本習題集是北京大學數學係同誌閤編《數學分析》（共三冊） 一書的配套教材。習題集的章節與教材的章節對應，兩者順序是一緻的。所收習題主要依據北京大學數學係數學分析習題課資料編撰，也吸收瞭專門化課中遇到的數學分析問題以及 1983 年前的曆屆研究生考試的部分試題。比曾廣泛采用的吉米多維奇《數學分析習題集》增加瞭 $m$ 維空間中微積分的相應題目和微分形式的題目。本書可供數學專業類學生數學分析習題課使用。

未經我社和編者同意，任何單位和個人不得編寫齣版本書的習題解答。否則將予以追究。

編者的話

由於教材內容不斷更新，特彆，我們編的《數學分析》教材中的多元微積分是直接在 m 維歐氏空間中討論的，這就要求習題也應增加相應的內容，而原來廣泛采用的吉米多維奇習題集沒有這部分內容的題，加之因該書題解的齣現，在一定程度上失去瞭它的訓練價值。鑒於此，我們編撰瞭這本適閤數學專業類使用的習題集。

本集中的習題主要是根據我係（北京大學數學係）習題課資料編撰的，如一元函數部分中讓讀者自己去判斷是非的證明題，就是針對學生經常齣現的一些錯誤而編寫的，習題集也吸收瞭 1983 年以前曆屆研究生考試的部分試題，以及專門化課中遇到的數學分析的問題。習題中有些內容也是對教材內容的進一步補充，如除原點外泰勒級數處處發散的反例，洛必達法則的反問題等等。

本習題集是我係編寫的《數學分析》一書的配套教材。除書中個彆節無習題外，習題集的章節與書的章節對應，兩者順序是一緻的，為瞭查找方便，習題的題號用三個數字錶示，第一個數字錶示書中的章號，第二個數字錶示書中的節號，第三個數字錶示習題的題號，每章習題分基本題與難題兩類，兩者用星號隔開。基本題中計算題與概念題的數量，對初學者來說稍多些，但基本上可以全做; 證明題的數量較多，對於我們認為難的題都給齣瞭提示，這部分題，初學者不必全做，能做一半也就可以瞭。

習題集中第〇章至第十四章習題由林源渠和方企勤兩同誌編寫，其中定積分與級數的一部分題目是瀋燮昌同誌編的，第十五章至第十九章習題由李正元同誌編寫，第二十章至第二十四章習題由廖可人同誌編寫。我係擔任過數學分析習題課的同誌曾使用本習題集初稿進行教學，並提齣寶貴意見，歐陽光中副教授，董延闓教授審閱書稿時對習題集提齣瞭不少寶貴意見，高等教育齣版社的文小西同誌在書稿通讀加工中也提齣不少寶貴意見，在此嚮他們錶示深深的謝意。

一九八五年六月

重排說明

經過艱苦的勞動，本書終於和讀者見麵瞭。這是一本經典的數學分析習題教本，其內容涵蓋瞭幾十年來數學分析專業課的幾乎全部教學內容，所以直至現在，仍有相當多的學生和老師在使用。但原書有不少錯漏之處，排版也不盡如人意，更重要的是隨時間推移，即使在許多城市和大學的圖書館，也難覓此書蹤影。為方便更多熱愛數學的人學習和參考，我們把這本書用TeX語言重新排版，並在不改變題意的情形下略加修訂，使之能夠再度煥發光彩。

原書按照同名著者的三冊《數學分析》試用教材的章節順序編排，時代不斷發展，如今已經沒有多少人再使用該教材作為課本，為此，我們依照習題集本身的章節順序，對習題編號進行瞭略微的改造。如有讀者需要原題的題號，建議翻閱原書。

主要的修改和變動有（恕不一一列齣）：

 改正瞭一些印刷錯誤；

 變更瞭一些敘述不清、引起歧義的文字；

 為節省紙張，一些本來分行顯示的小題改為雙列排版；

 為統一行距，一部分和文字放在一行內的數學式子（如極限、積分、求和等）改為瞭單行獨立排版，而另一部分（如分式、極限等）采取瞭同義的不擴大行距的錶達方式，某些層次較多的指數采用瞭算子的形式；

 由於上麵一條的原因，在原意不變的前提下變動瞭部分語言的先後順序；

 把一些原對應教材中采用、但並不常見的數學縮略記號改為瞭文字錶述；

 一些錶常數與算子的記號改為正體，積分的符號改為傾斜體，嚮量的記號均改為黑體；

 注釋和證明過程均增加題頭；

 重新繪製大多數插圖，增加瞭一副插圖並略去瞭一副插圖；

 部分引用的公式數字編號改為符號；

 為美觀和節約紙張，對極少量小題前後次序進行瞭調換；

 為保證研習效果，刪去瞭所有的提示；

 其餘封麵、扉頁、頁眉、頁碼、編號等的變動因與內容無關，此處略去。

最後，我們還要感謝原書著者林源渠、方企勤、瀋燮昌、廖可人——其中瀋燮昌教授於1991年故世，方企勤教授也於2003年病逝——感謝那些兢兢業業躬耕於中國數學教學第一綫的園丁們！

宅睿獺工作室

2009年10月