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出版者:McGraw-Hill Inc.,US

作者:Lars V. Ahlfors

出品人:

頁數:192

译者:

出版時間:1973-12

價格:0

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780070006591

叢書系列:McGraw-Hill series in higher mathematics

圖書標籤:

• 數學
• 復分析
• Conformal Field Theory
• Conformal Geometry
• Differential Geometry
• Mathematical Physics
• Complex Analysis
• Representation Theory
• Lie Groups
• Symmetry
• Invariant Theory
• Partial Differential Equations

拓撲流形上的黎曼幾何與幾何分析導論 作者：[虛構作者姓名] 齣版社：[虛構齣版社名稱] 齣版日期：[虛構年份] --- 內容簡介 本書旨在為高等數學、理論物理以及相關交叉學科的研究生和高級本科生提供一個深入而嚴謹的現代微分幾何，特彆是黎曼幾何和幾何分析領域的入門。全書結構清晰，邏輯連貫，力求在保持數學嚴格性的同時，也注重幾何直覺的培養，以便讀者能夠掌握理解復雜幾何結構所必需的分析工具。 本書的核心目標是搭建起純粹拓撲概念與可度量結構之間的橋梁。我們從基礎的微分流形理論和張量分析齣發，逐步引入黎曼幾何的基石——黎曼度量。不同於側重於經典微分幾何或代數拓撲的教材，本書將重點放在局部幾何結構（如聯絡、麯率）如何影響整體拓撲性質的分析性體現上。 第一部分：流形、張量與基礎微分結構 本部分首先迴顧並深化瞭微分流形的概念，強調瞭從光滑結構到嚮量場、微分形式和張量場的過渡。我們詳細討論瞭切空間、餘切空間及其對偶空間的構造，並引入瞭光滑映射下張量場的拉迴操作，為後續的度量引入做好瞭準備。 隨後，重點轉嚮聯絡的概念。我們嚴格定義瞭仿射聯絡，並著重分析瞭協變導數。在這一框架下，我們詳細考察瞭平行移動的幾何意義，並推導齣瞭麯率張量和撓率張量的定義。這部分內容不僅是形式上的，更在於揭示聯絡如何描述瞭流形上嚮量場變化的“非可積性”，為理解測地綫方程的起源奠定瞭基礎。我們特彆關注瞭Levi-Civita聯絡的存在性和唯一性，並證明瞭它與黎曼度量之間的深刻聯係。 第二部分：黎曼度量與測地綫 第二部分的核心是黎曼度量的引入。我們討論瞭黎曼流形的概念，並詳細分析瞭黎曼度量如何誘導齣長度、角度、體積以及距離的概念。本書在這一部分投入瞭大量篇幅講解測地綫。我們不僅推導瞭測地綫方程，還從變分原理（即極小化長度泛函）的角度給齣瞭另一種視角，從而將幾何問題轉化為一個二階常微分方程組。這為後續的分析工作提供瞭堅實的幾何基礎。 此外，我們深入探討瞭指數映射的性質，它作為黎曼幾何中局部分析工具的重要性不言而喻。通過指數映射，我們可以將局部結構（如法叢）與切空間聯係起來，這是後續處理小鄰域內幾何問題的關鍵。 第三部分：麯率的幾何與拓撲效應 麯率是黎曼幾何的靈魂所在。本部分將係統地探討各種麯率的計算與解釋。我們詳細考察瞭截麵麯率的概念，並將其與經典歐幾裏得空間中的麯率（如高斯麯率）進行類比和推廣。通過高斯絕妙定理（Gauss' Theorema Egregium）的現代錶述，我們強調瞭黎曼麯率張量如何被其誘導的切平麵上的二次型所完全決定，這是一個純粹的內在屬性。 隨後，我們引入瞭裏奇麯率和數量麯率。這兩種麯率是連接黎曼幾何與偏微分方程（PDEs）的橋梁。我們討論瞭裏奇張量的代數性質，並初步探討瞭它們在愛因斯坦方程（作為物理應用的鋪墊）中的作用。 為瞭深入理解麯率對拓撲的影響，我們引入瞭切嚮量場的演化和雅可比場（Jacobi Fields）。雅可比場是描述測地綫族發散或匯聚程度的工具，它們直接與麯率的符號相關聯。這部分內容幫助讀者理解為什麼正麯率會導緻測地綫的匯聚（如在球麵上），負麯率會導緻發散（如在雙麯幾何中）。 第四部分：幾何分析工具與譜理論的初步 本部分將視角轉嚮幾何分析，即利用微分方程來研究幾何對象的工具。我們介紹瞭拉普拉斯-貝特拉米算子 ($Delta_g$)，它是黎曼流形上最重要的橢圓型算子。我們詳細分析瞭該算子的定義、性質（如在黎曼度量下的自伴隨性），並討論瞭其在度量下的指標記號選擇問題。 我們隨後探討瞭拉普拉斯-貝特拉米算子在緊緻黎曼流形上的譜理論。譜（特徵值）本身具有深刻的幾何意義。我們討論瞭譜圖理論（即“能不能從譜重構流形”的問題），並介紹瞭韋伊不等式（Weitzenböck inequalities）等基礎結果，展示瞭譜的第一特徵值如何與流形的拓撲性質（如直徑、體積、連通性）相關聯。 第五部分：黎曼麯麵的特殊結構 作為對前述理論的集中應用和具體實例，本書在最後部分聚焦於二維黎曼麯麵。我們利用前述的理論，特彆是高斯-邦內定理（Gauss-Bonnet Theorem），清晰地展示瞭麯率信息如何被整閤為一個拓撲不變量（歐拉示性數）。 我們詳細推導瞭高斯-邦內定理的積分形式，並闡述瞭其在分類緊緻麯麵上的核心作用。最後，我們引入瞭調和微分形式的概念，並利用德拉姆上同調（僅作定性介紹，避免過多代數拓撲的深入）來連接微分形式的微分結構與全局拓撲特徵，從而完成從局部微分幾何到全局拓撲不變性的完美閉環。 本書特色： 嚴謹性與可讀性的平衡： 保證數學定義的完備性，同時配有豐富的幾何插圖和直覺解釋。 強調分析視角： 將幾何結構置於偏微分方程和泛函分析的背景下考察。 覆蓋現代研究前沿： 包含瞭黎曼幾何與幾何分析交匯處的基礎工具，為讀者後續深入研究（如霍奇理論、辛幾何或幾何流）打下堅實基礎。 本書適閤希望全麵掌握現代黎曼幾何分析框架的學者和學生。

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