Advanced Topics In Scattering And Biomedical Engineering pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Charalambopoulos, A. (EDT)/ Fotiadis, D. I. (EDT)/ Polyzos, D. (EDT)

出品人:

頁數:389

译者:

出版時間:

價格:164

裝幀:

isbn號碼:9789812814845

叢書系列:

圖書標籤:

• 散射理論
• 生物醫學工程
• 光學
• 電磁學
• 生物光子學
• 醫學影像
• 組織光學
• 濛特卡洛方法
• 偏振
• 生物組織相互作用

結構與拓撲學：現代物理與數學的交匯點 本書深入探索瞭在當代科學研究中至關重要的兩個核心領域：抽象代數結構與拓撲空間理論。 我們聚焦於它們的內在聯係、彼此間的轉化機製，以及如何運用這些工具來解決從粒子物理到復雜係統建模中的核心難題。本書旨在為具備堅實微積分和綫性代數基礎的讀者提供一個深入的視角，去理解這些看似抽象的概念如何構成瞭現代科學的理論基石。 第一部分：群論與對稱性 本部分從基礎的群論概念開始，係統地構建瞭對代數結構更深刻的理解。我們不僅僅停留在定義和基本性質上，而是將重點放在瞭群在物理和幾何中的具體應用。 第一章：基礎代數結構的迴顧與擴展 本章重新審視瞭群、環和域的定義，引入瞭同態、同構、商群（或稱因子群）的概念。特彆強調瞭正規子群在構建新的、更簡單的群結構中的核心作用，這為後續的錶示論奠定瞭基礎。我們詳細探討瞭西洛定理（Sylow Theorems），並展示瞭如何利用這些定理來確定有限群的內部結構，例如，在晶體對稱性分析中識彆晶體群的類型。 第二章：群錶示論：從抽象到具體 我們將討論群錶示論，這是連接抽象群結構與可觀測物理量的關鍵橋梁。重點分析瞭酉錶示的性質，以及特徵標理論（Character Theory）在簡化計算和分類錶示方麵的強大威力。通過詳細的案例分析，讀者將理解 Schur 引理如何被用來證明錶示的不可約性，以及如何利用特徵標正交性關係來分解復雜的錶示。這部分內容對於量子力學中的角動量理論和光譜分析至關重要。 第三部分：拓撲學基礎：空間的形變不變性 拓撲學部分將空間的概念從度量（距離）的束縛中解放齣來，關注的是空間在連續變形下保持不變的性質。 第三章：拓撲空間的構建與連續性 本章定義瞭拓撲空間，並詳細闡述瞭開集、閉集、鄰域基的概念。我們將深入探討緊緻性（Compactness）和連通性（Connectedness）這兩個核心拓撲性質，並證明 Heine-Borel 定理在歐幾裏得空間中的推廣形式。連通性的討論將自然延伸到路徑連通性，為理解空間中“可以到達”的概念打下基礎。 第四章：連續映射與同胚 本章聚焦於連接不同拓撲空間的工具——連續映射。我們定義瞭同胚（Homeomorphism），作為拓撲學中“形狀相同”的嚴格數學定義。大量的例子，包括對流形（如球麵、圓環麵）的分析，將幫助讀者掌握如何通過拓撲不變量（如孔洞的數量）來區分在幾何上看似相似的空間。 第四章：同調論的初探：量化孔洞 為瞭超越直觀的分類，本章引入瞭代數拓撲學的最重要工具之一：同調論（Homology Theory）。我們首先用直觀的方式解釋瞭單純形復形（Simplicial Complexes）的概念，然後定義瞭鏈群、邊界算子，最終引齣同調群 $H_n(X)$。這些群的秩（即貝蒂數 $b_n$）精確地量化瞭空間中 $n$ 維“孔洞”的數量。我們將詳細計算二維空間（如圓環麵和球麵）的低階同調群，展示瞭代數工具在精確描述空間拓撲結構方麵的優勢。 第三部分：結構的交匯：流形與幾何結構 本部分將前兩部分的成果結閤起來，探討在具有特定代數或幾何結構的空間上如何進行分析和計算。 第五章：微分流形：光滑性的引入 我們將拓撲空間提升到微分流形（Differentiable Manifolds）的層次，即局部具有歐幾裏得空間的結構，並且允許進行微積分運算。本章詳細介紹瞭坐標圖集、過渡函數的概念，以及如何定義流形上的嚮量場和張量場。對切空間的構建是理解流形上微分計算的關鍵。 第六章：縴維叢與聯絡：內在幾何 本章探討瞭在流形上定義“方嚮”和“平行移動”的代數幾何結構——縴維叢（Fiber Bundles）。我們詳細分析瞭主叢和嚮量叢，並引入瞭聯絡（Connection）的概念，這允許我們在流形上進行“平行移動”，從而定義協變導數。這為黎曼幾何和規範場論中對麯率和場強張量的描述提供瞭數學框架。 第七章：代數拓撲在微分方程中的應用 最後，本章展示瞭抽象結構如何解決具體的分析問題。我們使用龐加萊引理的拓撲視角來理解保守嚮量場和精確微分形式之間的關係。通過研究流形上的拓撲性質（例如，流形上的嚮量場的零點數量），我們將布勞威爾不動點定理等拓撲結果應用於證明特定微分方程的解的存在性或唯一性。 總結 本書不是對現有物理模型或工程計算方法的簡單羅列，而是提供瞭一套深層的、跨學科的理論工具集。它建立在抽象代數對對稱性的嚴格捕捉，以及代數拓撲對空間形態的精確刻畫之上，為讀者在處理高維、非綫性、具有內在對稱性的復雜係統時，提供瞭強大的理論武器。本書的結構安排確保瞭讀者從基礎概念逐步深入到前沿研究中所需的數學成熟度。

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