具体描述
The goal of this book is to introduce the reader to some of the most frequently used techniques in modern global geometry. Suited to the beginning graduate student willing to specialize in this very challenging field, the necessary prerequisite is a good knowledge of several variables calculus, linear algebra and point-set topology.
The book s guiding philosophy is, in the words of Newton, that in learning the sciences examples are of more use than precepts . We support all the new concepts by examples and, whenever possible, we tried to present several facets of the same issue.
While we present most of the local aspects of classical differential geometry, the book has a global and analytical bias . We develop many algebraic-topological techniques in the special context of smooth manifolds such as Poincaré duality, Thom isomorphism, intersection theory, characteristic classes and the Gauss Bonnet theorem.
We devoted quite a substantial part of the book to describing the analytic techniques which have played an increasingly important role during the past decades. Thus, the last part of the book discusses elliptic equations, including elliptic Lp and Hölder estimates, Fredholm theory, spectral theory, Hodge theory, and applications of these. The last chapter is an in-depth investigation of a very special, but fundamental class of elliptic operators, namely, the Dirac type operators.
The second edition has many new examples and exercises, and an entirely new chapter on classical integral geometry where we describe some mathematical gems which, undeservedly, seem to have disappeared from the contemporary mathematical limelight.
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目录信息
读后感
用户评价
这本著作简直是数学学习者的一盏明灯，它以一种近乎散文诗般的笔触，带领读者漫步在抽象概念的殿堂之中。初读之下，我便被其深邃的洞察力所折服。作者似乎拥有一种魔力，能将那些原本晦涩难懂的拓扑结构和微分几何的精妙之处，转化为清晰可见的几何图像。阅读过程更像是一场精心策划的探险，每翻过一页，都有新的风景映入眼帘，无论是黎曼几何的基础奠基，还是那些关于曲率和测地线的精妙讨论，都处理得如同烹饪顶级盛宴般细腻入微，丝毫不显堆砌。对于那些希望真正“理解”而非仅仅“记忆”公式的进阶学生而言，这本书无疑提供了绝佳的视角——它不是一本枯燥的定理汇编，而更像是一位睿智的导师，在你耳边低语着宇宙运行的几何法则。特别是对那些在传统教材中迷失方向的人来说，这本书提供的直觉引导，是无价之宝。
评分这本书最让我欣赏的一点，在于其对“联系”的强调。很多几何书籍将不同的理论模块分割得支离破碎，但在这里，作者巧妙地构建了一张宏大的网络图景。从向量场到张量分析，再到更高级的纤维丛理论，所有的元素都被置于一个统一的、内在自洽的几何框架之下进行审视。这使得读者在学习具体技术的同时，也能建立起一种全局性的、哲学层面的理解：为什么我们需要这些工具？它们在整个数学大厦中扮演着怎样的角色？这种宏观视野的培养，对于未来进行原创性研究至关重要。与其说这是一本教科书，不如说它是一部关于几何思维范式的深刻论述。它教会你的不仅仅是“如何计算”，更是“如何思考”几何问题，这种思维上的转变是潜移默化、却又影响深远的。
评分说实话，这本书的排版和装帧设计透露着一种古典而严肃的气质，似乎刻意与当代流行的那种色彩鲜艳、图文并茂的快餐式教材保持距离。它坚持了传统数学著作的风格——大量精炼的符号和无可辩驳的证明占据了主要篇幅。这对于追求效率的读者来说或许是一种阻碍，因为你很难指望通过快速浏览来掌握其中的奥妙。每一次接触，都必须投入完整的心神和时间。然而，正是这种“慢”和“深”，保证了知识传递的纯粹性。它拒绝向市场妥协，专注于向那些真正热爱纯数学美感的人群提供最纯粹的养分。如果你习惯了大量的插图辅助理解，这本书可能会让你感到有些“冷硬”，但请相信，当你穿透这层表象，触及到其核心时，你会发现其中蕴含的美丽，是任何图形都无法完全描绘的。
评分我对本书的唯一“保留意见”，或许是它在某些关键概念的引入上略显跳跃。作者似乎默认读者已经对某些现代数学的约定俗成有着深刻的背景知识，因此在处理一些从基础到高阶的过渡时，处理得有些过于精简，仿佛是“心有灵犀”地跳过了中间的铺垫。这无疑提升了全书的整体效率和深度，但也意味着初学者需要额外的自学材料来弥补这些“间隙”。换句话说，这本书更像是一部完善的“第二卷”或“第三卷”，而非任何领域的起点。它擅长将已知的知识点融会贯通，形成一个强大的理论体系，但对于那些需要一步一步被牵引着进入新世界的学习者来说，这趟旅程可能会略显崎岖。但总的来说，一旦跨越了这些早期的“门槛”，这本书所提供的深度和广度，是无可替代的宝藏。
评分我必须承认，这本书的阅读体验是极其挑剔和精英化的，它对读者的基础知识储备提出了近乎苛刻的要求。如果你的线性代数和基础拓扑知识不够扎实，那么你很可能会发现自己像是在试图攀登一座光滑、几乎没有把手的峭壁。然而，对于那些已经具备坚实基础，渴望触及现代微分几何前沿的学者来说，这本书的价值便显现出来了。它的论证结构极其严谨，逻辑链条如同瑞士精密机械般环环相扣，几乎不留任何解释上的“漏洞”。每一次深入阅读，都像是在解开一个精密的数学谜题，那种豁然开朗的快感，是其他任何教材难以比拟的。它的篇幅虽然可观，但其密度之高，足以让一个章节的内容抵得上别处数个章节的份量，需要反复研读、沉淀消化。这本书，更像是一部供奉在专业书架上的“圣经”，而非随手翻阅的消遣读物。
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