Group Theory

出版者:Princeton University Press

作者:Predrag Cvitanovic

页数:280

出版时间:2008-07-01

价格:USD 39.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691118369

具体描述

If classical Lie groups preserve bilinear vector norms, what Lie groups preserve trilinear, quadrilinear, and higher order invariants? Answering this question from a fresh and original perspective, Predrag Cvitanovic takes the reader on the amazing, four-thousand-diagram journey through the theory of Lie groups. This book is the first to systematically develop, explain, and apply diagrammatic projection operators to construct all semi-simple Lie algebras, both classical and exceptional. The invariant tensors are presented in a somewhat unconventional, but in recent years widely used, "birdtracks" notation inspired by the Feynman diagrams of quantum field theory. Notably, invariant tensor diagrams replace algebraic reasoning in carrying out all group-theoretic computations.The diagrammatic approach is particularly effective in evaluating complicated coefficients and group weights, and revealing symmetries hidden by conventional algebraic or index notations. The book covers most topics needed in applications from this new perspective: permutations, Young projection operators, spinorial representations, Casimir operators, and Dynkin indices. Beyond this well-traveled territory, more exotic vistas open up, such as "negative dimensional" relations between various groups and their representations. The most intriguing result of classifying primitive invariants is the emergence of all exceptional Lie groups in a single family, and the attendant pattern of exceptional and classical Lie groups, the so-called Magic Triangle. Written in a lively and personable style, the book is aimed at researchers and graduate students in theoretical physics and mathematics.

用户评价

这本书的排版和图示设计，实在值得称赞，它们极大地缓解了阅读抽象数学时可能产生的视觉疲劳。不同于许多传统教材那种密密麻麻的文字和公式堆砌，《群论》在关键概念的引入处，往往会插入精心制作的图表或结构示意图。例如，在讨论群的生成元和关系时，作者会用非常清晰的图示来描绘自由群的概念，这比单纯的文字描述要高效得多。此外，书中对一些复杂群的表示，比如矩阵群的例子，也处理得十分到位。它们不仅展示了群元的具体乘法运算，还辅以注释说明这些操作在几何变换中的实际意义，使得原本纯粹的代数运算具有了生动的几何内涵。这种设计体现了作者深厚的教学经验：他们知道抽象思维的建立需要具象化的支撑。即便是像交换子群或导群这样相对抽象的概念，作者也通过对矩阵群的特定例子进行计算，将这些概念的“行为”可视化。对于那些更偏向视觉学习的读者来说，这本书无疑提供了一个低门槛、高回报的阅读体验，让学习过程本身变成了一种享受，而不是一场艰苦的拉锯战。

我个人认为，这本书在理论的覆盖面上做到了极佳的平衡——它既有足够的深度去满足进阶学习者的需求，又保持了足够的广度来为初学者勾勒出代数世界的全貌。除了标准群论内容，它还巧妙地引入了一些更广阔的主题作为拓展或注释。比如，在讨论有限阿贝尔群的结构定理时，书中没有止步于定理本身，而是简要探讨了模（Module）的概念是如何在更一般的环论背景下推广这个结构。这种前瞻性的视野，让读者在学习基础的同时，也能隐约感受到代数结构理论的宏伟蓝图。另外，书中对非交换群中元素共轭类的分析，以及与群作用（Group Action）的结合，处理得非常精妙。通过 Pólya 计数定理的实例展示，读者能清晰地看到群论如何跨界到组合数学领域，解决实际的计数问题。这种跨学科的联结，是判断一本优秀数学教材的重要标准。它向我们展示了群论并非一个孤立的理论体系，而是连接代数、几何、拓扑乃至物理学的核心枢纽。对于那些希望将数学知识应用于实际研究或工程领域的读者，这种“赋能”式的写作风格，会让人感到物超所值。

这本《**群论**》读起来就像是作者在向你娓娓道来一个宏大而又精妙的数学世界。它的叙述方式非常注重直观性和启发性，完全没有那种冷冰冰的公理化定义堆砌感。初次接触这个领域的人，可能会觉得抽象代数本身就是一座难以逾越的高山，但作者巧妙地找到了切入点——从对称性的物理直观入手，慢慢引导读者领悟到群的概念是如何自然而然地产生的。书中对各种经典群例子的剖析，比如对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 的讨论，不仅详尽细致，更重要的是，它总能将这些例子与实际可感的几何操作联系起来，让你不是在“背诵”定理，而是在“感受”群的结构如何决定了事物的排列组合方式。特别是对于初等群论中的核心概念，如子群、陪集和同态，作者的处理方式简直是教科书级别的典范：清晰的定义之后，总会跟随着大量不同层次的例子，从非常简单的 $C_4$ 到稍微复杂一些的矩阵群，确保读者能够扎实地构建起对这些基本工具的理解。即便是那些看起来很枯燥的证明，也被作者拆解成了逻辑清晰的小步骤，读起来毫无晦涩之感，仿佛有人在你耳边耐心梳理着每一步的必要性。对于任何想要真正掌握群论基础，而不是仅仅通过考试的自学者而言，这本书提供了一个极其友好的学习路径。

我得说，这本书在深度挖掘群论的结构性质方面，表现出了惊人的洞察力和严谨性。它可不是那种只停留在“什么是群”的表面功夫的书籍。一旦跨过基础的门槛，作者立刻转向了群论的“骨架”——子群结构、正规子群、商群的构建，以及重头戏——第一同构定理的威力展示。这本书的精彩之处在于，它并没有把这些定理当作孤立的工具来介绍，而是将它们编织成一张巨大的网，展示了它们之间如何相互印证，共同揭示了有限群的内在联系。尤其是对 Sylow 定理的讲解部分，简直是令人拍案叫绝。作者没有选择直接堆砌证明的技巧，而是先从一些具体的、但难以处理的群入手，展示出为什么需要 Sylow 定理这样的强有力工具，然后再给出层层递进的证明。这种“先立问题，后给答案”的叙事结构，极大地增强了读者的求知欲和理解的深度。读完这部分，你会清楚地明白，Sylow 定理不仅仅是关于“存在性”的断言，更是关于群的阶数如何决定其子结构的关键所在。对于想要深入研究代数结构，为更高阶的表示论或几何理论做准备的读者，这本书的这部分内容绝对是无法绕开的基石。

这本书在习题设置上的用心程度，是其最令人称道的一点。很多代数教材的习题要么过于简单，要么直接跳到无人能解的难题，让人感到挫败。然而，《群论》的习题集是经过精心设计的“学习工具箱”。习题被明确地分为几个层次：基础概念巩固、定理证明的细节填充、以及应用与探索性问题。巩固性的题目确保你不会对基本运算产生误解；而证明题往往会引导你一步步完成教科书中可能略过的关键逻辑跳跃，让你真正拥有掌握定理的能力，而不是依赖记忆。更棒的是，书中包含了大量涉及具体计算和构造的“探索性”问题，这些题目往往需要你结合书中的多个知识点进行综合运用，比如让你去构造一个特定阶数但具有某种特殊性质的群。这些题目不会让你感到茫然，因为它们往往会给出一些提示或背景知识的链接，鼓励你主动去“创造”数学。这种实践驱动的学习模式，极大地提升了读者的主动性和解决问题的能力，真正做到了将“学习”转化为“做数学”的过程。