第一部分 學習指導及習題第一章 麯綫論 §1 嚮量函數 1.1 嚮量函數的極限 1.2 嚮量函數的連續性 1.3 嚮量函數的微商及泰勒展開式 1.4 嚮量函數的積分 習題 1.1 §2 麯綫的概念 習題 1.2 §3 空間麯綫 3.1 空間麯綫的密切平麵 3.2 空間麯綫的基本三棱形 3.3 空間麯綫的麯率、撓率和伏雷內公式 3.4 空間麯綫在一點鄰近的結構 3.5 空間麯綫論的基本定理 3.6 一般螺綫 習題 1.3 §4 全章小結第二章 麯麵論 §1 麯麵的概念 1.1 簡單麯麵及其參數錶示 1.2 光滑麯麵 1.3 麯麵上的麯綫族和麯綫網 習題 2.1 §2 麯麵的第一基本形式 2.1 麯麵的第一基本形式 麯麵上麯綫的弧長 2.2 麯麵上兩方嚮的交角 2.3 正交麯綫族和正交軌綫 2.4 麯麵域的麵積 2.5 等距變換 2.6 保角變換 習題 2.2 §3 麯麵的第二基本形式 3.1 麯麵的第二基本形式 3.2 麯麵上麯綫的麯率 3.3 迪潘指標綫 3.4 麯麵的漸近方嚮和共軛方嚮 3.5 麯麵的主方嚮和麯率綫 3.6 麯麵的主麯率、高斯麯率和平均麯率 3.7 麯麵在一點鄰近的結構 3.8 高斯麯率的幾何意義 習題 2.3 §4 直紋麵和可展麯麵 4.1 直紋麵 4.2 可展麯麵 習題 2.4 §5 麯麵論的基本定理 5.1 麯麵的基本方程和剋裏斯托費爾符號 5.2 麯麵的黎曼麯率張量和高斯-科達齊-邁因納爾迪公式 5.3 麯麵論的基本定理 習題 2.5 §6 麯麵上的測地綫 6.1 麯麵上麯綫的測地麯率 6.2 麯麵上的測地綫 6.3 麯麵上的半測地坐標網 6.4 麯麵上測地綫的短程性 6.5 高斯-波涅公式 6.6 麯麵上嚮量的平行移動 習題 2.6 §7 常高斯麯率的麯麵 7.1 常高斯麯率的麯麵 7.2 僞球麵 7.3 羅氏幾何 習題 2.7 §8 全章小結第三章 外微分形式和活動標架 §1 外微分形式 1.1 格拉斯曼代數 習題 3.1.1 1.2 外微分形式 習題 3.1.2 1.3 弗羅貝尼烏斯定理 習題 3.1.3 §2 活動標架 2.1 閤同變換群 2.2 活動標架 2.3 活動標架法 §3 用活動標架法研究麯麵 習題 3.3第四章 整體微分幾何初步 §1 平麵麯綫的整體性質 1.1 鏇轉數 習題 4.1.1 1.2 麯綫 習題 4.1.2 1.3 等周不等式 習題 4.1.3 1.4 四頂點定理 習題 4.1.4 1.5 等寬麯綫 習題 4.1.5 1.6 平麵麯綫上的Crofton公式 習題 4.1.6 §2 空間麯綫的整體性質 2.1 芬切爾定理 習題 4.2.1 2.2 球麵上的Crofton公式 習題 4.2.2 2.3 Fary-Milnor定理 2.4 閉麯綫的全撓率 習題 4.2.4 §3 麯麵的整體性質 3.1 麯麵的整體定義 3.2 麯麵的一般性質 3.3 卵形麵 習題 4.3.3 3.4 完備麯麵 3.5 負常高斯麯率的麯麵 習題 4.3.5 §4 完備麯麵的比較定理 4.1 完備麯麵的極坐標係 4.2 比較定理 4.3 完備麯麵的比較定理 習題 4.4第二部分 解題指導與答案 第一章 麯綫論 習題 1.1 習題 1.2 習題 1.3 第二章 麯麵論 習題 2.1 習題 2.2 習題 2.3 習題 2.4 習題 2.5 習題 2.6 習題 2.7 第三章 外微分形式和活動標架 習題 3.1.1 習題 3.1.2 習題 3.1.3 習題 3.3 第四章 整體微分幾何初步 習題 4.1.1 習題 4.1.2 習題 4.1.3 習題 4.1.4 習題 4.1.5 習題 4.1.6 習題 4.2.1 習題 4.2.2 習題 4.2.4 習題 4.3.3 習題 4.3.5 習題 4.4
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