具体描述
This author's modern approach is intended primarily for honors undergraduates or undergraduates with a good math background taking a mathematical statistics or statistical inference course. The author takes a finite-dimensional functional modeling viewpoint (in contrast to the conventional parametric approach) to strengthen the connection between statistical theory and statistical methodology.
概率论与数理统计：理论基石与实际应用 作者： [此处填写作者姓名] 出版社： [此处填写出版社名称] 出版年份： [此处填写出版年份] --- 内容概述： 本书旨在为读者提供一套全面、深入且富有洞察力的概率论与数理统计的知识体系。它不仅涵盖了学科的核心理论框架，更注重将抽象的数学概念与现实世界中的实际问题紧密结合。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严密性的同时，增强读者的直观理解和应用能力。 第一部分：概率论基础——不确定性的数学语言 本部分是全书的理论基石，旨在为读者建立坚实的概率思维。 第一章：随机事件与概率的基本概念 本章从日常生活中常见的随机现象引入，定义了样本空间、随机事件及其运算。重点阐述了概率的几种基本定义（古典概型、几何概型、信息熵与概率的联系），并详细讨论了概率的基本公理体系。我们深入探讨了条件概率的概念及其重要性，特别是贝叶斯公式，这为后续的统计推断奠定了基础。通过大量的实例分析，读者将学会如何准确地建模不确定性。 第二章：随机变量与概率分布 本章将随机事件的概念提升到随机变量的层面。我们区分了离散型和连续型随机变量，并详细介绍了各自的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。重点剖析了几种核心的单变量分布： 离散分布： 伯努利试验、二项分布、泊松分布（作为大数次小概率事件的极限模型）、几何分布和负二项分布。 连续分布： 均匀分布、指数分布（在可靠性工程和排队论中的应用）、正态分布（及其在中心极限定理中的核心地位）和伽马分布。 此外，本章还介绍了分布函数的性质、期望、方差和矩的概念，帮助读者量化随机变量的集中趋势和离散程度。 第三章：多维随机变量与联合分布 现实问题往往涉及多个相互关联的随机现象。本章扩展到多维情况，讨论了联合概率分布、边缘分布和条件分布。关键内容包括： 随机变量的独立性： 如何判断和利用变量之间的相互独立性。 协方差与相关系数： 量化两个随机变量之间的线性关系。 多元正态分布： 详细分析了二维和多元正态分布的性质，包括其密度函数、轮廓线以及其在多元统计分析中的基石作用。 随机变量函数的分布： 介绍了求和、最大值、最小值等函数的分布推导方法，如雅可比变换法和特征函数法。 第四章：随机过程的初步探讨 本章对静态的随机变量概念进行动态扩展，引入了时间或空间维度上的随机演化过程。我们侧重于讲解： 马尔可夫链： 定义和基本性质，包括一步转移概率矩阵、n步转移概率、平稳分布的计算及其在状态空间分析中的应用。 泊松过程： 作为事件发生模型的经典案例，探讨其增量独立性和平稳性，及其与指数分布的关系。 第二部分：数理统计学——从数据中获取知识 本部分将概率论的理论工具应用于数据分析，重点关注如何从有限的样本信息推断总体的特征。 第五章：数理统计基础与抽样分布 本章是统计推断的桥梁。首先回顾了统计学的基本术语：总体、样本、参数与统计量。核心内容是理解样本统计量（如样本均值、样本方差）的分布，即抽样分布： 大数定律与中心极限定理（CLT）： 再次强调CLT在统计推断中的决定性作用，它是许多检验和估计方法成立的理论基础。 常见统计量的分布： 详细推导和分析卡方分布（$chi^2$）、Student's t 分布和 F 分布的来源、性质及其在假设检验中的应用场景。 第六章：统计估计——参数的量化 本章聚焦于如何利用样本数据对未知总体参数进行估计。 点估计： 深入讲解估计量的优良性质（无偏性、有效性、一致性）。重点介绍估计方法的构造：矩估计法（MOM）和极大似然估计法（MLE）。对MLE的性质（渐近正态性、渐近有效性）进行理论剖析。 区间估计： 介绍置信区间的概念，并针对均值、方差和比例，利用不同的抽样分布构造精确或近似的置信区间。讨论置信水平的实际意义。 第七章：假设检验——基于证据的决策 假设检验是统计推断的核心。本章提供了严谨的框架来验证关于总体的预设陈述。 基本框架： 阐述原假设与备择假设的设定、检验统计量的选择、显著性水平的确定（I型错误）以及P值（P-value）的解释（II型错误）。 经典检验方法： 均值检验： 单样本t检验、双样本t检验（等方差与不等方差的检验）。 方差检验： 对总体方差的单样本检验（$chi^2$检验）。 比例检验： 大样本Z检验。 拟合优度检验： 卡方拟合优度检验，检验数据是否符合某一特定分布。 独立性检验： 列联表的卡方独立性检验。 检验功效与最优性： 讨论如何选择最优检验，并分析检验功效（Power）的概念。 第八章：方差分析与线性回归模型 本部分将统计推断应用于更复杂的模型结构，特别是对多个因子或变量之间关系的分析。 方差分析（ANOVA）： 阐述单因素和双因素ANOVA的原理，重点在于如何通过F检验将总变异分解为组间变异和组内变异，从而比较多个总体的均值是否存在显著差异。 简单线性回归： 建立一元线性模型 $Y = alpha + eta X + epsilon$，使用最小二乘法估计回归系数。深入分析模型的假设（残差的正态性、独立性与同方差性），并讨论系数的推断（t检验）和模型的整体拟合优度（$R^2$）。 相关与回归的区别： 明确区分相关系数与回归系数的含义和用途。 附录： 包含常用概率分布的数学性质、随机变量变换的详细推导、以及统计学中必要的数学工具回顾。 --- 本书特色： 1. 理论与实践的平衡： 每一章的理论讲解后都紧接着详细的数学推导和贴近工程、金融、生物科学的案例分析，确保读者既能理解“为什么”，又能掌握“怎么做”。 2. 严谨的数学基础： 严格按照测度论的概率论基础构建知识体系，同时对关键定理（如中心极限定理）提供直观的几何解释。 3. 现代统计视角： 介绍了极大似然估计等现代统计学中的核心工具，而非仅停留在古典方法。 4. 清晰的章节衔接： 概率论部分为统计推断提供了坚实的逻辑支撑，使得读者在学习统计时能追根溯源，理解方法的适用边界。 适用对象： 本书适合于学习概率论与数理统计的理工科、经济管理类专业本科生及研究生，以及需要掌握扎实统计学基础以进行数据分析或科学研究的专业人士。对初学者友好，但其深度足以满足高阶学习的需求。
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