具体描述
《线性代数与空间解析几何》系统的介绍了线性代数与空间解析几何的基本理论与方法，把代数与几何有机的结合起来。《线性代数与空间解析几何》内容结构严谨，层次清晰，通俗易懂；在内容上注意与实际问题的结合；例题的选取与习题的配备注意典型与难易的结合，题型丰富。《线性代数与空间解析几何》前八章介绍了线性代数与空间解析几何的基本知识，第九章介绍了现代数学软件Mathematica的初步使用知识。
《时空织锦：从维度之舞到宇宙回响》 一、 绪论：感知我们存在的宏大画布 我们身处一个由空间和时间交织而成的宏大舞台。从指尖触碰的物体，到仰望星空的璀璨，无不与空间有着千丝万缕的联系。而时间的流逝，则为这一切染上了变幻的色彩。我们能否以一种更深刻、更精确的方式去理解这些我们习以为常的“存在”？《时空织锦》正是要带领读者潜入我们感知世界的最底层逻辑，揭示支撑起现实维度的那些精妙的数学语言。这本书并非一套冷冰冰的公式堆砌，而是邀请你一同踏上一场探索之旅，去发现空间与运动如何以一种令人惊叹的秩序和规律运作，以及这些规律如何塑造了我们所观察到的宇宙。 本书的开篇，我们将从最直观的空间感受出发。想象一下，我们如何描述一个物体的确切位置？如何定义两条线段是平行还是相交？这些看似基础的问题，实际上触及了我们理解空间的最根本要素。我们将从最简单的二维平面入手，引入点、线、面这些几何的基本构成，并探讨它们之间的关系。但很快，我们会发现，仅凭二维的视角，我们对世界的理解是多么有限。三维空间的引入，将极大地拓展我们的视野，让我们能够描绘出更为复杂和真实的世界。然而，真正的奥秘，往往隐藏在更高维度的可能性之中。本书将循序渐进地引导读者，认识到超越我们日常直觉的高维度空间，并理解在这些抽象空间中，事物的性质和关系将发生怎样深刻而令人着迷的变化。 二、 维度之舞：构建世界的骨架 本书的第二部分，将深入探讨“维度”这一核心概念。维度，并非只是我们习以为常的长、宽、高，它更是一种描述空间自由度的方式。一个点，可以认为是零维；一条直线，是一维；一个平面，是二维；而我们所处的现实，通常被认为是三维。但是，数学的魅力在于它的抽象和普适性。我们能够通过严谨的逻辑，构建出任意维度的抽象空间。 在这里，我们将引入“向量”的概念。向量，可以看作是具有方向和大小的量，是描述空间中“位移”或“方向”的基本单元。通过向量，我们可以将几何图形的性质用代数的语言来表达。例如，一条直线可以用一个起始点和一个方向向量来定义，而两个向量的和，则可以表示两个位移的合力。这种向量的运算，将成为我们在高维空间中进行导航和分析的强大工具。 接着，我们将探讨“空间”本身的结构。一个空间，可以被看作是所有可能存在的“点”的集合。而这些点，可以用一组坐标来唯一地标识。在二维平面上，我们用 (x, y) 来表示一个点；在三维空间中，我们用 (x, y, z) 来表示。当维度增加时，我们需要更多的坐标来描述一个点。本书将带领读者理解，不同维度的空间，其内在的几何特性是如何被向量的运算和坐标的体系所定义的。我们将学习如何用代数的方法来描述几何对象，例如，如何用方程来表示一条直线、一个平面，甚至更复杂的曲面。 这一部分将是本书的基石。通过理解向量和坐标的语言，我们得以建立起描述多维空间的数学框架。这将为后续对更复杂概念的探索打下坚实的基础，就像工匠在建造宏伟建筑之前，必须先夯实地基一样。 三、 变换的魔力：重塑与理解空间 空间并非静止不变，它充满了动态的“变换”。《时空织锦》的第三部分，将聚焦于“空间变换”的艺术。想象一下，你手中的一张纸，可以被旋转、拉伸、压缩，甚至倾斜。这些操作，都在改变纸张上点的位置，但纸张本身的“连续性”或“邻近性”关系，在一定程度上得以保持。 本书将引入“矩阵”这一强大的数学工具，来描述和执行这些空间变换。一个矩阵，可以看作是一个数字的矩形阵列，它能够简洁地表示一系列的线性变换。例如，一个旋转矩阵，就能够描述一个物体在空间中绕某个轴旋转的操作；一个缩放矩阵，则能够描述物体在不同方向上的大小变化。通过矩阵的乘法，我们可以将多个变换依次应用，从而实现更为复杂的空间重塑。 我们将学习到，不同的矩阵对应着不同的变换。有些变换会保持物体的体积不变，例如纯粹的旋转和平移；而有些变换则会改变体积，例如拉伸和压缩。理解这些变换的性质，对于我们分析物体的运动、理解物体之间的相对位置关系至关重要。 更进一步，我们将探讨“线性变换”这一核心概念。线性变换具有一种特殊的性质：它们能够将直线变换成直线（或一个点），并且能够保持向量的加法和标量乘法运算的线性关系。矩阵恰恰是描述这类线性变换的完美载体。通过研究矩阵的性质，我们可以深入理解空间变换的本质。 这一部分的学习，将让你看到，看似纷繁复杂的空间变化，其实可以用一套精妙的数学规则来统一描述和控制。这如同掌握了一把钥匙，能够打开理解物体运动、形变以及更深层空间结构的门锁。 四、 映射的智慧：连接不同领域的桥梁 在理解了空间和变换之后，我们还需要一种方式来描述不同空间之间的关系，以及如何在一个空间中找到另一个空间中的对应物。本书的第四部分，将深入探讨“映射”的概念。映射，可以看作是一种规则，它能够将一个空间中的元素对应到另一个空间中的元素。 例如，当我们拍摄一张照片时，三维的真实世界被“映射”到了二维的相机传感器上。这个映射过程，必然会丢失一些信息（例如深度），但它保留了物体在平面上的视觉投影。在本书中，我们将学习如何用数学语言来描述这些映射。 我们将引入“线性映射”，它与我们之前学习的线性变换紧密相关。线性映射能够保持向量加法和标量乘法的线性结构，这使得它们在处理许多实际问题时非常有用。例如，在计算机图形学中，我们需要将三维模型渲染到二维屏幕上，就需要用到一系列的线性映射。 此外，我们还将接触到“基”和“坐标变换”的概念。在一个空间中，我们可以选择不同的“基”（一组线性无关的向量），来表示空间中的任意向量。通过改变基，我们实际上是在以不同的“视角”来看待同一个空间。坐标变换，就是将一个基下的坐标表示，转换为另一个基下的坐标表示。这就像我们改变观察的角度，同一个物体在不同视角下会有不同的坐标描述，但物体本身并未改变。 掌握了映射的智慧，我们就能更有效地在不同维度、不同表示形式的空间之间穿梭，并解决那些需要关联不同空间信息的问题。这就像拥有了一套通用的翻译系统，能够理解和运用不同领域的语言。 五、 结构的洞察：从孤立到联系的飞跃 我们对世界的理解，不仅仅在于描述单个物体或空间，更在于理解事物之间的“联系”和“结构”。《时空织锦》的第五部分，将引导我们去洞察各种“结构”的奥秘。 本书将探讨“向量空间”的本质。向量空间是一个集合，其中的元素（向量）遵循特定的代数规则，可以进行加法和标量乘法运算。这种抽象的结构，能够被用来统一描述许多看似不同的数学对象，例如多项式、函数，甚至更复杂的数学对象。通过将这些对象看作是向量空间中的向量，我们就能运用向量空间所提供的工具和性质来研究它们。 我们将学习如何分析向量空间的“维度”和“基”，以及如何理解向量空间的“子空间”。一个子空间，是指一个向量空间中的一个非空子集，它本身也构成了一个向量空间。例如，在一个三维空间中，通过原点的任意一条直线或一个平面，都构成了一个二维或一维的子空间。 此外，我们还将触及“线性方程组”的求解。线性方程组是描述多个线性关系之间相互约束的数学模型。通过将线性方程组转化为矩阵的形式，我们可以利用矩阵的性质来系统地求解这些方程组。线性方程组的解，往往揭示了系统中变量之间的内在联系和约束条件。 这一部分的学习，将帮助我们从孤立的数学对象中抽离出来，去发现隐藏在它们之下的更深层次的结构和规律。就像考古学家从零散的文物中，能够拼凑出古老的文明一样，我们将学会洞察数学世界的结构之美。 六、 应用的疆域：编织数学与现实的经纬 《时空织锦》的最后一章，将把理论的星空拉回到现实的地面，展现数学工具如何在各个领域绽放光彩。 在物理学中，向量和矩阵是描述运动、力、电磁场等物理现象的语言。例如，牛顿第二定律 F=ma，就是用向量来表示力和加速度的关系。而三维空间的几何描述，更是物理学不可或缺的基础。 在计算机图形学中，从三维模型的构建到动画的渲染，都离不开矩阵变换和向量运算。你看到的电影特效、游戏画面，其背后都闪烁着线性代数智慧的光芒。 在数据科学和机器学习领域，数据往往被表示为高维向量，而各种算法，例如主成分分析（PCA）、支持向量机（SVM）等，都建立在线性代数的基础之上。理解这些算法，离不开对向量空间、矩阵分解等概念的掌握。 在工程领域，从结构的应力分析，到信号的处理，再到控制系统的设计，都广泛应用着矩阵运算和线性方程组的求解。 本书并非旨在成为一本应用手册，而是希望通过展示这些广泛的应用，让你看到数学的力量不仅仅在于抽象的理论，更在于它解决现实世界问题的强大能力。这些应用，将是你进一步探索和学习的绝佳起点，让你明白，你所学的数学知识，是如何编织进我们生活的方方面面，塑造着我们所处的科技与文明。 结语：通往理解的钥匙 《时空织锦：从维度之舞到宇宙回响》是一次关于理解我们存在方式的数学探索。它将带领你从最基础的空间感知，一步步深入到高维抽象，再到变换的魔力、映射的智慧、结构的洞察，最终触及到这些数学工具在现实世界中的广阔应用。这本书的目标，是让你掌握一套理解世界运行规律的语言，让你能够以一种更为深刻、更为精准的视角，去观察和分析我们所处的时空。这是一种开启新视野的钥匙，一种让你能够更自信地航行于复杂信息海洋的指南。
作者简介
目录信息
第一章 行列式
1.1 二阶与三阶行列式
1.1.1 二阶行列式
1.1.2 三阶行列式
习题1-1
1.2 n阶行列式的定义
1.2.1 排列与逆序数
1.2.2 n阶行列式的定义
习题1-2
1.3 行列式的性质及计算
1.3.1 行列式的性质
1.3.2 行列式的计算
习题1-3
1.4 克拉默(Cramer)法则
习题1-4
总习题一
数学实验一：用Mathematica进行行列式的运算
第二章 矩阵及其运算
2.1 矩阵及其运算
2.1.1 矩阵的概念
2.1.2 矩阵的运算
习题2-1
2.2 逆矩阵
2.2.1 逆矩阵的定义
2.2.2 方阵可逆的充要条件
习题2-2
2.3 分块矩阵及其运算
2.3.1 分块矩阵的概念
2.3.2 分块矩阵的运算
习题2-3
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
2.4.1 矩阵的初等变换
2.4.2 矩阵秩的概念与求法
习题2-4
2.5 初等矩阵
2.5.1 初等矩阵及其性质
2.5.2 用初等变换求逆矩阵
习题2-5
2.6 矩阵应用实例
总习题二
数学实验二：用Mathematica进行矩阵的运算
第三章 向量与向量空间
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的基本概念
3.1.2 几何向量的线性运算
习题3-1
3.2 空间直角坐标系
3.2.1 空间直角坐标系
3.2.2 几何向量的坐标表示
3.2.3 用坐标进行向量运算
习题3-2
3.3 n维向量及其线性运算
3.3.1 n维向量的概念
3.3.2 n维向量的线性运算
习题3-3
3.4 向量组的线性相关性
3.4.1 向量组及其线性组合
3.4.2 线性相关与线性无关的概念
3.4.3 线性相关性的性质
3.4.4 线性相关性的判定
习题3-4
3.5 向量组的秩
3.5.1 最大线性无关组
3.5.2 向量组的秩
3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系
习题3-5
3.6 向量空间
3.6.1 向量空间的概念
3.6.2 坐标变换
习题3-6
总习题三
数学实验三：用Mathematica求向量组的最大无关组
第四章 欧氏空间
4.1 向量的内积欧氏空间
4.1.1 R3中向量的内积
4.1.2 n维向量的内积欧氏空间
习题4-1
4.2 标准正交基
习题4-2
4.3 R3中向量的外积和混合积
4.3.1 向量的外积
4.3.2 向量的混合积
习题4-3
4.4 R3中的平面与直线
4.4.1 平面及其方程
4.4.2 空间直线及其方程
4.4.3 位置关系
4.4.4 平面束
习题4-4
4.5 空间曲面及其方程
4.5.1 球面
4.5.2 旋转曲面
4.5.3 柱面
习题4-5
4.6 空间曲线及其方程
4.6.1 空间曲线的一般方程
4.6.2 空间曲线的参数方程
4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影
习题4-6
4.7 二次曲面
4.7.1 椭球面
4.7.2 抛物面
4.7.3 双曲面
4.7.4 二次锥面
习题4-7
总习题四
数学实验四：用Mathematica求标准正交基、描述曲线
第五章 线性方程组
5.1 线性方程组有解的充要条件
习题5-1
5.2 线性方程组解的结构
5.2.1 齐次线性方程组解的结构
5.2.2 非齐次线性方程组解的结构
习题5-2
5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用
5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组
5.3.2 线性方程组应用举例
习题5-3
总习题五
数学实验五：用Mathematica求解线性方程组
第六章 特征值、特征向量及相似矩阵
6.1 特征值与特征向量
6.1.1 特征值与特征向量的概念
6.1.2 特征值与特征向量的性质
习题6-1
6.2 相似矩阵
6.2.1 相似矩阵的概念及性质
6.2.2 方阵的相似对角化问题
习题6-2
6.3 实对称矩阵及其对角化
6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化
习题6-3
6.4 应用举例
习题6-4
总习题六
数学实验六：用Mathematica进行特征值的运算
第七章 二次型
7.1 二次型
7.1.1 二次型的定义及其矩阵
7.1.2 矩阵的合同
习题7-1
7.2 化二次型为标准形
7.2.1 用正交变换化二次型为标准形
7.2.2 用配方法化二次型为标准形
习题7-2
7.3 正定二次型
7.3.1 二次型的惯性定理
7.3.2 正定二次型
习题7-3
7.4 二次型在研究二次曲面中的应用
7.4.1 二次圆锥曲线方程化标准形
7.4.2 二次曲面方程化标准形
习题7-4
总习题七
数学实验七：用Mathematica进行二次型的运算
第八章 线性空间与线性变换
8.1 线性空间的概念
8.1.1 线性空间的定义
8.1.2 线性空间的基、维数与坐标
8.1.3 子空间
习题8-1
8.2 线性变换
8.2.1 线性变换的概念
8.2.2 线性变换的矩阵表示
习题8-2
总习题八
第九章 数学软件与应用
9.1 初识Mathematica
9.1.1 Mathematica的启动
9.1.2 Mathematica的工作环境
9.1.3 Mathematica的数学运算
9.1.4 Mathematica的函数
9.1.5 几个方便的输入方法
9.2 向量、矩阵及其运算
9.2.1 构造向量和矩阵
9.2.2 向量与矩阵的运算
9.2.3 矩阵的逆
9.2.4 矩阵的特征值和特征向量
9.2.5 求解线性系统
9.2.6 实例
9.3 Mathematica的绘图功能
9.3.1 一元函数的图形
9.3.2 二元函数的图形
9.3.3 其他图形的描绘
9.3.4 绘图函数Plot，ParametricPlot，ListPlot的有关选项
9.3.5 绘图函数Plot3D的有关选项
习题参考答案
· · · · · · (收起)
1.1 二阶与三阶行列式
1.1.1 二阶行列式
1.1.2 三阶行列式
习题1-1
1.2 n阶行列式的定义
1.2.1 排列与逆序数
1.2.2 n阶行列式的定义
习题1-2
1.3 行列式的性质及计算
1.3.1 行列式的性质
1.3.2 行列式的计算
习题1-3
1.4 克拉默(Cramer)法则
习题1-4
总习题一
数学实验一：用Mathematica进行行列式的运算
第二章 矩阵及其运算
2.1 矩阵及其运算
2.1.1 矩阵的概念
2.1.2 矩阵的运算
习题2-1
2.2 逆矩阵
2.2.1 逆矩阵的定义
2.2.2 方阵可逆的充要条件
习题2-2
2.3 分块矩阵及其运算
2.3.1 分块矩阵的概念
2.3.2 分块矩阵的运算
习题2-3
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
2.4.1 矩阵的初等变换
2.4.2 矩阵秩的概念与求法
习题2-4
2.5 初等矩阵
2.5.1 初等矩阵及其性质
2.5.2 用初等变换求逆矩阵
习题2-5
2.6 矩阵应用实例
总习题二
数学实验二：用Mathematica进行矩阵的运算
第三章 向量与向量空间
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的基本概念
3.1.2 几何向量的线性运算
习题3-1
3.2 空间直角坐标系
3.2.1 空间直角坐标系
3.2.2 几何向量的坐标表示
3.2.3 用坐标进行向量运算
习题3-2
3.3 n维向量及其线性运算
3.3.1 n维向量的概念
3.3.2 n维向量的线性运算
习题3-3
3.4 向量组的线性相关性
3.4.1 向量组及其线性组合
3.4.2 线性相关与线性无关的概念
3.4.3 线性相关性的性质
3.4.4 线性相关性的判定
习题3-4
3.5 向量组的秩
3.5.1 最大线性无关组
3.5.2 向量组的秩
3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系
习题3-5
3.6 向量空间
3.6.1 向量空间的概念
3.6.2 坐标变换
习题3-6
总习题三
数学实验三：用Mathematica求向量组的最大无关组
第四章 欧氏空间
4.1 向量的内积欧氏空间
4.1.1 R3中向量的内积
4.1.2 n维向量的内积欧氏空间
习题4-1
4.2 标准正交基
习题4-2
4.3 R3中向量的外积和混合积
4.3.1 向量的外积
4.3.2 向量的混合积
习题4-3
4.4 R3中的平面与直线
4.4.1 平面及其方程
4.4.2 空间直线及其方程
4.4.3 位置关系
4.4.4 平面束
习题4-4
4.5 空间曲面及其方程
4.5.1 球面
4.5.2 旋转曲面
4.5.3 柱面
习题4-5
4.6 空间曲线及其方程
4.6.1 空间曲线的一般方程
4.6.2 空间曲线的参数方程
4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影
习题4-6
4.7 二次曲面
4.7.1 椭球面
4.7.2 抛物面
4.7.3 双曲面
4.7.4 二次锥面
习题4-7
总习题四
数学实验四：用Mathematica求标准正交基、描述曲线
第五章 线性方程组
5.1 线性方程组有解的充要条件
习题5-1
5.2 线性方程组解的结构
5.2.1 齐次线性方程组解的结构
5.2.2 非齐次线性方程组解的结构
习题5-2
5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用
5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组
5.3.2 线性方程组应用举例
习题5-3
总习题五
数学实验五：用Mathematica求解线性方程组
第六章 特征值、特征向量及相似矩阵
6.1 特征值与特征向量
6.1.1 特征值与特征向量的概念
6.1.2 特征值与特征向量的性质
习题6-1
6.2 相似矩阵
6.2.1 相似矩阵的概念及性质
6.2.2 方阵的相似对角化问题
习题6-2
6.3 实对称矩阵及其对角化
6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化
习题6-3
6.4 应用举例
习题6-4
总习题六
数学实验六：用Mathematica进行特征值的运算
第七章 二次型
7.1 二次型
7.1.1 二次型的定义及其矩阵
7.1.2 矩阵的合同
习题7-1
7.2 化二次型为标准形
7.2.1 用正交变换化二次型为标准形
7.2.2 用配方法化二次型为标准形
习题7-2
7.3 正定二次型
7.3.1 二次型的惯性定理
7.3.2 正定二次型
习题7-3
7.4 二次型在研究二次曲面中的应用
7.4.1 二次圆锥曲线方程化标准形
7.4.2 二次曲面方程化标准形
习题7-4
总习题七
数学实验七：用Mathematica进行二次型的运算
第八章 线性空间与线性变换
8.1 线性空间的概念
8.1.1 线性空间的定义
8.1.2 线性空间的基、维数与坐标
8.1.3 子空间
习题8-1
8.2 线性变换
8.2.1 线性变换的概念
8.2.2 线性变换的矩阵表示
习题8-2
总习题八
第九章 数学软件与应用
9.1 初识Mathematica
9.1.1 Mathematica的启动
9.1.2 Mathematica的工作环境
9.1.3 Mathematica的数学运算
9.1.4 Mathematica的函数
9.1.5 几个方便的输入方法
9.2 向量、矩阵及其运算
9.2.1 构造向量和矩阵
9.2.2 向量与矩阵的运算
9.2.3 矩阵的逆
9.2.4 矩阵的特征值和特征向量
9.2.5 求解线性系统
9.2.6 实例
9.3 Mathematica的绘图功能
9.3.1 一元函数的图形
9.3.2 二元函数的图形
9.3.3 其他图形的描绘
9.3.4 绘图函数Plot，ParametricPlot，ListPlot的有关选项
9.3.5 绘图函数Plot3D的有关选项
习题参考答案
· · · · · · (收起)
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