Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Matrix Editions

作者:John H. Hubbard

出品人:

页数:818

译者:

出版时间:2009-9

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780971576650

丛书系列:

图书标签:

数学
mathematics
矢量分析
数学-微分形式
数学-ExteriorCalculus
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微积分
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向量分析
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具体描述

《数学的深邃世界：从几何之美到抽象之思》本书是一趟引人入胜的数学探索之旅，旨在揭示数学概念之间错综复杂而又和谐统一的联系。我们不局限于某一特定分支，而是力图展现数学思想的普遍性和延展性，带领读者领略其在不同领域的独特魅力。第一部分：空间的度量与变换——解析几何与线性代数的交织我们将从三维欧几里得空间出发，深入理解点、线、面之间的关系，以及它们在代数上的表达。向量的引入将为我们提供一种强大的工具，用于描述方向和大小，从而方便地进行空间位移、旋转和缩放等变换。我们会探讨向量空间的基、维度、线性无关性等核心概念，理解它们如何构成几何对象的骨架。线性方程组的求解将是线性代数中的一个重要环节。我们将学习如何通过矩阵运算来系统地解决多变量方程组，并理解其几何意义——方程组的解集对应于直线、平面或更高维度的交集。矩阵的特征值和特征向量将进一步揭示线性变换的本质，它们代表着在变换过程中保持方向不变的特定向量，对于理解动力系统、数据分析等领域至关重要。此外，我们还将触及曲面和曲线的参数化表示，以及如何利用微积分工具来研究它们的局部性质，例如曲率和法向量。这些概念的融合，将帮助我们构建起对几何形态的深刻认知，理解形状与代数结构之间的紧密联系。第二部分：变化的轨迹与率——微积分的动力学视角微积分是描述变化和运动的语言。我们将从最基本的导数概念入手，理解它如何代表一个函数在某一点的瞬时变化率。通过导数，我们可以分析函数的单调性、极值，以及曲线的切线斜率，这在物理学中的速度、加速度计算，经济学中的边际分析等方面有着广泛的应用。积分则被视为导数的逆运算，它能够计算累积效应，例如曲线下的面积、物体的体积、功的计算等。我们将探讨定积分和不定积分，以及它们之间的基本定理，理解微积分工具如何帮助我们量化和预测动态过程。多元微积分将把我们带入更高维度的空间。我们将学习如何计算多变量函数的偏导数，理解梯度向量所指示的函数增长最快的方向。散度（Divergence）和旋度（Curl）是描述向量场在空间中发散或旋转程度的重要工具，它们在流体力学、电磁学等领域扮演着关键角色。曲线积分和面积分则允许我们对沿着曲线或在一个区域上的向量场进行累积求和，为物理量的计算提供了严谨的框架。第三部分：抽象的结构与联系——代数的深度探索本书还将深入探索抽象代数中的一些基础概念。群论将带我们认识对称性的数学本质，理解一组元素在特定运算下形成的封闭结构。我们将看到群在几何、数论以及密码学等领域的广泛应用。环和域的概念将进一步扩展我们的视野，它们定义了具有更复杂运算规则的代数结构。理解这些抽象结构，有助于我们把握数学理论的统一性，并能将解决一个领域问题的思想方法迁移到其他领域。第四部分：几何测度和积分的统一——微分形式的优雅微分形式是连接几何、拓扑和分析的强大桥梁。我们将从一形式（如 $mathrm{d}x, mathrm{d}y$）开始，理解它们如何可以“测量”曲线上的变化。通过外积（Wedge Product），我们可以构造高阶形式，例如二形式（如 $mathrm{d}x wedge mathrm{d}y$），它们可以测量平面区域的“面积”或曲面上的“流量”。外微分（Exterior Derivative）是微分形式的核心运算，它类似于微积分中的导数，能够将低阶形式转化为高阶形式。我们将看到，外微分的概念统一了向量微积分中的散度、旋度和梯度。斯托克斯定理（Stokes' Theorem）将是微分形式的重头戏。它以一种极其简洁和普适的方式，将高维空间中的积分（如体积分）与边界上的积分（如面积分、线积分）联系起来。这一普适的定理，统一了微积分中的格林公式、高斯散度定理和斯托克斯定理，展现了数学理论的深刻统一性。本书的特色与目标：概念的内在联系：我们致力于揭示不同数学分支之间的深层联系，展示它们如何相互支持、相互渗透，共同构建起宏伟的数学大厦。几何直观与代数抽象的结合：在讲解抽象概念的同时，我们注重运用几何直观来帮助理解，并通过代数工具来精确描述。从基础到前沿的过渡：本书的结构设计旨在循序渐进，从读者熟悉的几何和微积分概念出发，逐步引导至更抽象和更具现代数学色彩的微分形式。培养数学思维：通过对数学概念的深入剖析和逻辑推演，我们希望培养读者严谨的数学思维能力，以及发现和解决问题的能力。无论您是数学专业的学生，还是对数学的深邃魅力充满好奇的爱好者，《数学的深邃世界》都将为您提供一次难忘的智力体验。我们相信，通过本书的学习，您将能够以全新的视角审视数学，发现其蕴含的无限美妙与力量。

作者简介

John Hamal Hubbard was born on October 6 or 7, 1945 (the actual date is unknown). He is an American mathematician who is currently a professor at Cornell University and the Université de Provence. He is well known for the mathematical contributions he made with Adrien Douady in the field of complex dynamics, including a study of the Mandelbrot set. One of their most important results is that the Mandelbrot set is connected.Hubbard graduated with a Doctorat d'État from Université de Paris-Sud in 1973 under the direction of Adrien Douady; his thesis was entitled Sur Les Sections Analytiques de La Courbe Universelle de Teichmüller and was published by the American Mathematical Society.

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

还有续集？Advanced Topics in Calculus by John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard (sequel to Vector Calclulus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach) 维基： Hubbard is a former student of Harvard University's infamous Math 55, where he...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题部分是另一个令人啼笑皆非的方面。它们要么过于简单，只是对前一页刚刚介绍的定义进行机械性的代换，完全没有考察理解的深度；要么就是突然冒出一些难度呈指数级增长的“挑战题”，这些题目需要的知识点跨度之大，远超出了当前章节所教授的范畴，迫使你不得不去查阅其他领域的专业文献。我感觉作者在设计习题时，完全没有顾及到学习曲线的平滑性。更糟糕的是，对于那些真正具有启发性的、能够加深理解的中间梯度的习题，书中却是寥寥无几。因此，在做完这些习题后，我非但没有感到自己对向量微积分的掌握更进一步，反而产生了一种强烈的“知识孤岛”感——我掌握了书中的特定解法，但我依然不知道如何将这些工具灵活地迁移到新的、略微不同的情境中去。这本教材在构建知识的连贯性和实用性方面，可以说是彻底失败了。

评分☆☆☆☆☆

如果说有什么优点，那就是这本书的理论深度无可置疑。作者对所有基本定理的证明都进行了极其详尽的论述，如果你是一个理论数学家，或者你的目标就是深入研究拓扑学和微分几何的根基，这本书或许能提供一个坚实的起点。然而，对于绝大多数应用数学或工程背景的学生而言，这种深度带来的副作用是巨大的：概念被淹没在了层层叠叠的逻辑推导之中，失去了其作为解决问题的“工具”的本质。我翻阅这本书时，经常会陷入对一个证明步骤的合理性的反复思考中，而不是关注该定理可以用来做什么。它没有成功地在“严格性”和“可及性”之间找到一个平衡点。最终，这本书在我书架上占据了一个“仅供查阅最底层证明细节”的位置，而不是一本我愿意随时拿起来翻阅以巩固知识或寻找解题思路的常备用书。它更像是一块精美的理论水晶，光彩夺目，却冰冷且难以握持。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学学习的一场灾难，我花了整整一个学期的时间，试图从这些密密麻麻的符号和抽象的定义中理出头绪，结果却是徒劳无功。作者似乎完全沉浸在自己构建的理论迷宫里，完全没有考虑到初学者或者即便是中级学习者在理解这些概念时所面临的巨大鸿沟。举例来说，关于格林公式和斯托克斯定理的阐述，如果不是我之前已经通过其他更直观的教材有所接触，单凭这里的解释，我恐怕连公式长什么样都记不住。更令人抓狂的是，例题的选择和解答过程，那些精心构造的“完美”案例，在实际应用中几乎找不到影子，它们更像是为了炫耀作者对抽象代数结构的掌握程度，而不是为了帮助我们建立起对向量场直观几何意义的认识。我感觉自己像是在阅读一份高度专业化的、缺乏实际应用指导的学术论文集，而不是一本旨在传授工具和方法的教科书。想要真正掌握这些工具，我最终不得不转向那些以清晰的几何解释和大量的应用案例著称的替代读物。这本书的唯一价值，或许是让我更深刻地理解了“清晰”与“晦涩”之间的巨大差异。

评分☆☆☆☆☆

我阅读这本《XXX》的经历，与其说是学习，不如说是一场与作者固执的数学哲学的角力。作者似乎坚信，只有通过最纯粹、最不加修饰的代数操作才能揭示数学的本质，因此，任何试图用直觉或可视化来软化这些概念的尝试都被刻意排除了。结果就是，当我们面对一个实际物理问题——比如求解一个复杂电磁场中的通量变化——时，我发现书中学到的所有工具都显得笨重且不适用。它提供了一种“正确但无用”的知识结构。我更倾向于那些能将抽象的微分算子与实际的物理场量联系起来的教材，它们会用大量的插图和现实世界的例子来阐明为什么我们需要柯氏定理，而不是仅仅罗列其在抽象代数结构中的地位。这本书更像是一部供研究人员回顾基础理论的参考手册，而不是一本供学生用来掌握和应用这些工具的教科书。我强烈建议任何希望通过这本书来解决工程或物理问题的读者，去寻找那些更注重应用映射和计算技巧的资源。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的排版和设计简直是上个世纪的产物。那种老旧的字体、密集的行距，以及几乎无法区分的图示，让阅读体验糟透了。我记得有一次尝试追踪一个复杂的流线积分的路径，由于图例标注极其模糊不清，我不得不在纸上反复涂画，试图还原作者想要表达的空间关系，但最终还是放弃了，因为那张图与其说是辅助理解，不如说是制造困惑。而且，书中对概念的引入缺乏足够的铺垫，就像是突然把你扔到了一条湍急的河流中间，期望你立刻就能学会游泳。比如，在介绍微分形式和楔积运算时，作者期望读者能瞬间跳跃到高维流形上的内积空间概念，这种跳跃感是极不友好的。对于那些期待通过系统、循序渐进的方式来构建起微积分和线性代数桥梁的读者来说，这本书提供的是一座断裂的、布满尖锐碎石的峡谷。我浪费了太多时间在试图“看懂”图和布局上，而不是真正去“理解”数学本身。

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