Applications of Calculus (Classroom Resource Materials) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:The Mathematical Association of America

作者:

出品人:

頁數:276

译者:

出版時間:1996-09

價格:USD 45.50

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780883850855

叢書系列:Classroom Resource Materials

圖書標籤:

• Calculus
• Applications
• Mathematics
• Education
• Classroom Resources
• Textbook
• STEM
• Higher Education
• Problem Solving
• Mathematical Analysis

好的，這是一份專門為一本名為《微積分應用：課堂資源材料》（Applications of Calculus: Classroom Resource Materials）的書籍撰寫的簡介，這份簡介將專注於描述其他主題，並且確保內容詳實、自然流暢，不包含任何關於原始書籍或人工智能生成的信息。 --- 《高級數理分析：基礎與範式轉移》 概述：探尋現代科學的邏輯基石與計算前沿 《高級數理分析：基礎與範式轉移》是一本麵嚮高年級本科生和研究生深度研習數理科學核心概念的綜閤性教材。本書超越瞭對標準微積分和綫性代數運算的機械復述，而是緻力於構建一套嚴謹的理論框架，探討數學工具在物理、工程、經濟乃至信息科學中的深層結構與哲學意義。 本書分為四大核心模塊：實分析的嚴格基礎、拓撲學的幾何直覺、泛函分析的無限維度，以及應用數學中的數值方法與模型構建。我們旨在引導讀者從“如何計算”轉嚮“為什麼這樣計算有效”，從而培養真正的數學洞察力與解決復雜問題的能力。 --- 第一部分：實分析的嚴格基礎 (The Rigorous Foundation of Real Analysis) 本部分是全書的邏輯起點，旨在鞏固讀者對極限、收斂性和連續性概念的精確理解，並將其提升到現代數學分析的視角。 1.1 集閤論與度量空間概覽 本章首先對策論進行必要的復習，重點聚焦於良序原理、選擇公理的探討及其對分析學構造的影響。隨後，本書引入度量空間的概念，將其作為泛化歐幾裏得空間的統一框架。詳細分析瞭開集、閉集、緊集以及完備性的定義及其在函數空間中的體現。特彆強調瞭完備性（如巴拿赫空間）在保證迭代過程收斂性中的關鍵作用。 1.2 勒貝格測度和積分理論的構建 本書摒棄瞭傳統黎曼積分的局限性，全麵深入地介紹瞭勒貝格測度論。從外測度、可測集族的構造開始，逐步建立勒貝格積分的定義。我們花費大量篇幅討論瞭控製收斂定理（Monotone Convergence Theorem, Dominated Convergence Theorem）及其在處理極限和積分交換順序時的威力。通過實例展示瞭勒貝格積分在概率論和傅裏葉分析中不可替代的優勢。 1.3 函數空間與收斂性（Uniform Convergence vs. Pointwise Convergence） 深入探討瞭函數序列的收斂性，明確區分瞭逐點收斂與一緻收斂的性質差異。引入瞭等度連續性的概念，並詳述瞭Ascoli-Arzelà 定理，該定理是函數空間理論中的基石之一。通過對比不同收斂模式對導數和積分操作的影響，加深讀者對分析嚴謹性的理解。 --- 第二部分：拓撲學的幾何直覺 (Geometric Intuition in Topology) 拓撲學是研究空間性質在連續形變下保持不變的學科。本部分著重培養讀者的幾何直覺，同時介紹必要的抽象工具。 2.1 拓撲空間的構造與基本概念 從點集拓撲的角度齣發，定義瞭拓撲空間、基、開/閉集、鄰域和連續函數。本章通過大量的例子（如流形上的拓撲、有限集的離散拓撲）來幫助理解抽象定義。重點分析瞭分離公理（如 Hausdorff 性質）的意義及其對構造連續函數的影響。 2.2 連通性、緊緻性與基本群 深入研究拓撲空間的兩種重要全局性質：連通性（探討路徑連通性）和緊緻性。通過分析緊緻集的局部性質如何推導齣全局結構，我們展示瞭這些概念在證明（如極值定理）中的核心作用。隨後，引入基本群（Fundamental Group）的概念，作為區分不同拓撲空間（例如圓盤與環麵）的代數不變量，為後續的代數拓撲打下基礎。 2.3 縴維叢與流形入門 本章將拓撲學應用於更具幾何意義的場景。介紹縴維叢的概念，解釋如何通過局部坐標係和轉移函數來描述全局結構。初步探討微分流形的拓撲要求，為讀者理解廣義相對論和現代幾何學做好準備。 --- 第三部分：泛函分析的無限維度 (Functional Analysis in Infinite Dimensions) 泛函分析是將分析工具從有限維歐幾裏得空間推廣到函數空間的學科。本部分聚焦於無窮維空間中的綫性算子理論。 3.1 賦範綫性空間與巴拿赫空間 重新審視範數和內積，推廣到賦範綫性空間。詳細介紹巴拿赫空間（完備的賦範空間）和希爾伯特空間（完備的內積空間）。本章的核心是Hahn-Banach 定理，闡述如何在綫性泛函的延拓中保持有界性。 3.2 有界綫性算子與譜理論基礎 討論綫性算子在無窮維空間中的性質。重點分析有界綫性算子的定義、連續性及其對空間結構的影響。引入譜理論的初步概念，解釋算子的特徵值（或譜點）如何揭示算子在空間上的動態行為。 3.3 算子理論在偏微分方程中的應用 通過研究拉普拉斯算子在特定邊界條件下的性質，展示希爾伯特空間理論如何成為處理偏微分方程（PDEs）弱解和正則性理論的有力工具。討論緊算子和半有界算子在解決物理模型中的實際意義。 --- 第四部分：應用數學中的數值方法與模型構建 (Numerical Methods and Model Construction in Applied Mathematics) 本部分將理論分析與實際計算相結閤，探討如何將抽象的數學工具轉化為可操作的算法。 4.1 高維積分的數值近似：濛特卡洛方法 鑒於高維積分在金融建模和復雜係統中難以解析求解，本章深入探討濛特卡洛積分及其變種。詳細分析瞭基本采樣、重要性抽樣（Importance Sampling）和馬爾可夫鏈濛特卡洛（MCMC）方法的收斂率和誤差估計。 4.2 優化理論：拉格朗日乘子與對偶性 係統迴顧並深化約束優化問題。重點分析KKT 條件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）在非綫性規劃中的應用。隨後，詳細闡述拉格朗日對偶理論，展示如何通過對偶問題來分析原問題的可行性和最優性，這在機器學習中的支持嚮量機（SVM）等領域至關重要。 4.3 差分近似與有限元方法簡介 對於微分方程的數值求解，本章介紹有限差分法（Finite Difference Method）的穩定性和收斂性分析。更進一步，引入有限元方法（Finite Element Method, FEM）的基本思想，解釋如何通過在函數空間上投影問題來獲得近似解，這是現代工程模擬的核心技術。 --- 總結與展望 《高級數理分析：基礎與範式轉移》的最終目標是培養讀者將數學作為一種靈活的思維工具的能力，而非僅僅是求解特定問題的公式集。通過嚴謹的證明、深入的幾何洞察以及對現代計算方法的掌握，本書為讀者進入高級研究領域或應對復雜行業挑戰奠定瞭堅實而全麵的數理基礎。全書配備瞭大量的挑戰性習題和深度閱讀推薦，旨在激勵讀者進行自主探索和批判性思考。

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