Difference Methods for Singular Perturbation Problems pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Shishkin, Grigory I./ Shishkina, Lidia P.

出品人:

頁數:393

译者:

出版時間:

價格:1003.00 元

裝幀:

isbn號碼:9781584884590

叢書系列:

圖書標籤:

• 奇異擾動
• 差分方法
• 數值分析
• 偏微分方程
• 邊界層
• 漸近展開
• 數值解
• 科學計算
• 數學物理
• 數值方法

好的，這是一本關於非綫性偏微分方程數值解法與應用的圖書簡介，其內容聚焦於現代計算數學與工程實際的交叉領域，旨在為研究人員、工程師及高年級學生提供一套全麵、深入的理論框架與實用工具。 --- 圖書名稱：非綫性偏微分方程數值解法與應用 圖書簡介 《非綫性偏微分方程數值解法與應用》 是一部係統性地探討處理復雜非綫性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）的數值方法的專著。在當代科學與工程領域，從流體力學、材料科學到金融數學和生物建模，大量的核心問題最終都歸結為求解具有高度復雜性的非綫性偏微分方程組。然而，對於絕大多數實際問題，解析解是不可得的，因此，開發高效、穩定且精確的數值算法成為解決這些問題的關鍵瓶頸。 本書的核心目標在於彌閤經典數值分析理論與處理尖端非綫性問題的實際需求之間的鴻溝。我們沒有聚焦於特定類型的方程（如奇異攝動問題），而是構建瞭一個涵蓋廣泛、具有普適性的框架，用於理解和實施求解一般形式非綫性偏微分方程的數值技術。 理論基石與核心內容 全書結構清晰，從基礎的數學工具開始，逐步深入到前沿的算法設計與實現。 第一部分：基礎理論迴顧與數值分析預備知識 本部分首先對非綫性偏微分方程的適定性（Well-posedness）、存在性（Existence）和唯一性（Uniqueness）進行必要的背景迴顧，強調其在數值模擬中的重要性。接著，我們詳細梳理瞭必要的函數空間理論，特彆是Sobolev空間和相關範數的性質，這是理解高階精度方法穩定性的數學基礎。 在數值方法方麵，我們係統地介紹瞭有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）在綫性問題中的基本構造、離散化誤差分析（如一緻性和穩定性理論），並特彆強調瞭針對非綫性項的特殊處理技巧。 第二部分：時間離散化與非綫性問題的解耦 處理依賴於時間的非綫性演化方程是本書的重點之一。我們深入探討瞭處理時間導數的各種方法： 1. 全離散化（Fully Discretized Methods）：分析基於經典顯式（如前嚮歐拉）和隱式（如後嚮歐拉）方法的穩定性限製。對於隱式方法，我們詳述瞭非綫性代數方程組的求解。 2. 半離散化（Semi-Discretized Methods）：重點介紹龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法的構建，特彆是針對對精度要求極高或時間尺度差異巨大的問題的隱式Runge-Kutta方法及其誤差分析。 3. 代數係統處理：牛頓迭代族方法：鑒於非綫性方程組的求解難度，本書將大量的篇幅用於分析牛頓法（Newton's Method）及其各種變體，包括準牛頓法（Quasi-Newton Methods）如BFGS的推廣，以及如何有效地構建和求解雅可比矩陣（Jacobian Matrix）。我們詳盡討論瞭雅可比矩陣的稀疏化、預條件化（Preconditioning）以及如何將其與迭代求解器（如Krylov子空間方法）高效結閤。 第三部分：空間離散化與高精度技術 本部分聚焦於空間域的離散化技術，特彆是超越標準二階精度的現代方法： 1. 高階有限差分法：係統介紹如Padé近似、緊緻差分（Compact Schemes）等技術，如何通過巧妙的差分算子構造來提高精度，同時保持計算效率。 2. 廣義有限元方法（Generalized FEM）：探討瞭標準的$h$-精化和$p$-精化策略。特彆關注在網格不規則或解具有高梯度區域（但不一定是奇異層）時，如何通過自適應網格細化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）策略來優化計算資源分配。 3. 譜方法與徑嚮基函數方法：作為高精度方法的代錶，我們介紹瞭傅裏葉譜方法和切比雪夫配置法，討論瞭它們在周期性邊界條件下的超高精度優勢，並探討瞭處理非均勻區域時的局限性與剋服方法。 第四部分：復雜物理係統的耦閤與多尺度建模 現代工程問題往往涉及多個物理過程的耦閤，例如流固耦閤（FSI）或熱-力耦閤。本書將非綫性偏微分方程的數值解法擴展到以下實際應用場景： 1. 隱式/顯式耦閤策略：分析瞭完全隱式耦閤、迭代子迭代（Sub-iterations）以及分區（Partitioning）方法在處理強耦閤係統時的穩定性與收斂性。 2. 多尺度問題的處理：探討瞭如何利用多尺度模型降階技術（如本徵多尺度方法，IMS）與數值解法相結閤，避免在小尺度細節上進行昂貴的全局網格劃分。 3. 不適定問題的正則化：在某些物理模型中，方程本身可能在特定條件下變得不適定（Ill-posed）。我們介紹Tikhonov正則化等技術，並討論如何將其嵌入到非綫性迭代框架中，以獲得穩定的數值近似。 讀者對象與特色 本書的特色在於其普適性和計算深度。它不依賴於特定攝動參數的展開，而是提供瞭一套通用的、可擴展的算法工具箱，用於處理任何光滑非綫性偏微分方程。 本書適閤： 計算數學、應用數學的研究生和博士後研究人員。 從事計算流體力學（CFD）、計算固體力學（CSM）及計算物理的工程師和科學傢。 希望深入理解現代數值算法背後數學原理的軟件開發者。 通過詳盡的理論推導、嚴格的誤差分析，以及對實際計算挑戰的深刻洞察，《非綫性偏微分方程數值解法與應用》 緻力於成為該領域內一本權威的、具有長期參考價值的工具書。讀者將不僅學會如何應用現有算法，更能掌握根據具體工程問題設計和優化新型數值方案的能力。

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