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出版者:World Scientific

作者:Minking Eie

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2008-12

价格:528.00元

装帧:平装

isbn号码:9789812835185

丛书系列:

图书标签:

模形式
数论
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模形式
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具体描述

This is a first-ever textbook written in English about the theory of modular forms and Jacobi forms of several variables. It contains the classical theory as well as a new theory on Jacobi forms over Cayley numbers developed by the author from 1990 to 2000. Applications to the classical Euler sums are of special interest to those who are eager to evaluate double Euler sums or more general multiple zeta values. The celebrated sum formula proved by Granville in 1997 is given in a more general form here.

Contents:Theory of Modular Forms of One Variable:; Group Action of the Modular Group; The Gamma and Zeta Functions; Zeta Functions of Modular Forms; Dimension Formulae; Bernoulli Identities and Applications; Euler Sums and Recent Development; Theory of Modular Forms of Several Variables:; Theory of Modular Forms of Several Variables; The Full Modular Group; The Fourier Coefficients of Eisenstein Series; Theory of Jacobi Forms; Hecke Operators and Jacobi Forms; Singular Modular Forms on the Exceptional Domain.

探索数字世界的奇妙旅程：一本关于数论的入门指南本书并非一本枯燥的数学教科书，而是一次穿越数字海洋的奇妙旅程。我们将一起潜入数论这个迷人而古老的数学分支，探索其深邃的奥秘。从最基本的概念——整数的性质，到一系列令人惊叹的猜想和定理，我们将一步步揭示数字背后的和谐与规律。无论你是初次接触数论的学生，还是对数字世界充满好奇的探索者，本书都将为你打开一扇通往全新视角的大门。走进整数的国度：基础概念的奠基我们的旅程始于最熟悉也最基础的数学实体——整数。你可能认为整数很简单，但实际上，它们的性质却蕴含着无尽的乐趣和挑战。本书将从最基本的概念入手，深入浅出地介绍：整除性（Divisibility）与因数、倍数：我们将探讨两个整数之间“整除”这一基本关系，理解因数和倍数的概念，并学习如何寻找最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。这些看似简单的概念，却是理解更复杂数论问题的基石。我们会通过有趣的例子和直观的演示，帮助你建立对这些概念的深刻认知。素数（Prime Numbers）与合数（Composite Numbers）：素数，那些只能被1和自身整除的“数字宝石”，构成了整数世界的“原子”。我们将深入研究素数的分布规律，例如著名的素数定理，以及它们在密码学等领域的关键作用。同时，我们也了解合数，并学习如何对合数进行质因数分解。同余（Congruence）与模运算（Modular Arithmetic）：同余是数论中一个极其强大的工具，它允许我们将无限的整数集合映射到一个有限的集合上，从而简化许多复杂的问题。我们将学习同余的性质，以及如何运用模运算解决诸如星期计算、日历问题等实际生活中的难题。你将看到，模运算不仅是数学家的游戏，更是理解周期性现象的钥匙。欧几里得算法（Euclidean Algorithm）：这是一个古老而高效的算法，用于计算两个整数的最大公约数。我们将详细讲解其原理和步骤，并展示它在数论和计算机科学中的广泛应用。你会惊讶于这个简洁算法的强大力量。算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）：这个定理宣告了每一个大于1的整数，要么本身是素数，要么可以唯一地表示成素数的乘积。我们将深入探讨这个定理的意义，以及它如何构建了整个整数的结构。超越基础：探索数论的迷人领域在打下坚实的基础之后，我们将一起探索数论中更令人着迷的领域，领略数学家们数百年来为之倾倒的智慧结晶。数论函数（Number Theoretic Functions）：我们将介绍一些特殊的函数，它们以整数为输入，并返回整数或其他数值。例如，欧拉函数 $phi(n)$（计算小于等于n且与n互质的正整数的个数），以及 $sigma(n)$（计算n的所有正因数之和）。这些函数在数论研究中扮演着至关重要的角色。线性丢番图方程（Linear Diophantine Equations）：这类方程的特点是，我们只寻找整数解。我们将学习如何求解形如 $ax + by = c$ 的线性丢番图方程，并理解其解的存在条件和通解形式。二次剩余（Quadratic Residues）：我们将探讨一个整数是否为另一个整数的平方数模p。这个概念看似抽象，却在数论和密码学中有着深远的影响。我们将学习二次互反律（Quadratic Reciprocity Law），这是数论中最优雅和深刻的定理之一，它揭示了不同素数之间的隐藏联系。费马小定理（Fermat's Little Theorem）与欧拉定理（Euler's Theorem）：这两个定理是关于模幂运算的重要结论，它们在素性检验和密码学领域有着不可替代的作用。我们将详细推导这两个定理，并展示它们是如何帮助我们理解模运算的。威尔逊定理（Wilson's Theorem）：这个定理为素数提供了一个有趣的判别准则。我们将学习它的表述和证明，并感受数论中简洁而深刻的数学美。前沿与应用：数论的现代魅力本书不会止步于经典的数论知识，还会触及一些现代数论的重要概念和应用，让你感受到数论的蓬勃发展和强大生命力。公钥密码学（Public-Key Cryptography）：你每天都在使用的网络通信和在线支付，很大程度上依赖于数论中的原理。我们将初步介绍公钥密码学是如何利用大数分解的困难性（例如RSA算法）来保护信息的安全。你将了解到，那些看似高深的数学概念，竟然是支撑现代信息社会的重要支柱。模算术在计算机科学中的应用：除了密码学，模算术在随机数生成、哈希函数设计等方面也发挥着重要作用。我们将展示一些实际的例子，让你看到数论如何为计算机科学提供强大的理论支撑。数论猜想初探：数论中有许多著名的猜想，它们历经几个世纪仍未被证明，例如哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）和孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）。我们将简要介绍这些猜想的背景和意义，激发你对数学未解之谜的兴趣，或许你就是下一位解决它们的人。学习的乐趣与方法本书力求让学习过程充满乐趣和启发。我们不会仅仅罗列公式和定理，而是通过：丰富的实例：每一个概念的引入，都会伴随着生动有趣的实际例子，让你看到数论如何在生活中“落地”。清晰的证明：对于重要的定理，我们将提供清晰易懂的证明过程，帮助你理解其背后的逻辑。引导性的思考：我们会提出一些问题，鼓励你独立思考，培养解决问题的能力。适度的习题：每章末尾都会有一些精心设计的习题，帮助你巩固所学知识，并挑战你的思维。本书适合谁？高中生和大学低年级学生：对数学有浓厚兴趣，希望拓展课外知识，为未来学习打下基础。数学爱好者：想要系统了解数论，感受数学的逻辑之美和智慧之光。计算机科学和信息安全领域的从业者：希望深入理解密码学等领域所依赖的数学基础。任何对数字世界充满好奇的人：想要探索数字背后的规律、和谐与美妙。结语数论不仅仅是关于数字的游戏，它更是关于模式、结构、抽象和美的探索。本书希望成为你进入数论世界的引路人，为你提供扎实的理论基础、开阔的视野以及对数学的无限热爱。让我们一同踏上这段精彩的数字之旅，发现隐藏在数字中的宇宙真理。