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出版者:

作者:Baas, Nils A. (EDT)/ Friedlander, Eric M. (EDT)/ Jahren, Bjorn (EDT)/ Ostvaer, Paul Arne (EDT)

出品人:

頁數:409

译者:

出版時間:

價格:1073.00 元

裝幀:

isbn號碼:9783642011993

叢書系列:

圖書標籤:

代數拓撲
拓撲學
數學
抽象代數
同調論
上同調論
縴維叢
譜序列
代數幾何
微分拓撲

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具體描述

代數拓撲學：探索空間結構的現代數學工具代數拓撲學是一門年輕而充滿活力的數學分支，它將代數方法引入拓撲學，旨在利用代數工具來研究和理解幾何空間的內在結構和性質。與直觀的幾何學不同，代數拓撲學不依賴於精確的度量或光滑性，而是關注那些在連續形變下保持不變的拓撲性質，例如連通性、孔洞的數量、纏繞方式等。這些性質通常被稱為拓撲不變量。這本書將帶領讀者踏上一段深入探索代數拓撲學核心概念和重要技術的旅程。我們將從最基礎的同倫論（Homotopy Theory）開始，理解連續映射的等價性，並介紹基本群（Fundamental Group）這一強大的代數不變量。基本群能夠捕捉到空間的“環路”行為，通過研究它們的組閤結構，我們可以區分齣許多在幾何上看似相似但本質上不同的空間。隨後，我們將轉嚮同調論（Homology Theory），這是代數拓撲學中另一大基石。同調論通過構造一係列代數對象——同調群，來描述空間的“孔洞”結構。我們將學習如何計算這些同調群，以及它們與空間的連通性、維度等拓撲性質之間的深刻聯係。同調論提供瞭比基本群更豐富的幾何信息，尤其在處理更復雜的空間時，其威力更為顯著。本書還將觸及上同調論（Cohomology Theory），它是同調論的對偶概念。上同調群與同調群有著密切的關係，並且引入瞭乘法結構，即上積（Cup Product），這為我們提供瞭更精細的分析工具，能夠捕捉到空間中不同“孔洞”之間的相互作用。此外，我們將探索一些重要的代數拓撲學工具和概念，例如：鏈復形（Chain Complex）與鏈復閤物（Chain Complexes）：這是構造同調群和上同調群的代數框架。我們將學習如何定義和操作鏈復形，並理解其與空間的拓撲結構之間的對應關係。奇異同調（Singular Homology）：這是最常用的一種同調理論，它通過嵌入所有可能的三角形（及其高維推廣）到空間中來定義同調群。我們將詳細講解奇異同調的定義、性質及其計算方法。單純復形（Simplicial Complex）：這是一種離散的幾何結構，由頂點、邊、三角形以及更高維的單純形組成。許多代數拓撲學的計算都可以在單純復形上進行，它提供瞭一種將連續空間離散化處理的有力途徑。縴維叢（Fiber Bundles）：縴維叢是許多幾何和拓撲結構的基礎，例如球麵、環麵等都可以看作是特殊的縴維叢。我們將介紹縴維叢的基本概念，並探討其在代數拓撲學中的應用，例如將空間的拓撲性質與其“局部”結構聯係起來。龐加萊對偶（Poincaré Duality）：對於某些特殊的空間（例如緊緻流形），龐加萊對偶性揭示瞭其同調群和上同調群之間的深刻對稱性。這將是理解高維空間結構的一個重要視角。本書的編寫旨在為讀者構建一個清晰、係統且嚴謹的代數拓撲學知識體係。我們將通過大量的例子和計算來說明抽象概念，並逐步引導讀者掌握運用這些工具解決實際問題的能力。代數拓撲學不僅是純粹數學研究的有力工具，也在理論物理學、計算機科學、網絡科學等多個領域有著廣泛的應用。掌握代數拓撲學的基本原理，將為理解和分析復雜係統提供全新的視角和強大的方法。無論您是數學專業的學生，還是對探索空間本質充滿好奇的研究者，這本書都將為您打開一扇通往代數拓撲學奇妙世界的大門。我們將從基礎概念齣發，循序漸進地深入，確保讀者能夠逐步建立起紮實的理解，並為進一步深入研究打下堅實的基礎。