具体描述
From one of the premier authors in higher education comes a new linear algebra textbook that fosters mathematical thinking, problem-solving abilities, and exposure to real-world applications. Without sacrificing mathematical precision, Anton and Busby focus on the aspects of linear algebra that are most likely to have practical value to the student while not compromising the intrinsic mathematical form of the subject. Throughout Contemporary Linear Algebra, students are encouraged to look at ideas and problems from multiple points of view.
深入探索现代代数疆域：一本面向实践与理解的线性代数指南 图书名称： 深入探索现代代数疆域：一本面向实践与理解的线性代数指南 前言：穿越纯粹理论的迷雾 线性代数，作为现代数学的基石之一，其重要性无需赘述。它不仅是理解物理学、工程学、计算机科学乃至经济学等诸多领域的基础工具，更是培养严谨逻辑思维和抽象概括能力的关键学科。然而，许多传统的线性代数教材往往过于侧重于抽象的定义和复杂的证明，使得初学者望而却步，难以将理论知识与实际应用建立起有效的联系。 本书《深入探索现代代数疆域：一本面向实践与理解的线性代数指南》正是为弥补这一空白而诞生的。我们的核心目标是构建一座坚实的桥梁，连接纯粹的数学理论与直观的几何理解、高效的计算方法，以及现实世界中的应用场景。我们摒弃了对重复和冗余内容的堆砌，力求以一种清晰、连贯且引人入胜的方式，引导读者真正掌握线性代数的精髓。 第一部分：奠定基石——从向量到线性空间 本部分将带领读者回到线性代数的最基本元素：向量。我们将从欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）的几何直观出发，详细阐述向量的加法和标量乘法，并引入线性组合、张成（Span）的概念。这不仅仅是代数运算，更是为后续的几何解释打下坚实的基础。 紧接着，我们将正式引入线性相关性与线性无关性。我们着重分析如何通过秩（Rank）和基（Basis）来描述向量空间，这被视为理解信息维度和复杂度的关键所在。我们不仅仅给出定义，还会通过大量低维度的图形示例（如二维和三维空间），帮助读者直观地“看到”这些概念的含义。例如，理解一组向量何时构成一个平面或一条直线，远比单纯记住定义更为重要。 线性空间的抽象化被置于一个重要的位置。我们将从函数空间、多项式空间等例子入手，展示如何将线性代数的强大工具推广到无穷维或非数值的结构中。重点在于理解基变换对坐标表示的影响，这对于理解后续的矩阵表示至关重要。 第二部分：核心引擎——矩阵的威力与线性变换 矩阵，是线性代数中最常用的工具。在本部分，我们将矩阵视为线性变换（Linear Transformation）的载体。我们详细探讨矩阵乘法背后的几何意义——复合变换。每一次矩阵乘法，都可以被理解为空间中旋转、拉伸、投影等操作的叠加。 我们系统地研究了核空间（Kernel 或 Null Space）和像空间（Image 或 Column Space）。我们强调秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的重要性，将其视为对输入空间维度分配的精确度量。这不仅是理论上的等式，更是理解系统可解性、信息流失与保留的关键。 求解线性方程组是本部分的应用重头戏。我们深入探讨了高斯消元法和行简化（Row Reduction）的每一步操作的几何意义。我们将重点分析方程组无解、有唯一解、有无穷多解这三种情况，并展示如何通过增广矩阵的简化形式，一步到位地确定解的结构。我们将避免繁琐的机械计算，而是将计算视为服务于理解解空间的手段。 第三部分：对角化与结构分析——理解系统的内在动态 本部分是理解动态系统和稳定性的关键。我们将引入特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）。特征向量被定义为在经过线性变换后方向保持不变的特殊向量，它们揭示了变换的“本质”方向。 我们详细讲解如何计算特征值和特征向量，并引入对角化（Diagonalization）的概念。我们解释了对角化如何简化复杂矩阵的计算（如高次幂运算），这在求解差分方程和微分方程中具有直接的应用价值。 对于那些不能被对角化的矩阵，我们将转向更一般的Jordan标准型，尽管我们不会深入到过度抽象的证明，但会着重展示其在处理重根和广义特征向量时的实用价值，从而提供一个完整的系统稳定性分析框架。 第四部分：度量空间——内积、投影与几何优化 线性代数的美妙之处在于它能够将几何概念移植到任意维度的抽象空间中。本部分引入内积（Inner Product）的概念，它允许我们在抽象空间中定义长度、角度和正交性。 我们重点讨论了正交性（Orthogonality）的强大作用。施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）被用来构建正交基，这极大地简化了坐标表示和向量投影的计算。我们将投影的概念应用于最小二乘法，这是线性代数在数据拟合和误差最小化中最核心的应用之一。通过理解最小二乘法，读者将能领会到为什么线性回归在统计学中如此重要。 我们还将探讨正交矩阵和对称矩阵的特殊性质。对称矩阵在保证特征值都是实数的同时，也保证了存在正交特征基，这在物理学（如量子力学中的可观测算符）中具有根本的重要性。 第五部分：应用与拓展——连接理论与现实 本书的最后部分，旨在展示线性代数如何成为解决实际问题的强大工具箱。 奇异值分解（SVD）： 我们将SVD视为矩阵的终极分解形式，它比特征分解更具普适性，即使对于非方阵。我们将详述SVD在数据压缩、主成分分析（PCA）中的核心作用，展示如何用它来提取数据的“主要方向”。 图论与网络分析： 我们将使用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵来描述网络结构，并讨论如何利用矩阵的特征值来分析网络的连通性、中心性和扩散速度（例如PageRank算法的初步概念）。 应用案例的深入分析： 本部分包含对线性规划中基础可行解的几何解释，以及在图像处理中如何利用矩阵运算实现滤波和变换的简要介绍。 结语：构建坚实的数学思维 《深入探索现代代数疆域》的设计理念是“少即是多，重在理解”。我们致力于提供清晰的逻辑流，丰富的几何直观，以及将理论与实际应用紧密结合的视角。本书旨在培养读者的问题解决能力，使其不仅能够计算出答案，更能理解计算背后的“为什么”和“如何应用”。掌握了这些知识，读者将能够自信地迈入更深层次的数学和科学研究领域。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 onlinetoolsland.com All Rights Reserved. 本本书屋 版权所有