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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Marcel Berger

出品人:

页数:476

译者:Silvio Levy

出版时间:1987-11-23

价格:USD 99.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387966267

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

数学
GTM
几何与拓扑
geometry
微分几何
研究
微分几何7
几何
Differential Geometry
Mathematics
Geometry
Manifolds
Tensors
Curvature
Topology
Algebraic Geometry
Differential Forms

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具体描述

This book is an introduction to modern differential geometry. The authors begin with the necessary tools from analysis and topology, including Sard's theorem, de Rham cohomology, calculus on manifolds, and a degree theory. The general theory is illustrated and expanded using the examples of curves and surfaces. In particular, the book contains the classical local and global theory of surfaces, including the fundamental forms, curvature, the Gauss-Bonnet formula, geodesics, and minimal surfaces.

抽象代数基础：群、环与域的结构作者：[虚构作者名，例如：阿历克斯·陈] 出版社：[虚构出版社名，例如：普林斯顿数学科学出版社] --- 图书简介深入探索代数结构的核心，领略数学之美的严谨与优雅。《抽象代数基础：群、环与域的结构》是一本旨在为数学、物理学、计算机科学以及工程学领域的研究生和高年级本科生提供全面、深入且富于洞察力的抽象代数导论的专著。本书的核心目标是构建坚实的理论基础，使读者不仅能够掌握群论、环论和域论的基本概念与定理，更能理解它们在构建现代数学体系中所扮演的关键角色。本书的结构经过精心设计，力求在严谨性与可读性之间取得完美的平衡。我们相信，理解抽象结构的精髓，需要清晰的动机、精妙的例子以及细致入微的证明过程。因此，全书贯穿着从具体实例到一般理论的渐进式构建，确保读者能够平稳地过渡到高度抽象的思考模式。 --- 第一部分：群论的构建与应用本部分聚焦于代数结构中最基本、应用最广泛的概念——群。我们从集合上的二元运算出发，系统地定义群的公理体系，并立即引入最基础的例子，如整数加法群、非零有理数乘法群以及矩阵群。 1.1 群的基本性质与子群：详细阐述了群的单位元、逆元、结合律的唯一性，以及子群的判定准则。我们引入了陪集的概念，这是理解商群的基础，并通过拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）展示了有限群结构的强大约束力。 1.2 循环群与同构：循环群作为最简单的群结构，被深入分析，包括其生成元和阶的性质。同构（Isomorphism）概念的引入标志着我们从“具体元素”的层面转向“结构本身”的认识。我们详细探讨了凯莱定理（Cayley's Theorem），证明了每个群都同构于一个置换群，从而为群论提供了一个具体的“实现”模型。 1.3 正规子群与商群：这是群论中至关重要的一步。我们严格定义了正规子群，并展示了它如何允许构造出“商群”（Factor Groups）。商群的构造是理解模运算、周期性以及代数结构“分解”过程的关键。我们详尽阐述了第一同构定理（First Isomorphism Theorem），并将其作为后续所有同构定理的基石。 1.4 群的作用与应用：群作用（Group Actions）是连接抽象结构与具体对象的桥梁。我们讨论了轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers），并应用Sylow定理（Sylow Theorems）来分析有限群的内部结构，特别是关于最大 $p$-子群的存在性与数量的定理。这些定理在有限群分类中具有不可替代的地位。此外，本部分还包含了对置换群（Symmetric and Alternating Groups）的深入分析。 --- 第二部分：环论的深化与扩张在掌握了群论的精髓后，本书自然过渡到包含两种运算（加法和乘法）的结构——环（Rings）。环论是代数几何、代数数论乃至拓扑代数的核心工具。 2.1 环的定义与基本例子：我们从交换环（Commutative Rings）开始，详细定义了整环（Integral Domains）和域（Fields）。例子涵盖了整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$，以及矩阵环等非交换环。 2.2 子环、理想与商环：与群论中的子群类似，理想（Ideals）是环论中的关键概念。我们强调了理想在乘法运算中扮演的“除法”角色，并构建了商环（Factor Rings）。第一同构定理在环的情境下得到了重述，展示了理想与同态之间的深刻联系。 2.3 主理想整环与唯一因子分解：本部分深入探讨了特殊的整环结构。主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）如 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 是连接欧几里得整环、唯一因子分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）和 PID 的核心。我们提供了清晰的定理链，证明了这些概念之间的层级关系，并讨论了诸如高斯引理等工具。 2.4 模块化算术与域的扩张：我们考察了模 $n$ 的环 $mathbb{Z}_n$，探讨了其何时构成域（即 $n$ 为素数时）。接着，我们引入了域的扩张（Field Extensions）的概念，为黎曼几何和代数拓扑中涉及的域结构做好了铺垫。 --- 第三部分：域的结构与伽罗瓦理论的奠基第三部分将代数理论推向其经典的高峰——伽罗瓦理论（Galois Theory）。这一理论完美地将群论、环论和域论结合起来，解释了多项式方程根的构造性问题。 3.1 域扩张与代数元：详细定义了域扩张 $[L:K]$ 的次数，并区分了代数性（Algebraic）和超越性（Transcendental）元素。我们探讨了最小多项式（Minimal Polynomials）的存在性与唯一性。 3.2 分裂域与正规扩张：引入了分裂域（Splitting Fields）的概念，它是使得一个多项式完全分解的最小域。我们定义了正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions），这些是构建伽罗瓦扩张的必要条件。 3.3 伽罗瓦群：伽罗瓦理论的核心在于将域扩张 $L/K$ 与一个特定的伽罗瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$ 相关联。我们证明了该群的阶与扩张次数之间的关系。 3.4 伽罗瓦的基本定理：本书的压轴部分是伽罗瓦基本定理的详尽论述。该定理建立了域的中间域、群的中间子群以及群作用之间的一一对应关系。通过这一对应，我们可以清晰地解释五次及以上方程求根公式不存在的根本原因，完全利用了群的非可解性（Solvability by Radicals）。 --- 本书的特色本书的撰写风格注重概念的清晰度和推理的严密性。每一章都包含大量的详细示例（Illustrative Examples）和具有挑战性的习题（Exercises），这些习题旨在巩固核心概念，并引导读者探索更深层次的理论。我们特别强调了从群到环再到域的逻辑发展顺序，确保读者能够构建一个连贯且统一的代数知识体系，为未来深入研究代数几何、拓扑或理论物理的代数结构打下坚实的基础。本书适合希望在抽象代数领域进行系统学习和研究的学者。

作者简介

作者：(法国)M.贝尔热 (法国)B.戈斯丢

M.贝尔热 Marcel Berger（1927 ），著名的法国数学家，法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所（1HES）所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作，并以书中的精巧论述而见长。

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构设计充满了古典几何的韵味，处处彰显着严谨和精确，但这种严谨有时也显得有些“不近人情”。例如，书中对“向量场”的定义，首先就将其嵌入到了切空间和李导数的框架下，这无疑是最高屋建瓴的定义方式，但对于刚刚接触流形概念的读者来说，一开始就要求理解“切空间”的本质，压力会非常大。我个人更喜欢那种先从欧氏空间中曲线的切向量入手，逐步抽象到流形上的过程，而这本书似乎跳过了这个“搭桥”的阶段。不过，值得称赞的是，书中在引入“流的积分曲线”时，给出了非常详尽的关于常微分方程解的存在性和唯一性的讨论，这使得几何对象不再是孤立的数学构造，而是与动力系统紧密相连的动态实体，这种跨学科的视角极大地拓宽了我的视野。尽管入门门槛较高，但一旦越过最初的障碍，它所提供的概念深度和广度是其他同类教材难以比拟的。它要求读者不仅要会“做”几何，更要“想”几何的本质。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，第一印象是它那厚重的篇幅和那带着古典气息的排版设计，瞬间就让人感受到了一种学术的庄严感。这本书的叙事风格异常“克制”，几乎没有多余的赘述或煽情的引导，每一个段落都像是一个精心打磨的数学命题，直击要害。我对书中关于“纤维丛”的介绍印象深刻，它没有采取传统教材那种先定义后应用的模式，而是从规范连接的视角出发，将电磁场理论中的一些经典现象作为引入点，这使得原本抽象的数学结构立刻获得了物理上的可触摸感。但是，这种深入骨髓的专业性也带来了阅读上的挑战性。例如，在探讨庞加莱对偶定理时，作者仅仅用了一页纸的篇幅进行了简要的总结，对于没有扎实代数拓扑基础的人来说，这无异于天书。这本书更像是一本“知识库”或“参考手册”，适合那些已经对微分几何领域有所涉猎，需要一个权威、详尽的资源来查阅特定定理证明或复杂构造细节的研究人员。它不是一本用来“享受阅读”的书，而是一本需要“刻苦钻研”的工具箱。

评分☆☆☆☆☆

这本关于“微分几何”的书籍，初读时着实让人有些摸不着头脑，仿佛置身于一个由曲线、曲面和更高维流形构筑的迷宫之中。作者似乎对读者的背景知识抱有极高的期望，直接将我们抛入了黎曼几何的核心概念，那些关于度量张量、联络和曲率的讨论，对于一个初学者而言，无疑是高耸入云的壁垒。章节的组织结构呈现出一种严谨的、近乎于欧氏几何证明的线性逻辑，每一步推导都像是在用一把精密的尺子丈量空间结构。我尤其欣赏作者在引入“测地线”这一概念时所采用的变分原理视角，它将原本抽象的“最短路径”问题，成功地转化为一个能量最小化的物理直觉，这种数学与物理直觉的巧妙结合，是全书中最令人振奋的部分。然而，书中大量的符号操作和对拓扑学基础的默认，使得阅读过程必须时刻保持高度集中的精神状态，稍不留神，错过的可能就不只是一个公式，而是对整个局部结构理解的断裂。对于希望通过这本书建立起坚实几何直觉而非仅仅停留在计算层面的读者来说，可能需要配合其他更侧重于可视化和直观阐释的辅助材料，才能真正将这些抽象的数学工具内化为自己的思维框架。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验上，这本书给我一种“冷峻的学术对话”感。作者似乎在与一个假想的、同样精通该领域的同行进行交流，语气平实，论证滴水不漏。我特别欣赏它在“伪黎曼几何”部分的处理方式，它没有像某些教材那样将这部分视为对黎曼几何的简单推广，而是深入探讨了洛伦兹度量下的因果结构和奇性问题，这对于对广义相对论有兴趣的读者来说，是极其宝贵的财富。然而，书中对插图和示例的使用却显得极为吝啬，几乎所有的论证都依赖于纯粹的符号逻辑和抽象推理。在涉及三维或更高维空间结构的可视化方面，这本书几乎没有提供任何帮助，使得很多复杂的张量关系仅仅停留在符号层面，难以在脑海中形成清晰的图像。这无疑是其作为教学用书的一大弱点，因为它要求读者拥有极强的空间想象能力来弥补图形的缺失。对于那些依赖视觉辅助来理解复杂几何构造的学习者而言，这本书的挑战性无疑会翻倍，它更像是为那些“天生带有几何感”的人士所准备的终极参考书。

评分☆☆☆☆☆

翻阅这本书的目录，就能发现其内容覆盖的广度令人惊叹，从基础的微分流形到高阶的辛几何和规范场论，几乎是一部微缩版的领域发展史。我发现作者在处理“曲率”这个核心概念时，采用了一种非常精妙的递进方式，从高斯曲率的直观几何意义，逐步过渡到里奇曲率和魏尔张量在线性代数意义上的代数表达，这种层次感的构建，确实体现了编纂者的深厚功力。然而，书中对各种定理的证明过程过于“精简”，很多关键的中间步骤被一笔带过，留给读者的思考空间固然重要，但对于那些依赖详尽推导来巩固理解的读者来说，这无疑会造成阅读上的卡顿。比如，证明某个关于霍奇理论的关键引理时，作者只是引用了一个非常晦涩的文献，这使得我们不得不中断当前的学习流程，去追溯那个遥远的背景知识，极大地影响了阅读的连贯性。总的来说，这本书更像是为那些已经习惯于“黑箱操作”或已经掌握了足够背景知识的进阶学习者准备的，它提供了“是什么”和“为什么是这样”，但“怎么做到”的细节需要读者自己去挖掘。

评分☆☆☆☆☆

本科时都在打酱油啊...

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