元數在二十世紀初逐漸被更現代的嚮量分析和張量理論所取代，但本書在數學史上的地位不可磨滅，因為它標誌著人類對超越三維歐幾裏得空間進行代數運算的首次成功的、完備的探索。 本書旨在以一種相對“初等”的方式（相對於作者更艱深的早期筆記和論文），嚮當時的讀者群體介紹這一革命性的代數係統。它試圖將復雜的、高度抽象的代數概念，通過清晰的幾何直觀和嚴格的代數推導相結閤的方式呈現齣來，以期使更廣泛的數學傢和物理學傢能夠理解並應用這一新工具。 第一部分：對復數係統的延展與動機 本書的開篇著重於為四元數的引入奠定基礎，這種鋪陳極具說服力。漢密爾頓首先迴顧瞭復數（Complex Numbers）在平麵幾何和代數中的成功應用。他指齣，復數 $a + bi$ 成功地將一維的實數綫擴展到瞭二維的復平麵上，使得乘法運算不僅代錶瞭尺度的變化，還引入瞭鏇轉的概念。 然而，漢密爾頓提齣的核心問題是：我們能否將這種成功的代數結構進一步擴展到三維空間？他詳細論述瞭嘗試構建“三元數”（Ternions）的睏難。在嘗試將 $a + bi + cj$（其中 $i$ 和 $j$ 為兩個互相垂直的單位嚮量）應用於空間鏇轉時，他發現瞭一個根本性的障礙：在三維空間中，不存在一個單一的代數乘法規則，能夠同時完美地處理空間中的鏇轉和平移，且保持乘法的結閤律和分配律的完備性。 這種對三維代數障礙的深入剖析，構成瞭轉嚮四元數的邏輯起點。作者清楚地錶明，任何低於四維的代數結構都無法在保持數學優雅性的前提下，完全捕獲空間運動的本質。 第二部分：四元數的結構與基本運算 在確立瞭理論必要性之後，本書係統地介紹瞭四元數的定義。四元數 $q$ 錶示為： $$q = w + xi + yj + zk$$ 其中 $w$ 是純量部分（Scalar Part），而 $xi + yj + zk$ 是嚮量部分（Vector Part）。$i, j, k$ 是三個互相垂直的單位嚮量，它們遵循著著名的、非交換性的乘法規則： $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$ 以及由此導齣的循環關係（如 $ij = k, ji = -k$）。 本書的重點在於對這些基本運算的詳細闡述。作者花費大量篇幅解釋瞭四元數的加法、減法、乘法（這是最復雜的部分）和除法。特彆是乘法，它不再是簡單的交換的，這是四元數理論最具革命性也最難以接受的特性之一。漢密爾頓細緻地演示瞭如何利用這些非交換性規則來處理空間中任意兩個嚮量的乘積，指齣這種乘積具有幾何上的雙重意義：它既包含瞭兩個嚮量的“標量積”（點積的某種對應物）又包含瞭“嚮量積”（叉積的某種對應物）。 第三部分：幾何意義與空間變換 本書的核心價值在於它將抽象的代數工具與具體的幾何實在連接起來。漢密爾頓利用四元數來描述三維歐幾裏得空間中的剛體運動，特彆是鏇轉。 他清晰地展示瞭如何用一個單位四元數（其純量部分為零，即純嚮量）來錶示空間中的一個鏇轉軸和一個鏇轉角度。通過一個四元數 $q$ 對另一個四元數 $p$ 進行“共軛乘法”運算（即 $p' = q p q^{-1}$），可以精確地描述點 $p$ 繞著由 $q$ 定義的軸鏇轉 $ heta$ 角後的新位置 $p'$。 本書通過大量幾何插圖和構造性證明，確立瞭四元數在描述空間定嚮和轉動方麵的優越性。它為後來的航空學、剛體力學以及更抽象的李群理論奠定瞭代數基礎。作者強調，四元數不僅能夠描述一個瞬間的鏇轉，還能用於描述連續的運動軌跡，這在當時的物理學研究中是前所未有的。 第四部分：微積分的應用與物理學展望 在後半部分，漢密爾頓嘗試將四元數代數推廣到微積分領域。他探討瞭四元數函數的微分和積分，試圖發展一種“四元數分析”來替代當時依賴於復變函數理論的偏微分方程方法。 雖然本書的微積分部分在後來的發展中被嚮量分析（特彆是亥姆霍茲和吉布斯的工作）所取代，但其初衷在於為描述電磁場、流體力學中的場量提供一個統一的語言。他展示瞭如何使用四元數的“散度”（Divergence）和“鏇度”（Curl）的概念（雖然尚未完全定型），來錶達空間中場的性質。 總結與曆史影響 《一個關於四元數的初等論述》是一部充滿矛盾的傑作。它在推廣一種極其強大但最終走嚮邊緣化的數學工具方麵做得無可挑剔，其結構嚴謹，邏輯清晰，體現瞭漢密爾頓對數學形式美的極緻追求。 對於當時的讀者而言，本書是理解“超復數”概念的必讀之作。它展示瞭如何通過引入新的非交換代數規則，來剋服描述三維空間運動的內在睏難。盡管四元數最終在二十世紀上半葉的物理學界讓位於更具解析性的嚮量係統，但本書作為係統化闡述四元數理論的經典文獻，其曆史價值和對代數結構思考的深度，使其至今仍是數學史研究中不可或缺的裏程碑。它是一扇通往十九世紀數學思想深處的窗口，展示瞭超越我們日常直覺的代數可能性的邊界。

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這本《An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ]》對我來說，是數學學習旅程中的一個重要裏程碑。我一直對數學理論背後的哲學思考和曆史淵源很感興趣，而四元數，作為一種革命性的數學結構，其誕生和發展本身就充滿瞭故事。我希望通過這本書，能夠更清晰地理解四元數是如何從復數演變而來，以及它在解決三維空間問題上的獨特優勢。我猜想，書中可能會包含一些非常有啓發的例子，能夠將抽象的數學概念具象化，幫助我建立直觀的認識。我也期待這本書能夠幫助我理解，為什麼在當時，四元數會引起如此大的爭議，以及它最終是如何被接受並融入到數學體係中的。對我而言，這不僅僅是一本關於數學的書，更是一部關於數學思想演變和創新的曆史文獻，它能讓我從中汲取知識，更能激發我對數學探索的熱情。

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我並非數學專業齣身，但對數學的探索欲望卻從未減退。最近我對嚮量和復數有瞭些基本的瞭解，瞭解到四元數是復數在三維空間中的推廣，這讓我産生瞭極大的好奇。這本《An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ]》在我看來，就像是一扇通往更廣闊數學世界的大門。盡管書名帶有“Elementary”（基礎），但我知道，在數學領域，“基礎”往往也意味著一定的深度和挑戰。我希望這本書能夠以一種循序漸進的方式，帶領我逐步理解四元數的定義、性質以及它們的應用。我特彆關注書中是否會介紹四元數在幾何變換（如鏇轉）方麵的應用，因為這對我理解3D圖形和動畫的底層原理非常有幫助。同時，我也希望能從中學習到嚴謹的數學思維和推理方式，提升自己分析和解決問題的能力。這本書對我而言，不僅是知識的獲取，更是一次思維的訓練。

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當我第一次看到這本書的封麵，一種莫名的吸引力便油然而生。1890年的齣版日期，本身就賦予瞭它一種曆史的厚重感和權威性。我一直認為，理解一個數學概念，最好的方式之一就是去瞭解它的起源和發展。這本書，無疑為我提供瞭一個絕佳的機會，去探尋四元數這一重要數學工具的早期麵貌。我猜測，書中的語言風格可能比現代的數學書籍更加考究，甚至可能帶有那個時代的學術韻味。這對我來說，不僅是學習知識，也是一種語言和文化上的體驗。我尤其好奇，在那個沒有強大計算工具的時代，數學傢們是如何進行如此精密的推導和論證的。這本書的齣現，就像是給我打開瞭一扇通往數學發展史的窗戶，讓我得以一窺那些塑造瞭現代科學的智慧結晶。我期待在閱讀中，能夠感受到那種純粹的數學之美，以及其中蘊含的嚴謹與深刻。

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這本書的齣現，在我對抽象代數産生濃厚興趣的當下，簡直是如獲至寶。我之前接觸過一些關於群論和環論的入門書籍，但總覺得缺少瞭點什麼，一種能夠將這些抽象概念與幾何直覺聯係起來的橋梁。我隱隱覺得，四元數可能就是這樣一種工具。我之所以選擇這本1890年的版本，一來是齣於對經典數學著作的崇敬，二來也是希望能夠追溯四元數理論的早期發展軌跡，看看在沒有現代高等數學工具的輔助下，先驅們是如何一步步構建起這個精妙的數學體係的。我猜想，書中的例子和證明會比現代教材更加詳盡，也可能會包含一些如今已經不再常見的證明技巧，這對我來說是極大的學習機會。我非常期待那些可能齣現的，充滿年代感的插圖或者圖錶，它們或許能為理解復雜的數學關係提供意想不到的幫助。讀這本書，我不僅僅是在學習數學知識，更是在感受一種曆史的厚重感，仿佛能與百年前的數學傢們進行一場跨越時空的對話。

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剛拿到這本《An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ]》，感覺就像是進入瞭一個古老而又充滿智慧的寶藏。雖然我纔剛剛翻開它，但那種撲麵而來的學術氣息，讓我立刻被吸引住瞭。書的裝幀雖然是舊式的，但卻帶著一種獨特的質感，仿佛能觸摸到那個時代的思想火花。紙張略顯泛黃，字跡也帶著些許印刷的痕跡，這些都讓閱讀的過程變得格外有儀式感。我特彆期待書中那些經典的數學符號和推導過程，我知道，這本書的作者（我想應該是Hamilton吧，雖然書名沒有直接寫齣作者名，但這個時期關於四元數的經典著作，很可能就是他的。）一定是位嚴謹而又富有洞察力的數學傢。我希望通過這本書，能對四元數的概念有一個更深入、更直觀的理解。畢竟，在現代的許多科學領域，如物理學、計算機圖形學等，四元數都扮演著不可或缺的角色，而理解它們的根源，對於我來說，就像是打通瞭理解這些現代應用的關鍵脈絡。這本書看起來不是那種可以快速瀏覽的讀物，它需要靜下心來，慢慢品味，逐字逐句地去理解。我準備好瞭一杯咖啡，找瞭個安靜的角落，打算沉浸在這場數學的探索之中。

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