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作者:Manhattan Gmat Prep

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isbn號碼:9780981853345

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• GMAT備考

深入解析代數與數論的經典教材：《高等數學中的基本運算與結構》 本書特色與定位： 《高等數學中的基本運算與結構》是一部麵嚮理工科本科生、研究生以及數學愛好者的高級教材。它旨在係統、深入地探討數學分析、綫性代數和抽象代數等核心領域中的基礎概念、關鍵定理及其相互聯係。本書的編寫立足於嚴謹的數學邏輯，力求在保持數學深度與廣度的同時，兼顧清晰的闡述和豐富的應用示例，幫助讀者建立起堅實的數學思維框架。我們相信，真正的數學素養建立在對基本運算的精確掌握和對結構本質的深刻理解之上。 第一部分：微積分與分析的基礎——運算的精確性 本部分將帶領讀者重溫並深化對函數、極限、連續性和導數的理解，並將其提升至更抽象的分析層麵。 第一章：極限的嚴謹定義與收斂性探討 (The Rigor of Limits and Convergence) 我們從柯西-魏爾斯特拉斯（Cauchy-Weierstrass）的 ε-δ 語言齣發，對極限的概念進行徹底的、無懈可擊的論證。重點分析序列的收斂性（包括單調收斂定理、柯西序列）和函數的連續性（一緻連續性、介值定理的嚴格證明）。特彆地，本章會深入探討無窮級數（包括冪級數和傅裏葉級數）的收斂判據，如拉貝判彆法、比值判彆法，並引入更高級的阿貝爾判彆法。 第二章：導數、積分與微積分基本定理的重構 (Derivatives, Integrals, and the Rebuilding of Calculus) 本章不僅復習瞭求導法則，更側重於導數的幾何和物理意義的深化，例如麯綫的麯率、弧長以及極值點的分類。在積分方麵，本書拋棄瞭初級教材中僅限於黎曼積分的討論，轉而全麵介紹黎曼-斯蒂爾切斯積分（Riemann-Stieltjes Integration）。我們將詳細論證微積分基本定理的擴展形式，並探討勒貝格積分（Lebesgue Integration）的引入，為讀者理解泛函分析打下基礎。 第三章：多元微積分與矢量分析 (Multivariable Calculus and Vector Analysis) 本部分拓展至多維空間。重點涵蓋偏導數、方嚮導數和梯度，以及隱函數定理和反函數定理的嚴格證明。矢量分析部分，我們將深入研究格林公式、斯托剋斯公式和高斯散度定理，並展示這些定理在物理場論（如電磁場）中的核心作用。 第二部分：綫性代數——結構的基石 綫性代數是理解現代科學和工程的語言。本部分專注於矩陣、嚮量空間以及綫性變換的結構化視角。 第四章：嚮量空間與綫性映射的抽象化 (Abstract Vector Spaces and Linear Maps) 本書將嚮量空間的概念推廣到任意域上的模（Modules over a field）。我們將詳細分析子空間、商空間、基、維數等基本概念。重點在於綫性映射的核（Kernel）和像（Image）的性質，以及同構定理（Isomorphism Theorems）在嚮量空間層麵的應用。 第五章：矩陣理論與對角化 (Matrix Theory and Diagonalization) 矩陣被視為綫性變換在特定基下的錶示。本章深入探討行列式的計算與性質，重點分析特徵值和特徵嚮量的求解。關鍵內容包括矩陣的相似變換、對角化條件（Jordan標準型），以及在不可對角化情況下如何利用Jordan形式簡化矩陣運算。我們還將討論正交矩陣和厄爾米特矩陣的性質。 第六章：內積空間與正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本章引入內積的概念，將幾何直覺引入抽象空間。我們將詳細闡述施密特正交化過程，並深入探討正交投影的性質。在綫性代數應用中，本章會重點講解最小二乘法（Least Squares Method）的幾何意義，以及奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在綫性迴歸和數據壓縮中的關鍵作用。 第三部分：代數結構——抽象的洞察 本部分是本書的難點和亮點，旨在引導讀者從具體運算跳脫齣來，把握代數結構背後的統一規律。 第七章：群論入門與基本定理 (Introduction to Group Theory and Fundamental Theorems) 群論是研究對稱性和不變性的數學分支。本章從二元運算、封閉性、結閤律、單位元和逆元等基本公理開始，構建群的初步概念。重點分析循環群、二麵體群（Dihedral Groups）和對稱群（Symmetric Groups）的具體實例。關鍵定理包括拉格朗日定理、陪集分解以及群的同態與同構定理（第一、二、三同構定理）。 第八章：環與域的代數結構 (Algebraic Structures of Rings and Fields) 在群論的基礎上，本章引入具有兩種運算的代數結構——環。我們將區分交換環、整環和域。重點討論理想（Ideals）的概念，以及商環（Quotient Rings）的構造。尤其對多項式環 $F[x]$ 進行深入分析，討論其在構造擴域（Field Extensions）中的核心地位。 第九章：模塊化算術與數論基礎 (Modular Arithmetic and Number Theory Fundamentals) 雖然本書定位為高等數學，但本章將嚴謹地重溫數論的基礎，並將其置於抽象代數的框架下進行審視。我們將詳細闡述模 $n$ 的運算、歐拉定理和費馬小定理的群論證明。重點分析中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）的環論解釋，以及歐幾裏得算法在擴展歐幾裏得算法（求解綫性同餘方程）中的應用。 應用與展望： 本書的最後一部分將探討這些基本運算和結構在現代學科中的橋梁作用： 1. 數值分析中的穩定性： 如何利用矩陣的條件數和SVD分析數值計算的穩定性。 2. 微分方程的求解： 如何利用矩陣的特徵分解求解綫性常微分方程組。 3. 信息論與編碼： 伽羅瓦域（Galois Fields）在現代密碼學和糾錯碼中的實際應用。 讀者對象： 學習微積分、綫性代數、離散數學的理工科大一至大三學生。 需要深入理解數學基礎以進行科學研究的研究生。 渴望係統性重溫和鞏固數學核心概念的專業人士。 通過研讀《高等數學中的基本運算與結構》，讀者將不再滿足於“如何計算”，而是能夠真正理解“為什麼如此計算”以及不同數學分支之間的內在聯係。本書提供的不是速成技巧，而是持久的數學洞察力。

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這本書在知識點的覆蓋和精細程度上給我留下瞭深刻的印象。我翻閱瞭一下目錄，發現 GMAT 數學常考的幾乎所有知識點都涵蓋其中，而且每個知識點下麵的講解都相當深入，不是那種點到為止的概括。特彆是對於一些容易混淆的概念，比如排列組閤與概率的計算，或者不同類型幾何圖形的性質，書中都做瞭非常詳細的區分和對比，並通過大量的實例來鞏固理解。我驚喜地發現，書中在每個知識點講解後，都提供瞭一些不同難度級彆的練習題，從基礎鞏固到拔高訓練，循序漸進，讓我在掌握知識點後能夠立刻進行實操。這種全方位、多層次的學習設計，讓我覺得這本書不僅僅是知識的羅列，更是 GMAT 數學備考的一整套解決方案，能夠幫助我係統性地提升解題能力。

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這本書的排版布局給我留下瞭非常好的印象。打開書頁，首先映入眼簾的是清晰的章節劃分和目錄結構，這為我理清 GMAT 數學各個知識點的脈絡提供瞭極大的便利。每章的開頭都有一個簡潔明瞭的概述，讓我能快速瞭解本章的學習目標和重點。內容呈現方麵，作者似乎非常有條理地將復雜的數學概念分解成易於理解的單元，並且在每個單元後都配有適量的例題。我注意到例題的講解步驟非常詳細，從基礎概念的引入，到解題思路的推演，再到最終答案的得齣，每一步都解釋得清清楚楚，即使是對於某些我曾經感到睏惑的知識點，也能通過這些詳盡的解析恍然大悟。這種循序漸進的學習方式，對於像我這樣數學基礎不算特彆紮實的考生來說，無疑是福音。我期待著通過這種細緻入微的講解，能夠真正將 GMAT 數學所需的各種概念內化於心。

评分☆☆☆☆☆

這本書的外觀設計給我留下瞭深刻的第一印象，它采用的是一種相當經典且沉穩的風格，封麵色彩搭配和諧，字體選擇也很有質感，很容易在琳琅滿目的備考書籍中脫穎而齣。拿到手裏，厚度適中，裝幀牢固，翻閱起來手感不錯，這對於需要頻繁查閱的備考書籍來說非常重要。我尤其喜歡它紙張的觸感，不是那種過於光滑的反光紙，而是略帶啞光，印刷清晰，即使長時間閱讀眼睛也不會覺得疲勞。整個包裝和質感都透露齣一種專業和嚴謹，讓人對接下來的備考過程充滿瞭信心。盡管我還沒有開始深入閱讀內容，但僅從它給人的物理感受和視覺體驗來看，這本書就已經成功地吸引瞭我，讓我對接下來的 GMAT 數學知識的係統梳理充滿瞭期待。我甚至開始想象，在某個安靜的午後，陽光灑在書頁上，我沉浸在這本書所構建的數學世界裏，一點點攻剋難題，那種感覺一定很充實。

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這本書在邏輯遞進方麵做得相當齣色。從最基礎的數論概念，到概率統計，再到幾何圖形，每一個章節的難度和深度都是層層遞進的，仿佛為讀者搭建瞭一個由淺入深的學習階梯。我特彆欣賞它在引入新概念時，總是會先迴顧與之相關的舊知識，或者通過一些貼近實際的例子來引發思考，讓抽象的數學理論變得生動起來。而且，我注意到，書中不僅僅是羅列公式和定理，更注重講解這些概念背後的邏輯和它們在 GMAT 考試中的應用方式。比如，在講解不等式時，它並沒有簡單地給齣不等式的解法，而是強調瞭在不同場景下如何構建不等式，以及如何通過不等式來排除選項。這種注重理解和應用的學習方式，對於我來說是備考的關鍵，因為 GMAT 考試往往考察的是對知識點的靈活運用，而不是死記硬背。

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這本書的語言風格給我帶來瞭一種輕鬆愉快的學習體驗。作者在解釋一些比較抽象或復雜的數學概念時，並沒有使用過於生澀的學術術語，而是盡量采用更加通俗易懂的語言，甚至偶爾還會穿插一些幽默的比喻，讓原本枯燥的數學學習過程變得有趣起來。我尤其喜歡它在例題講解中，那種如同和一位經驗豐富的老師在麵對麵交流的語氣，沒有高高在上的說教，而是充滿瞭鼓勵和引導。它似乎深知考生的不易，所以在講解過程中，會時常提醒一些容易齣錯的地方，或者指齣一些快速解題的技巧。這種親切自然的語言風格，讓我感覺自己不是在被動地接受信息，而是在主動地參與到學習過程中，大大降低瞭我的畏難情緒，讓我更有動力去深入研究每一個知識點。

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