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出版者:McGraw-Hill Inc.,US

作者:Lars V. Ahlfors

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:1973-12

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780070006591

丛书系列:McGraw-Hill series in higher mathematics

图书标签:

数学
复分析
Conformal Field Theory
Conformal Geometry
Differential Geometry
Mathematical Physics
Complex Analysis
Representation Theory
Lie Groups
Symmetry
Invariant Theory
Partial Differential Equations

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具体描述

拓扑流形上的黎曼几何与几何分析导论作者：[虚构作者姓名] 出版社：[虚构出版社名称] 出版日期：[虚构年份] --- 内容简介本书旨在为高等数学、理论物理以及相关交叉学科的研究生和高级本科生提供一个深入而严谨的现代微分几何，特别是黎曼几何和几何分析领域的入门。全书结构清晰，逻辑连贯，力求在保持数学严格性的同时，也注重几何直觉的培养，以便读者能够掌握理解复杂几何结构所必需的分析工具。本书的核心目标是搭建起纯粹拓扑概念与可度量结构之间的桥梁。我们从基础的微分流形理论和张量分析出发，逐步引入黎曼几何的基石——黎曼度量。不同于侧重于经典微分几何或代数拓扑的教材，本书将重点放在局部几何结构（如联络、曲率）如何影响整体拓扑性质的分析性体现上。第一部分：流形、张量与基础微分结构本部分首先回顾并深化了微分流形的概念，强调了从光滑结构到向量场、微分形式和张量场的过渡。我们详细讨论了切空间、余切空间及其对偶空间的构造，并引入了光滑映射下张量场的拉回操作，为后续的度量引入做好了准备。随后，重点转向联络的概念。我们严格定义了仿射联络，并着重分析了协变导数。在这一框架下，我们详细考察了平行移动的几何意义，并推导出了曲率张量和挠率张量的定义。这部分内容不仅是形式上的，更在于揭示联络如何描述了流形上向量场变化的“非可积性”，为理解测地线方程的起源奠定了基础。我们特别关注了Levi-Civita联络的存在性和唯一性，并证明了它与黎曼度量之间的深刻联系。第二部分：黎曼度量与测地线第二部分的核心是黎曼度量的引入。我们讨论了黎曼流形的概念，并详细分析了黎曼度量如何诱导出长度、角度、体积以及距离的概念。本书在这一部分投入了大量篇幅讲解测地线。我们不仅推导了测地线方程，还从变分原理（即极小化长度泛函）的角度给出了另一种视角，从而将几何问题转化为一个二阶常微分方程组。这为后续的分析工作提供了坚实的几何基础。此外，我们深入探讨了指数映射的性质，它作为黎曼几何中局部分析工具的重要性不言而喻。通过指数映射，我们可以将局部结构（如法丛）与切空间联系起来，这是后续处理小邻域内几何问题的关键。第三部分：曲率的几何与拓扑效应曲率是黎曼几何的灵魂所在。本部分将系统地探讨各种曲率的计算与解释。我们详细考察了截面曲率的概念，并将其与经典欧几里得空间中的曲率（如高斯曲率）进行类比和推广。通过高斯绝妙定理（Gauss' Theorema Egregium）的现代表述，我们强调了黎曼曲率张量如何被其诱导的切平面上的二次型所完全决定，这是一个纯粹的内在属性。随后，我们引入了里奇曲率和数量曲率。这两种曲率是连接黎曼几何与偏微分方程（PDEs）的桥梁。我们讨论了里奇张量的代数性质，并初步探讨了它们在爱因斯坦方程（作为物理应用的铺垫）中的作用。为了深入理解曲率对拓扑的影响，我们引入了切向量场的演化和雅可比场（Jacobi Fields）。雅可比场是描述测地线族发散或汇聚程度的工具，它们直接与曲率的符号相关联。这部分内容帮助读者理解为什么正曲率会导致测地线的汇聚（如在球面上），负曲率会导致发散（如在双曲几何中）。第四部分：几何分析工具与谱理论的初步本部分将视角转向几何分析，即利用微分方程来研究几何对象的工具。我们介绍了拉普拉斯-贝特拉米算子 ($Delta_g$)，它是黎曼流形上最重要的椭圆型算子。我们详细分析了该算子的定义、性质（如在黎曼度量下的自伴随性），并讨论了其在度量下的指标记号选择问题。我们随后探讨了拉普拉斯-贝特拉米算子在紧致黎曼流形上的谱理论。谱（特征值）本身具有深刻的几何意义。我们讨论了谱图理论（即“能不能从谱重构流形”的问题），并介绍了韦伊不等式（Weitzenböck inequalities）等基础结果，展示了谱的第一特征值如何与流形的拓扑性质（如直径、体积、连通性）相关联。第五部分：黎曼曲面的特殊结构作为对前述理论的集中应用和具体实例，本书在最后部分聚焦于二维黎曼曲面。我们利用前述的理论，特别是高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），清晰地展示了曲率信息如何被整合为一个拓扑不变量（欧拉示性数）。我们详细推导了高斯-邦内定理的积分形式，并阐述了其在分类紧致曲面上的核心作用。最后，我们引入了调和微分形式的概念，并利用德拉姆上同调（仅作定性介绍，避免过多代数拓扑的深入）来连接微分形式的微分结构与全局拓扑特征，从而完成从局部微分几何到全局拓扑不变性的完美闭环。本书特色：严谨性与可读性的平衡：保证数学定义的完备性，同时配有丰富的几何插图和直觉解释。强调分析视角：将几何结构置于偏微分方程和泛函分析的背景下考察。覆盖现代研究前沿：包含了黎曼几何与几何分析交汇处的基础工具，为读者后续深入研究（如霍奇理论、辛几何或几何流）打下坚实基础。本书适合希望全面掌握现代黎曼几何分析框架的学者和学生。