Geometry (Translations of Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:V. V. Prasolov

出品人:

頁數:266

译者:

出版時間:2001-07

價格:USD 104.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780821820384

叢書系列:Translations of Mathematical Monographs

圖書標籤:

• 幾何
• 數學
• Geometry
• 微分幾何7
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• Mathematics
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• Mathematics

好的，以下是一部名為《拓撲學中的基本結構：從歐幾裏得到黎曼》的圖書簡介，該書旨在為讀者提供一個深入而全麵的拓撲學基礎，內容與《Geometry (Translations of Mathematical Monographs)》不重復： --- 拓撲學中的基本結構：從歐幾裏得到黎曼 一部探索空間形態、連續性與形變本質的深度導論 導言：空間的語言與連續性的奧秘 自古以來，人類對“空間”的理解便驅動著數學的發展。從歐幾裏得對平麵和立體幾何的嚴格公理化，到笛卡爾引入坐標係連接代數與幾何，我們對幾何的認知不斷深化。然而，真正的飛躍發生在十九世紀，隨著非歐幾何的齣現和龐加萊對“形變不變性”的關注，一門新的學科——拓撲學——應運而生。拓撲學，也被戲稱為“橡皮泥幾何學”，關注的是那些在連續拉伸、彎麯甚至扭麯下保持不變的屬性。 《拓撲學中的基本結構：從歐幾裏得到黎曼》旨在係統地梳理拓撲學的核心概念，構建起一個從直觀幾何到抽象空間嚴密論證的橋梁。本書不滿足於錶麵的類比，而是深入挖掘支撐起現代幾何學大廈的那些最基本的、關於鄰近性、連通性和緊緻性的結構。我們相信，理解這些基本結構是進入微分幾何、代數拓撲乃至更深層數學領域的基石。 本書的敘述風格力求嚴謹而不失清晰，通過大量的實例和直覺引導，幫助讀者掌握抽象概念的精髓，並逐步建立起數學證明的邏輯框架。 第一部分：度量空間與拓撲空間的誕生 本部分著重於建立拓撲學研究的對象——拓撲空間——的基礎。我們從讀者最為熟悉的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 齣發，引入度量（距離函數）的概念。 核心內容概述： 1. 度量空間的迴顧與推廣： 詳細闡述瞭度量空間的定義、開球、閉球的概念及其基本性質。我們將對比不同的度量（如歐幾裏得度量、曼哈頓度量、離散度量），展示距離如何定義鄰域。 2. 從度量到拓撲： 核心章節是拓撲空間的定義。我們展示如何僅憑“開集族”這一概念，就能重建度量空間中所有的拓撲性質（如極限、連續性）。拓撲空間被定義為滿足開集公理（空集、全集是開集；任意開集的並集是開集；有限個開集的交集是開集）的集閤與開集族。 3. 拓撲結構的關鍵構造： 介紹如何由一個集閤上的關係（如等價關係）導齣商拓撲，以及子空間拓撲的構建。特彆是，我們將探討拓撲的基（Base）和拓撲的生成（Generating a Topology），這對於理解構造復雜的空間至關重要。 4. 鄰域、內點、閉包與邊界： 係統性地定義和分析這些基本概念，並證明它們之間的內在聯係。我們將證明一個點是閉包的邊界點當且僅當它既不在開集中也不在它的補集的內部。 第二部分：連通性、緊緻性與分離公理 一旦空間被定義，接下來的關鍵問題便是描述空間的“整體性”和“局部行為的限製”。連通性描述瞭一個空間是否可以被分割，而緊緻性則描述瞭“有限性”的拓撲版本。 核心內容概述： 1. 連通性： 定義連通空間和路徑連通空間。我們將證明在 $mathbb{R}^n$ 中，連通性等價於路徑連通性，但對一般拓撲空間並非如此。中間值定理的拓撲版本將在本節得到嚴格證明，展示連通性在函數上的保持性。 2. 緊緻性： 緊緻性是拓撲學中最強大的概念之一。本書將嚴格定義開覆蓋以及有限子覆蓋。我們會證明 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中，有界閉集是緊緻的），但這隻是冰山一角。我們將深入探討緊緻性在任意拓撲空間上的性質，例如緊緻子集的閉包仍然是緊緻的，緊緻集的連續像仍然是緊緻的。 3. 分離公理（Hausdorff 空間）： 引入 $T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3, T_4$ (正則與完全正則) 等分離公理。我們將證明，度量空間一定是 Hausdorff 空間，並深入探討為什麼 $T_2$ 空間對研究極限和收斂至關重要（例如，極限的唯一性）。我們將通過構造反例來區分這些不同級彆的分離性。 4. 完備性與距離的引入： 簡要介紹完備度量空間的概念，並討論柯西序列。雖然這更偏嚮於分析，但它為理解拓撲空間上的收斂行為提供瞭必要的分析視角。 第三部分：連續映射與同胚——形式化的形變 拓撲學的核心在於研究在連續形變下保持不變的性質。這要求我們對“連續性”進行嚴格的定義，並引入“同胚”這一核心等價關係。 核心內容概述： 1. 拓撲空間的連續映射： 定義拓撲空間的連續映射：原像下開集的像仍為開集。我們將對比其與度量空間中 $epsilon-delta$ 定義的等價性。深入討論連續映射的性質，如復閤映射的連續性。 2. 同胚 (Homeomorphism)： 引入雙射且逆映射也連續的映射——同胚。同胚是拓撲學中的“等價”概念，研究拓撲空間就是研究在同胚意義下“不可區分”的性質。本書將用大量例子（如甜甜圈與咖啡杯的拓撲等價性）來鞏固這一直覺。 3. 拓撲不變量： 討論那些在同胚下保持不變的拓撲性質，如維度、連通性、緊緻性。我們將展示如何利用這些不變量來證明兩個空間在拓撲上是不同的（即不存在同胚）。 4. 商空間與構造新的拓撲空間： 深入分析商拓撲的構造，特彆是通過粘閤（identification）來構造新的空間，例如將圓周 $S^1$ 看作單位區間 $[0, 1]$ 的端點粘閤而成。我們將討論商空間在保持連通性和緊緻性方麵的錶現。 第四部分：度量、完備性與拓撲的進階視角 本部分將拓撲學的視角拓展到更具分析性的領域，並為進一步學習代數拓撲做準備。 核心內容概述： 1. 完備度量空間與 Baire 綱定理： 深入探討 Baire 綱定理在完全度量空間（如完備的賦範嚮量空間）中的應用，這是泛函分析和微分方程理論中的一個重要工具。 2. 可數性公理： 討論第一可數空間和第二可數空間。我們將分析可數性如何影響拓撲空間的許多性質，例如在第一可數空間中，序列收斂可以完全替代拓撲收斂的描述。 3. 嵌入與嵌入定理的初步討論： 初步探討拓撲空間如何“嵌入”到更大的空間中，這為理解流形的概念奠定瞭基礎。 4. 路徑與同倫群的萌芽： 雖然本書主要關注點在於點集拓撲，但我們將在最後介紹連接點集拓撲與代數拓撲的橋梁——路徑。我們將直觀地介紹同倫（Homotopy）的概念，為讀者理解更高階的拓撲不變量（如基本群）做好鋪墊，展示拓撲學的下一個層次。 讀者對象與本書特色 本書適閤於具有微積分和綫性代數堅實基礎的數學係本科生、研究生，以及希望係統迴顧或深入理解拓撲學基礎的理工科研究人員。 本書特色： 結構嚴謹： 從最基礎的集閤論工具齣發，嚴格按照公理體係構建拓撲空間理論。 直覺引導： 每個抽象概念的引入都伴隨著來自歐幾裏得幾何或物理直覺的清晰解釋。 豐富的實例與反例： 大量精心挑選的例子（如圓、環麵、射影平麵等）幫助讀者區分概念的細微差彆。 通過《拓撲學中的基本結構》，讀者將不僅掌握點集拓撲學的核心工具，更能培養齣在高度抽象的數學環境中思考空間、鄰近性和連續性的能力，為未來探索微分幾何、代數拓撲或更高級的分析分支打下堅不可摧的基礎。

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這本書的封麵設計簡潔有力，那種深邃的藍色和冷靜的白色字體組閤，一下子就把人帶入瞭一種嚴謹而又引人入勝的數學世界。初次翻開，我立刻被它排版上的那種剋製和專業所吸引。它不像很多科普讀物那樣試圖用花哨的插圖來分散讀者的注意力，而是非常純粹地聚焦於邏輯和證明本身。那種一頁一頁，密密麻麻卻又清晰分明的公式和符號，對於一個真正熱愛數學的人來說，簡直就是一場視覺的盛宴。我記得我花瞭整整一個下午，隻是沉浸在它前幾章關於拓撲空間基本概念的闡述中，那種層層遞進、無懈可擊的論證過程，讓人不由自主地想去復現每一個推導步驟。它沒有那種“為瞭讓你理解而降低難度”的妥協，而是直接將你置於一個高標準的學術對話之中，迫使你必須拿齣百分之二百的專注力去跟上作者的思維步伐。這種體驗是極其酣暢淋灕的，它不是在“教”你，而是在“邀請”你加入一場高智力的思辨遊戲。如果你期待的是輕鬆愉快的閱讀體驗，那你可能會感到有些吃力，但如果你渴望的是深入到數學真理的核心，這本書無疑是為你量身定做的堅實階梯。它要求的是心無旁騖的投入，而迴報的，是對幾何學基礎理解的深刻重塑。

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這本書的深度和廣度，遠超齣瞭我最初對“幾何”這個詞的想象。我原以為它會主要聚焦於歐氏幾何或射影幾何的基礎，但它實際上構建瞭一個遠為復雜的框架，涉及瞭許多現代數學的交叉領域。特彆是關於某些特定的對稱群作用下的不變量理論，作者的處理方式簡直是教科書級彆的範本。每一個定義都經過瞭深思熟慮，每一個定理的證明都展現齣數學傢對結構本質的深刻洞察力。我發現自己不得不頻繁地查閱附錄中對代數結構的基礎迴顧，因為這本書絲毫沒有打算為你復習這些預備知識。它假設讀者已經具備瞭相當紮實的綫性代數和抽象代數背景。這種不妥協的態度，雖然讓初學者望而卻步，但對於那些希望將自己的數學視野提升到更高層次的研究生或研究人員而言，恰恰是其價值所在。它不是一本用來消磨時間的閑書，而是一份需要被反復研讀、在草稿紙上演算無數次的工具書。讀完其中的一章，我感覺自己像是完成瞭一次智力上的馬拉鬆，那種對自身思維極限的探索和突破，帶來的滿足感是無可替代的。

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關於這本書的裝幀和印刷質量，我想單獨提幾句，因為這對於需要長時間在書桌前閱讀學術著作的人來說非常重要。紙張的選擇非常齣色，它不是那種反光的銅版紙，而是帶有輕微紋理的啞光紙，這極大地減輕瞭長時間閱讀帶來的眼部疲勞。墨水的深淺控製得恰到好處，黑色的文字在白色的背景上對比鮮明，即便是那些細小的上下標符號也能看得一清二楚。更值得稱贊的是，頁邊距的設計非常閤理，為讀者留下瞭充足的批注空間。我習慣於在書頁空白處寫下自己的疑問、反駁或補充的例子，這本書的邊距設計完美地支持瞭這種主動學習的習慣。對於一本涉及大量符號和圖示（盡管圖示不多，但關鍵的非常精妙）的著作而言，印刷的清晰度至關重要，這本書在這方麵堪稱典範。翻頁時沒有那種廉價的書籍容易産生的摩擦聲，手感厚實而穩定，這些細節上的用心，體現瞭齣版方對學術讀物應有品質的尊重。

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這本書最讓我印象深刻的一點，是它所蘊含的“數學哲學”。它不僅僅是一係列定理和公式的堆砌，而是在潛移默化中引導讀者去思考“為什麼”這些結構必須如此。例如，在探討某一類幾何變換的封閉性時，作者不僅僅給齣瞭代數證明，更在文字中透露齣對這種不變性的深刻理解——它代錶瞭宇宙中某種深層次的和諧與規律。這種超越純粹計算的敘事方式，使得閱讀過程充滿瞭一種形而上的魅力。它讓你意識到，幾何學並不僅僅是關於形狀和空間，更是關於關係、結構和不變性在不同維度上的映射。讀完這本書後，我開始用一種全新的眼光去看待我之前學習過的很多基礎概念，發現它們背後隱藏著更深層的內在聯係。這本書的價值，在於它能將一個知識點從一個孤立的珍珠，編織成一張宏偉的知識之網，讓讀者在理解細節的同時，也能把握住整體的宏觀藍圖。這是一種對知識的敬畏與熱愛，而非簡單的知識傳授。

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我是在準備一個與非歐幾何相關的研討會時，偶然間接觸到這本譯著的。坦白說，一開始我對“Translations of Mathematical Monographs”這個副標題心存敬畏，生怕內容過於晦澀難懂，但深入閱讀後發現，雖然它的嚴謹性毋庸置疑，但翻譯的質量卻齣奇地流暢和精準。這使得那些原本可能在德語或俄語原版中顯得生硬拗口的數學術語，在這裏得到瞭極富錶現力的中文轉換。尤其是在處理那些涉及微分結構和流形理論的部分時，譯者對專業詞匯的把握，簡直到瞭信手拈來的地步，保持瞭數學語言的精確性，同時又避免瞭過於僵硬的書麵語，讀起來竟有一種古典文學的韻味。我特彆欣賞它在引理和定理之間的銜接處理，總能用一兩句精煉的過渡性文字，將看似孤立的數學事實串聯起來，形成一個宏大的知識體係。對於我這種需要將前沿研究與紮實的理論基礎相結閤的人來說，這本書就像是一座完美的橋梁，它既保留瞭原作的學術權威性，又極大地降低瞭跨語言學習的門檻。那種攻剋難關後的豁然開朗，與書本內涵的完美契閤，是其他任何速成讀物都無法給予的。

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