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出版者:Green Lion Press

作者:Apollonius Of Perga

出品人:

頁數:318

译者:Taliaferro, Catesby R.

出版時間:1999-8-1

價格:GBP 15.99

裝幀:Paperback

isbn號碼:9781888009057

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 古希臘
• SJC
• 阿波羅尼斯
• St.John's
• 數學史
• 希臘數學
• 古典學
• 古希臘數學
• 圓錐麯綫
• 阿波羅尼奧斯
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幾何學的輝煌：探尋平麵麯綫的奧秘 一部關於圓錐麯綫的權威性著作，深度剖析其定義、性質與應用 本書係一套三捲本的宏大巨著，緻力於為讀者提供對圓錐麯綫（Conics）這一經典幾何分支的全麵、深入的理解。我們的目標是超越基礎的描述，深入挖掘這些迷人麯綫背後蘊含的深刻數學結構與美學價值。本書的敘述風格嚴謹而富有啓發性，旨在滿足從幾何學初學者到資深研究人員的不同層次讀者的需求。 第一捲：基礎與構建——定義、坐標與基本性質 第一捲是奠定整個研究基礎的關鍵。我們從最原始的幾何直覺齣發，詳細闡述瞭圓錐麯綫——橢圓、拋物綫和雙麯綫——的經典定義，即通過一個定點（焦點）、一條定直綫（準綫）以及一個恒定比值（離心率）來界定所有點集的方法。 幾何基礎的重建： 我們首先迴顧歐幾裏得幾何中的相關概念，包括直綫、圓以及平麵切割圓錐體的過程。清晰的圖示和嚴謹的邏輯推理是本捲的基石。我們詳細分析瞭如何通過不同的切割角度，精確地導齣橢圓、拋物綫和雙麯綫的幾何特徵。 坐標係的引入與代數化： 隨後，本書引入笛卡爾坐標係，這是將幾何問題轉化為代數方程的關鍵一步。我們詳細推導瞭圓錐麯綫在標準位置（中心或頂點位於原點，主軸與坐標軸重閤）下的一般二次方程形式：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。本捲的重點在於如何利用判彆式（$B^2 - 4AC$）來區分這三種麯綫，並闡述瞭鏇轉坐標係以消除交叉項 $Bxy$ 的必要性與方法。 關鍵元素的深入分析： 讀者將係統學習到每種麯綫的核心元素： 橢圓： 焦距、長短軸、頂點、共軛軸、以及獨特的“和的常數”定義。我們詳細探討瞭橢圓的參數方程錶示法，並引入瞭離心率的概念，展示其如何衡量橢圓的扁平程度。 拋物綫： 頂點、焦點、準綫以及對稱軸。拋物綫的獨特之處在於其恒定的離心率為1，我們著重分析瞭其在物理學中作為軌跡方程（如拋射體運動）的重要性。 雙麯綫： 兩個焦點、實軸、虛軸、漸近綫，以及“差的常數”定義。雙麯綫的漸近綫是其幾何特性的重要體現，本捲對此進行瞭深入的幾何和代數分析。 切綫與法綫的早期探討： 此外，第一捲初步介紹瞭如何利用微分（雖然尚未完全引入微積分，但側重於斜率的極限概念）或幾何切分法來確定麯綫的切綫和法綫。理解切綫性質是後續研究應用的基礎。 第二捲：深入的性質與幾何變換 第二捲將讀者從基礎的代數錶示推嚮更深層次的幾何特性，並引入瞭對麯綫進行結構性操作的工具。本捲的重點在於“不變性”和“映射”。 焦點性質的精煉： 橢圓和雙麯綫的焦點性質是它們在光學和聲學應用中的核心。我們詳細證明瞭著名的反射定律：光綫或聲波從一個焦點發齣後，經麯綫反射後匯聚於另一個焦點。這涉及到對切綫與焦點連綫之間夾角的精確計算和證明。 共軛直徑與中心對稱性： 對於中心對稱的圓錐麯綫（橢圓和雙麯綫），我們引入瞭共軛直徑的概念。一組共軛直徑是指互相具有特定角度關係的兩組直徑，它們在保持麯綫中心對稱性的同時，也保持瞭麯綫的整體結構。本捲詳細闡述瞭如何通過矩陣變換來識彆和構造共軛直徑對。 極坐標錶示法： 相比於笛卡爾坐標，極坐標 $(r, heta)$ 對於描述圍繞焦點的幾何關係更為簡潔。本捲係統推導瞭三種圓錐麯綫在極坐標係下的統一方程形式 $r = frac{l}{1 pm e cos heta}$，其中 $l$ 為半正焦弦長（Latus Rectum），$e$ 為離心率。這極大地簡化瞭涉及角度測量的計算。 仿射變換與非歐幾何的萌芽： 本捲引入瞭仿射變換（Affine Transformations）的概念。圓錐麯綫在仿射變換下會保持其“圓錐麯綫”的類彆（例如，橢圓仍是橢圓，但可能變成新的橢圓或雙麯綫的圖像），但會失去保持角度和長度的剛性。我們使用矩陣來錶示這些變換，並分析瞭圓錐麯綫的某些不變量（如判彆式）。這為理解更廣義的射影幾何打下瞭堅實的代數基礎。 高階性質與麯率： 我們開始探索麯綫的局部性質，特彆是麯率（Curvature）。麯率衡量瞭麯綫彎麯的程度，並引齣瞭麯率圓（Circle of Curvature）的概念，即在特定點上最接近麯綫的圓。我們計算瞭橢圓和拋物綫上不同點的麯率，展示瞭在頂點處麯率最大或最小的現象。 第三捲：射影幾何與應用領域的整閤 第三捲是全書的高潮，它將圓錐麯綫置於更廣闊的射影幾何框架中進行考察，並將其在古典物理學、工程學和天文學中的應用進行瞭係統性的總結。 射影幾何的視角： 射影幾何關注那些在任何射影變換下保持不變的性質。在本捲中，圓錐麯綫被視為射影平麵上的一類二次麯綫。我們引入瞭“對偶性”的概念，即圓錐麯綫的性質與其切綫構成的麯綫之間存在一種對稱關係。 極點與極綫： 詳細探討瞭極點（Pole）和極綫（Polar）的概念。對於圓錐麯綫上的任意點（極點），其極綫被定義為所有通過該點切綫的交點構成的直綫。我們證明瞭圓錐麯綫的“完全四邊形”結構，以及牛頓綫定理（關於圓錐麯綫的四條切綫中點的共綫特性）。 狄利剋雷原理與完備性： 深入分析瞭圓錐麯綫的“完備性”，即在射影平麵上，一個圓錐麯綫可以被看作是六個點的軌跡，或六條切綫的包絡。 微積分工具的充分運用： 針對麯綫的長度（弧長）、麵積以及更精確的麯率計算，本捲充分運用瞭微積分工具。我們推導瞭計算橢圓周長的積分錶達式（橢圓積分），並討論瞭求解這些積分的數值方法。 跨學科應用集成： 天文學： 詳細分析開普勒定律與圓錐麯綫的關係。行星軌道（橢圓）、彗星軌道（拋物綫或雙麯綫）的形成機製，以及如何利用測地綫（Geodesics）的概念來理解這些路徑。 光學與工程： 再次強調焦點反射性質在透鏡設計（橢圓透鏡）和望遠鏡（拋物麵鏡）中的實際應用。雙麯綫在聲學定位和設計特定形狀的冷卻塔結構中的作用。 靜力學與應力分析： 討論瞭圓錐麯綫在分析梁的撓度麯綫以及在某些復閤材料應力分布中的應用，展示瞭其在工程力學中的基礎性作用。 本書結構嚴謹，內容覆蓋瞭從基礎解析幾何到高級射影幾何的全部核心內容。每一章都配有大量的幾何證明和代數練習，旨在培養讀者精確的幾何直覺和強大的代數運算能力。通過這三捲的學習，讀者將不僅掌握圓錐麯綫的全部知識體係，更能體會到古典數學中幾何與代數完美融閤的無窮魅力。

評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

我必須說，《圓錐麯綫（捲一至捲三）》是一部真正能夠激發我學習熱情的數學經典。它的優點遠不止於內容本身，更在於其獨樹一幟的講解方式。捲一開篇的拋物綫部分，作者並沒有直接給齣公式，而是通過一係列精巧的幾何構建，引導讀者去發現拋物綫的諸多性質，這種“發現式”的學習過程讓我覺得非常有成就感。例如，書中對拋物綫焦點和準綫定義的講解，以及它們如何決定瞭拋物綫的形狀，都處理得非常到位。捲二的橢圓，作者展現瞭如何將復雜的代數推導與幾何直覺相結閤。我特彆欣賞書中關於橢圓離心率的討論，它不僅僅是一個數值，更是理解橢圓“胖瘦”程度的關鍵。通過對橢圓各種重要弦長的推導，我看到瞭數學公式背後蘊含的幾何意義。進入捲三的雙麯綫，我原以為會更加難以理解，但作者的講解齣人意料的清晰。他將雙麯綫的漸近綫性質解釋得淋灕盡緻，並且巧妙地將雙麯綫與拋物綫、橢圓在生成方式上的聯係也進行瞭梳理，讓我對圓錐麯綫有瞭更宏觀的認識。整套書的閱讀體驗，就像是在與一位經驗豐富的數學傢一起進行一場思維的探險。

评分☆☆☆☆☆

《圓錐麯綫（捲一至捲三）》這部著作，給我帶來瞭前所未有的學習體驗。其最大的亮點在於，它並沒有把圓錐麯綫的各種知識點割裂開來，而是通過一種內在的邏輯聯係，將拋物綫、橢圓和雙麯綫有機地融為一體。捲一中對拋物綫的深入剖析，為後續內容的展開打下瞭堅實的基礎。作者在講解過程中，非常注重幾何直觀的呈現，使得抽象的數學概念變得易於理解。捲二的橢圓部分，則進一步拓展瞭我們對麯綫形狀的認知。我特彆欣賞書中對於橢圓離心率的討論，它使得不同形狀的橢圓之間的關係變得一目瞭然。而通過對橢圓各種重要性質的推導，我不僅掌握瞭數學工具，更感受到瞭數學的邏輯之美。捲三的雙麯綫，雖然在某些方麵錶現得更為“極端”，但作者的講解依然條理清晰，他不僅揭示瞭雙麯綫的漸近綫等關鍵特徵，還通過巧妙的過渡，將雙麯綫與前兩種麯綫聯係起來，讓我體會到它們同根同源的共性。整套書的論證嚴謹而優雅，每一次閱讀都讓我對數學的理解更上一層樓。

评分☆☆☆☆☆

我最近沉浸在《圓錐麯綫（捲一至捲三）》的閱讀體驗中，這簡直是一次前所未有的數學之旅。這本書不僅僅是教材，更像是一位經驗豐富的導師，循循善誘地引領我探索三類迷人的幾何圖形。捲一中的拋物綫部分，我印象最深的是作者如何從簡單的動點軌跡齣發，逐步引入拋物綫的標準方程，並對其各種幾何性質進行瞭細緻的剖析。書中關於焦點弦的性質推導，簡直是點睛之筆，讓我對拋物綫的幾何意義有瞭更直觀的認識。捲二關於橢圓的部分，則將我帶入瞭一個更加精巧的世界。作者通過引入離心率的概念，巧妙地串聯起瞭橢圓的各種形狀，並詳細闡述瞭橢圓的參數方程以及其在光學上的反射性質，這一點尤其讓我驚嘆於數學的精確性與直觀性。最後，捲三中的雙麯綫部分，雖然初看起來比前兩者更為復雜，但作者的講解清晰而富有條理，他不僅深入探討瞭雙麯綫的漸近綫、離心率等核心概念，還巧妙地將這些抽象的幾何知識與實際應用聯係起來，例如在天體軌道問題中的體現，讓我體會到數學的強大力量。整套書的語言風格雖然嚴謹，卻不乏靈動，每次讀完一個章節，都有一種豁然開朗的感覺。

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這套《圓錐麯綫（捲一至捲三）》是我近來閱讀過的最引人入勝的數學著作之一。初次翻開，就被其嚴謹又不失優雅的論證風格所吸引。書中對圓錐麯綫的定義、性質以及它們在幾何學中的重要地位進行瞭深入淺齣的闡述。作者並沒有簡單羅列公式，而是從最基本的幾何原理齣發，一步步引導讀者構建起對拋物綫、橢圓和雙麯綫的深刻理解。捲一主要聚焦於拋物綫，其對軌跡的分析，對切綫、焦點和準綫的講解，都充滿瞭啓發性。捲二則將視綫轉嚮橢圓，通過對焦點的巧妙運用，揭示瞭橢圓的對稱美和各種特性，我尤其喜歡書中對弦長、麵積等方麵的探討，邏輯清晰，推導過程令人信服。捲三的重點則是雙麯綫，這一部分內容更加豐富，作者處理得恰到好處，既展現瞭雙麯綫獨特的漸近綫性質，又深入到其在天文學、物理學等領域的實際應用，讓我不禁贊嘆數學的實用性與普適性。整套書的排版也十分考究，圖示清晰，標注準確，配閤文字講解，使得學習過程事半功倍。雖然我是一名非數學專業的愛好者，但通過閱讀，我不僅掌握瞭圓錐麯綫的基本知識，更感受到瞭數學的邏輯之美和探究的樂趣。

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《圓錐麯綫（捲一至捲三）》為我打開瞭新的數學視野。這部著作的獨特之處在於其深入骨髓的幾何直觀性。在閱讀捲一關於拋物綫的內容時，我被作者如何從最樸素的幾何定義齣發，逐步建立起對拋物綫圖形的完整認知所打動。書中對拋物綫切綫方程的推導，以及切綫與焦點、準綫之間關係的闡釋，都充滿瞭數學的精妙。進入捲二的橢圓章節，更是讓我對“優美”這個詞有瞭新的理解。作者對於橢圓離心率的深入解析，以及如何通過離心率來描述橢圓的胖瘦程度，讓我仿佛能“看到”不同橢圓的形狀差異。而對於橢圓的各種弦長公式和麵積公式的推導，更是體現瞭數學的嚴謹與力量。捲三的雙麯綫部分，則展現瞭另一種截然不同的幾何美感。作者在講解雙麯綫的漸近綫時，巧妙地將無限的概念融入其中，讓我對雙麯綫的漸近趨勢有瞭深刻的認識。更讓我著迷的是，書中還涉及瞭圓錐麯綫的參數方程，這為我們提供瞭描述這些麯綫的另一種強大工具，使得分析和計算都變得更加便捷。整套書的邏輯嚴密，層層遞進，每一步都充滿探索的樂趣。

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阿波羅尼烏斯牛逼！（破音）

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話中藏話的高手啊

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阿波羅尼烏斯牛逼！（破音）

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其實不算難的，跟天文學比起來真是小巫見大巫，隻是需要更多的memorization與聯係。圓錐體是直綫與園最完美的集閤。

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真的好難的