Field Arithmetic pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Fried, Michael D./ Jarden, Moshe

出品人:

頁數:792

译者:

出版時間:

價格:1691.00 元

裝幀:

isbn號碼:9783540772699

叢書系列:

圖書標籤:

• 數值計算
• 計算機算術
• 浮點數
• 區間算術
• 捨入誤差
• 數值分析
• 可靠計算
• 科學計算
• 誤差分析
• 算法

《場論精要：從基礎到前沿》 本書旨在為讀者提供一個清晰、嚴謹且全麵的代數數論入門。它並非一本枯燥的理論堆砌，而是力求通過深入淺齣的講解，揭示數域和函數的代數結構的內在聯係，以及它們在解決數學難題中的強大力量。從最基礎的域概念齣發，我們將一步步構建起理解代數數域所需的工具箱，並最終觸及一些活躍的研究領域。 第一部分：基礎構建 在本書的開篇，我們將仔細審視“域”這一代數結構的核心概念。什麼是域？它如何運作？我們將從集閤論的角度齣發，定義域的公理化性質，並探討其基本運算規則。緊接著，我們將引入“子域”和“域擴張”的概念。理解域如何被“擴張”，就像理解一個數的整數集閤如何被擴張到有理數域、實數域乃至復數域一樣，是代數數論的基石。我們將詳細討論有限擴張和代數擴張，並通過具體的例子來闡明這些抽象概念。 第二部分：代數整數與理想 代數數論的魅力很大程度上在於它研究的對象——代數整數。這些數是某個域擴張中的多項式的根，它們的性質遠比普通整數豐富和復雜。我們將深入研究代數整數環的結構，並著重分析其在中國古代數學中已有所體現的“理想”概念。理想在理解和分解代數整數環的結構中扮演著至關重要的角色，它為我們提供瞭分析數域結構的新視角。我們將討論主理想域、唯一分解域以及更一般地，在代數整數環中理想的分解性質。 第三部分：局部化與模 局部化是代數幾何和數論中一個極為重要的技術。它允許我們將全局的代數問題轉化為局部的問題來分析，就像我們將一個光滑流形的研究分解到每個點的切空間一樣。本書將詳細介紹域的局部化，以及代數整數環的局部化。在此基礎上，我們將引入“模”的概念，這是綫性代數中嚮量空間的自然推廣。我們將探討模的自由性、秩以及模與代數結構之間的深刻聯係。 第四部分：伽羅瓦理論的視角 伽羅瓦理論是連接域論和群論的橋梁，它揭示瞭多項式根的對稱性與域擴張的結構之間的對應關係。我們將從域擴張的角度齣發，引入可分擴張和正規擴張的概念，並在此基礎上構建伽羅瓦群。伽羅瓦群的結構直接反映瞭域擴張的性質，這為我們理解方程的可解性提供瞭深刻的洞見。本書將通過一係列經典示例，展示伽羅瓦理論在數域研究中的威力。 第五部分：數域的不變量 理解一個數域的“不變性”至關重要，這能幫助我們辨彆不同的數域。我們將引入並深入探討幾個關鍵的不變量，例如判彆式。判彆式是代數整數環的一個基本不變量，它包含瞭關於該環結構的重要信息，並且與代數方程的根的重閤度息息相關。我們將展示如何計算判彆式，以及它在數域分類中的作用。 第六部分：超越基礎：前沿展望 在打下堅實的基礎之後，本書將帶領讀者展望一些當前數學研究的前沿領域。雖然不深入探討，但我們將觸及一些令人生畏卻又充滿魅力的概念，例如： zeta 函數與 L 函數： 這些具有深刻數論意義的函數，它們在解析數論中的應用，例如素數定理的證明，以及與代數簇的聯係，將有所提及。 模形式： 具有高度對稱性的函數，它們在數論、錶示論和代數幾何中都有著廣泛的應用，我們將簡要介紹其基本概念和一些著名的例子。 算術幾何： 將代數幾何的工具應用於數域的研究，例如代數簇上的點集研究，這將為我們提供全新的理解數域的視角。 本書的寫作風格力求嚴謹而不失生動，我們將在理論推導的同時，輔以豐富的例子和直觀的解釋，幫助讀者理解抽象概念。書中包含大量的習題，鼓勵讀者動手實踐，鞏固所學知識。無論是對數學專業本科生、研究生，還是對代數數論懷有濃厚興趣的科研人員，《場論精要：從基礎到前沿》都將是一本不可多得的參考書。它不僅是知識的傳遞，更是一種數學思維的啓迪，帶領讀者穿越數的海洋，探索其內在的深刻結構。

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我是一名對純數學抱有極大熱情的業餘愛好者，接觸過不少代數幾何和拓撲學的書籍，但真正讓我感到“踏實”的關於基礎代數結構的書籍並不多見。這本書給我的感覺就是**極其嚴謹，卻又不失溫度**。它對群、環、域這些基本概念的定義和性質的探討，可以說是達到瞭教科書級彆的水準，每一步的論證都無懈可擊，讓人找不到任何可以質疑的地方。不過，最讓我印象深刻的，是作者對於“域擴張”這一核心概念的闡述。他沒有僅僅停留在形式化的定義上，而是花瞭大量的篇幅去討論，為什麼我們需要引入這樣的概念，它們在解決哪些實際的數學難題時發揮瞭作用。這種“知其所以然”的教學思路，極大地增強瞭閱讀的連貫性和趣味性。我甚至能感受到作者在寫作過程中，那種希望讀者能夠真正理解數學本質的強烈願望。那些精心設計的習題，雖然難度不低，但每道題都緊密圍繞著本章的核心思想，做完後讓人有一種強烈的成就感。

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這本書的閱讀體驗，對於我這種習慣瞭快速瀏覽信息的讀者來說，是一種近乎**“慢下來，纔能走得更遠”**的深刻體驗。它不是那種可以讓你囫圇吞棗快速讀完的書。作者在探討伽羅瓦群與多項式根之間的對應關係時，那種邏輯上的層層遞進，需要讀者投入全部的注意力。我發現，當我試圖跳過某個冗長的引理證明時，接下來的章節就會變得晦澀難懂。這種設計，與其說是作者的固執，不如說是對數學內在邏輯的尊重。我在閱讀過程中，經常會停下來，在草稿紙上復現作者的推導過程，很多時候，隻有通過自己的筆尖“走”過一遍，纔能真正體會到定理的精妙之處。書中對**不可約多項式的判定**那一節，簡直是藝術品，它將抽象的代數工具與具體的算術判斷完美結閤。

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這本書的封麵設計得相當有品味，那種低調的深藍色調，配上簡潔的襯綫字體，一下子就吸引住瞭我這個常年在圖書館裏翻找的老讀者。我原本以為它會是一本晦澀難懂的純理論著作，畢竟“場論”這個詞本身就帶著一股子學究氣。然而，翻開第一頁，我就被作者那種娓娓道來的敘事方式所摺服。他沒有急於拋齣復雜的公式，而是用一種近乎講故事的口吻，從伽羅瓦時代那些充滿戲劇性的數學傢的爭論講起。書中的例證選取得非常巧妙，那些看似與抽象概念無關的幾何問題，卻能在作者的引導下，被精準地映射到代數結構之中。讀到中期，我感覺自己仿佛置身於一個由數和運算構成的精妙迷宮，每一步的推導都像是在解開一個古老的謎題，那種豁然開朗的體驗，是很多數學讀物難以給予的。尤其值得稱贊的是，作者對於不同數學流派之間的曆史聯係和思想碰撞，做瞭非常深入的梳理，使得原本孤立的知識點串聯成瞭一張宏大而有機的知識網絡。

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說實話，我拿起這本書時，是帶著一絲懷疑的，因為市麵上關於抽象代數的讀物實在太多瞭，大部分都是互相抄襲、缺乏創新的“二手資料”。但這本書在處理**有限域**這部分內容時，展現齣瞭作者紮實的功底和獨特的視角。他對於有限域的構造和性質，特彆是與編碼理論和密碼學（雖然書本身並非專門講應用，但其基礎卻可以延伸到那裏）的潛在關聯，做瞭非常清晰的勾勒。作者對於特徵的概念，講解得尤其透徹，從零特徵到正特徵域的過渡處理得非常自然。我特彆喜歡他引入的一個類比，用建築學的不同地基來比喻不同特徵的域對上層理論構建的影響，這個形象的比喻讓我瞬間把握住瞭兩者在底層邏輯上的差異。此外，書中的排版和圖錶設計也值得稱贊，那些復雜的符號和結構圖，布局得井井有條，極大地方便瞭對照閱讀和理解。

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從一名資深數學教育工作者的角度來看，這本書在**可及性**與**深度**之間找到瞭一個絕佳的平衡點。它避免瞭入門教材過於淺顯的弊病，也沒有陷入純粹研究性專著的深淵。它的語言風格介於教材和學術專著之間，既保持瞭學術的精確性，又融入瞭許多啓發性的討論。例如，在講解模運算和同餘類時，作者沒有直接給齣標準定義，而是先迴顧瞭整數環上的經驗，再逐步抽象化，這種**“從具體到抽象”**的路徑，對於培養學生的數學直覺至關重要。我尤其欣賞作者對“為什麼”的持續追問，他不僅僅是告訴你“是什麼”，更重要的是讓你理解“為什麼是這樣”。這本書，無疑是數學領域中一本值得反復研讀的經典之作，它不僅傳授知識，更重要的是塑造瞭一種嚴謹而富有洞察力的數學思維方式。

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