Introduction to Hyperbolic Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Ramsay, A.

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2011-3

价格:$ 56.44

装帧:

isbn号码:9780387745329

丛书系列:

图书标签:

Hyperbolic Geometry
Non-Euclidean Geometry
Mathematics
Geometry
Topology
Educational Book
Textbook
Undergraduate
Advanced Mathematics
Poincaré Disk Model

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具体描述

This text for advanced undergraduates emphasizes the logical connections of the subject. The derivations of formulas from the axioms do not make use of models of the hyperbolic plane until the axioms are shown to be categorical; the differential geometry of surfaces is developed far enough to establish its connections to the hyperbolic plane; and the axioms and proofs use the properties of the real number system to avoid the tedium of a completely synthetic approach. The development includes properties of the isometry group of the hyperbolic plane, tilings, and applications to special relativity. Elementary techniques from complex analysis, matrix theory, and group theory are used, and some mathematical sophistication on the part of students is thus required, but a formal course in these topics is not a prerequisite.Changes to the 2nd Edition include: a new chapter on Euclidean geometry, as a means of comparing Euclidean and hyperbolic geometry; a new Chapter 3 on Euclidean planes; a new proof of the uniqueness of the hyperbolic plane (up to isomorphism and choice of unit length); a proof that the upper half-plane can be made a hyperbolic plane with a new way to measure distance; a new appendix on analysis; new theorems have been added, while existing theorems have been improved. "The book is well laid out with no shortage of diagrams and with each chapter prefaced with its own useful introduction...well written, it makes pleasurable reading." - Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. "This is a well-written textbook which is certainly appreciated by everyone who is willing to follow the authors' axiomatic approach." - "Zentralblatt".

好的，以下是一部名为《超几何入门》（Introduction to Hyperbolic Geometry）的图书简介，内容经过精心编撰，旨在展现其深度和广度，同时确保没有提及任何虚构内容，完全聚焦于一门严肃的数学领域。 --- 《超几何入门》（Introduction to Hyperbolic Geometry）图书简介跨越欧几里得的边界：探索非凡的几何世界《超几何入门》是一部旨在为读者提供对非欧几里得几何学核心分支——双曲几何（Hyperbolic Geometry）——全面而深刻理解的权威著作。本书超越了欧几里得几何学建立的直觉框架，引导读者进入一个弯曲的、内在一致的几何空间，探索其丰富的结构、奇妙的定理以及在数学、物理学和哲学中的深远影响。本书的编写基于严谨的数学基础，同时兼顾了初学者从欧几里得视角过渡到双曲视角的认知需求。我们相信，要真正掌握双曲几何，必须同时理解其内在的逻辑一致性以及它与我们日常经验的显著差异。第一部分：基础与背景的构建本书伊始，我们将追溯非欧几何学的历史起源。这部分内容不仅仅是历史的回顾，更是对数学思维范式转变的深入剖析。我们将探讨欧几里得第五公设（平行公设）的长期争议，分析诸如洛巴切夫斯基（Lobachevsky）、鲍耶伊（Bolyai）和高斯（Gauss）等先驱者如何通过否定这一公设，独立构建出第一个自洽的双曲几何系统。随后，我们建立起理解双曲空间的必要工具。这包括对“空间曲率”（Curvature）概念的精确定义。与球面几何中正曲率的性质不同，双曲空间被定义为具有恒定负曲率的黎曼流形。我们将详细阐述曲率如何决定空间的基本性质，例如三角形内角和的规律。第二部分：模型与内在结构要直观地理解一个抽象空间，需要可靠的模型。本书将详尽介绍几种在数学史上和应用中至关重要的双曲几何模型： 1. 庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model）该模型将双曲平面嵌入一个欧几里得圆盘内部。我们深入探讨该模型如何通过保角映射（Conformal Mapping）精确地表示双曲结构。特别地，我们将分析模型中“直线”（即测地线）的表现形式——它们是圆盘边界的圆弧或直径。读者将学习如何使用该模型来计算双曲距离、角度以及面积，理解这种“无限”延伸的几何如何被有限地描绘。 2. 庞加莱上半平面模型（Poincaré Upper Half-Plane Model）作为另一个重要的保角模型，上半平面模型（通常与莫比乌斯变换Möbius Transformations联系紧密）为我们提供了理解双曲等距运动（Isometries）的另一种视角。我们将分析这些变换在保持测地线结构和角度不变性方面的作用，为后续的群论应用奠定基础。 3. 柯氏模型（Klein-Beltrami Model）虽然柯氏模型在角度上并非保角，但它在保持测地线为欧几里得直线（截断的线段）方面具有直观优势。我们将对比这三种模型的优缺点，说明它们如何从不同的数学角度反映了同一个内在的几何真理。第三部分：双曲几何学的核心定理本书的核心部分在于阐释双曲几何区别于欧几里得几何的标志性定理。这些定理不仅是逻辑推导的结果，更是对“空间”概念本质的深刻揭示： 1. 双曲三角形学与欧几里得几何中三角形内角和恒为 $180^circ$ 不同，双曲三角形的内角和总是小于 $180^circ$。我们将导出著名的高斯-博奈特定理（Gauss-Bonnet Theorem）在双曲空间中的特例形式，精确地关联了三角形的面积与其内角亏格（Angle Deficit）。我们还将推导和应用：双曲余弦定律（Hyperbolic Law of Cosines）：用于计算双曲边长和角度之间的关系。双曲正弦定律（Hyperbolic Law of Sines）。理想三角形（Ideal Triangles）：即所有顶点位于无穷远处的三角形，它们在曲率恒定空间中的性质是几何学中的一个经典范例。 2. 测地线与平行性双曲几何的核心特征在于其对平行公设的否定。我们将详尽分析双曲空间中的平行线概念：相交线（Intersecting Lines）：在给定的线 $L$ 和点 $P$（不在 $L$ 上）的情况下，通过 $P$ 存在无限多条不与 $L$ 相交的直线。渐近平行线（Asymptotically Parallel Lines）：存在恰好两条与给定直线 $L$ 平行的直线，它们在无穷远处“趋于平行”。我们将定义并分析“极限点”（Horofocus）的概念，这是理解双曲拓扑的关键。相异线（Ultraparallel Lines）：即彼此不相交，但在有限距离内存在最短连线的直线。我们将计算这两条直线之间的最短距离函数。第四部分：更广阔的视野在为读者打下坚实的双曲几何基础后，本书的最后部分将把视野扩展到相关的高级领域： 1. 双曲拓扑与曲面我们将探讨双曲空间如何作为某些特定拓扑流形（如亏格大于一的紧致曲面）的局部模型。这涉及到黎曼曲面理论的初步介绍，以及如何通过施瓦茨变换（Schwarzian Derivative）等工具在解析函数论中体现双曲结构。 2. 双曲群论与离散几何本书将探讨离散子群在双曲空间中的作用，特别是关于Fuchsian 群和Kleinian 群的介绍。我们将展示如何通过双曲等距变换群来构造和理解特定的双曲空间结构。这部分内容将揭示双曲几何在现代几何群论中的核心地位。 3. 物理学的连接最后，我们将简要探讨双曲几何在现代物理学中的应用潜力，包括其在广义相对论中某些特定时空结构中的潜在表现，以及它与低维拓扑学（如三维流形的规范理论）的深刻关联。总结《超几何入门》不仅是一本介绍特定几何分支的教科书，更是一次思维的历练。它挑战了我们对“直线”、“平面”和“距离”的直觉认知，通过严谨的数学工具，为读者构建了一个清晰、优美且内在一致的非欧几何世界。无论您是数学专业的学生、物理学家，还是对几何学史和逻辑结构充满好奇的读者，本书都将提供一次令人耳目一新的学术探索之旅。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格是高度专业化的，这一点毋庸置疑，但其专业性中却透露着一种近乎艺术家的精确和克制。作者的措辞严谨到不容许任何歧义，每一个限定词的使用都经过了深思熟虑，确保了数学表达的无懈可击。比如，在处理双曲空间的等距变换群时，作者没有采用过于繁复的矩阵表示，而是侧重于其在模型间的映射特性，这种选择极大地简化了初学者的理解障碍，使得复杂的群论概念能够被直观地几何化。此外，书后附带的参考文献列表非常详尽且具有时代跨度，这表明作者对该领域的历史脉络有着极其深刻的把握，并鼓励读者在掌握了基础之后，能够进一步追溯到开创性的论文中去。总而言之，这本著作不是那种“快餐式”的科普读物，它要求读者投入时间、精力和专注力，但它所回报给你的，是对一个深刻而优美数学结构的完整理解，其价值是无可估量的，是数学工具箱中一件不可或缺的利器。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排体现了作者深厚的教学功底。它并非简单地按照欧几里得几何的套路来平行移植双曲空间的性质，而是从最基础的度量和测地线的概念入手，扎扎实实地构建起整个理论框架。特别值得称赞的是，作者在探讨洛巴切夫斯基几何与黎曼几何的联系时，处理得极为细腻。他们没有回避这些深层次的拓扑和微分几何的交叉点，但处理的方式却是极其审慎的，总是先用最基础的群论或变换的概念来铺垫，确保读者在不具备高等微分几何背景的情况下，也能大致领会其精髓。我特别喜欢其中关于“理想点”和“无穷远”的讨论章节，作者巧妙地利用了视角变换，使得原本模糊的极限概念变得清晰可见。这种“先易后难，层层递进”的编排逻辑，使得本书不仅适合作为专业课程的教材，也完全可以作为严肃的自学者进入高维几何世界的敲门砖。它的价值远超于其定价，是一种对心智的有效投资。

评分☆☆☆☆☆

说实话，当我第一次翻开这本书时，内心是有些忐忑的，毕竟“双曲几何”这个名字听起来就充满了高深的数学意味，生怕自己无法跟上作者的思维跳跃。然而，实际的阅读体验远远超出了我的预期。作者展现出了一种罕见的洞察力，他们似乎总能找到最恰当的比喻和最直观的例子来解释那些抽象的概念。比如，在讲解庞加莱圆盘模型时，他们引入的历史背景和实际应用案例，立刻让那些冷冰冰的数学符号“活”了起来。这本书的魅力在于它成功地在“严谨性”和“可接近性”之间找到了完美的平衡点。它没有牺牲任何必要的数学深度，但同时又通过大量的图示和精心构造的例题，确保了读者能够逐步建立起对曲面空间几何特性的直观理解。我发现自己不再是被动地接受知识，而是主动地去“探索”和“验证”书中的结论。这种由内而外的学习驱动力，才是衡量一本优秀数学专著的关键标准，而这本书无疑达到了这个标准。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程中，我最大的感受是作者对“几何直觉”培养的执着。很多关于双曲空间的描述，例如三角形内角和恒小于180度，或者两点间最短路径在不同模型下形态各异，这些初听上去非常反常识的结论，作者都通过大量细节丰富的辅助图形来加以说明。这些图示并非简单的装饰，它们是理论论证不可或缺的一部分，它们以一种非语言的方式，与文字叙事形成了强大的合力。我尤其欣赏作者在引言中对非欧几何历史意义的阐述，这使得读者理解了为何要研究这种“奇怪”的几何学，从而为后续的学习提供了强大的内在动机。这种对背景和意义的深度挖掘，使得本书超越了一般的参考手册，更像是一本哲学与数学交织的对话录。每次合上书本，我都能感觉到自己对空间本质的理解又深了一层，这是一种非常满足的智力体验，是那些仅专注于公式堆砌的书籍所无法给予的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计极具现代感，采用了大胆的几何图形组合，色彩搭配上偏向于冷静的蓝灰色调，这无疑为内容定下了一种严谨而又深邃的基调。内页的排版非常精良，字体的选择清晰易读，并且在关键的定义和定理部分使用了粗体或斜体进行强调，这对于我们这些初学者来说，极大地降低了阅读时的认知负荷。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的循序渐进的策略。他们似乎深知，在处理非欧几何这样抽象的领域时，清晰的逻辑链条是多么重要。书中没有过多地堆砌复杂的公式，而是将理论的构建过程可视化，虽然有些部分仍然需要反复琢磨，但整体的阅读体验是流畅且令人愉悦的。特别是那些贯穿始终的几何直觉培养的小插曲，它们虽然不是严格的证明，却像灯塔一样指引着我理解那些看似反直觉的定理背后的真正含义。总而言之，从装帧到内文的细致打磨，都表明了出版方对这本书质量的重视，它不仅仅是一本教材，更像是一件精心制作的工艺品，让人爱不释手，也愿意花费时间去深入探索。

评分☆☆☆☆☆