实分析

出版者:机械工业出版社

作者:罗伊登(Royden.H.L.)

页数:505

出版时间:2010-8

价格:49.00元

isbn号码:9787111313052

丛书系列:经典原版书库

具体描述

《实分析(英文版·第4版)》是实分析课程的优秀教材，被国外众多著名大学（如斯坦福大学、哈佛大学等）采用。全书分为三部分：第一部分为实变函数论.介绍一元实变函数的勒贝格测度和勒贝格积分:第二部分为抽象空间。介绍拓扑空间、度量空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间；第三部分为一般测度与积分理论。介绍一般度量空间上的积分.以及拓扑、代数和动态结构的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了富有启发性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。

目录信息

Contents
Preface iii
Lebesgue Integration for Functions of Single Real Variable
Preliminaries on Sets, Mappings, and Relations
UnionsandIntersectionsofSets
Equivalence Relations, the Axiom of Choice, and Zorn’s Lemma .
The Real Numbers: Sets, Sequences, and Functions
1.1 The Field, Positivity, and Completeness Axioms 7
1.2 TheNaturalandRationalNumbers 11
1.3 CountableandUncountableSets . 13
1.4 Open Sets, Closed Sets, and Borel Sets of Real Numbers 16
1.5 SequencesofRealNumbers . 20
1.6 Continuous Real-Valued Functions of a Real Variable . 25
Lebesgue Measure 29
2.1 Introduction . 29
2.2 LebesgueOuterMeasure 31
2.3 The σ-AlgebraofLebesgueMeasurableSets . 34
2.4 Outer and Inner Approximation of Lebesgue Measurable Sets 40
2.5 Countable Additivity, Continuity, and the Borel-Cantelli Lemma . 43
2.6 NonmeasurableSets 47
.2.7 The Cantor Set and the Cantor-Lebesgue Function 49
Lebesgue Measurable Functions 54
3.1 Sums,Products,andCompositions 54
3.2 Sequential Pointwise Limits and Simple Approximation 60
3.3 Littlewood’s Three Principles, Egoroff’s Theorem, and Lusin’s Theorem 64
Lebesgue Integration 68
4.1 TheRiemannIntegral 68
4.2 The Lebesgue Integral of a Bounded Measurable Function over a Set of
FiniteMeasure 71
4.3 The Lebesgue Integral of a Measurable Nonnegative Function 79
4.4 TheGeneralLebesgueIntegral 85
4.5 Countable Additivity and Continuity of Integration 90
4.6 Uniform Integrability: The Vitali Convergence Theorem 92
Lebesgue Integration: Further Topics 97
5.1 Uniform Integrability and Tightness: A General Vitali Convergence Theorem 97
5.2 ConvergenceinMeasure 99
5.3 Characterizations of Riemann and Lebesgue Integrability 102
Differentiation and Integration 107
6.1 ContinuityofMonotoneFunctions 108
6.2 Differentiability of Monotone Functions: Lebesgue’s Theorem 109
6.3 Functions of Bounded Variation: Jordan’s Theorem 116
6.4 AbsolutelyContinuousFunctions . 119
6.5 Integrating Derivatives: Differentiating Indefinite Integrals . 124
6.6 ConvexFunctions . 130
7The Lp Spaces: Completeness and Approximation 135
7.1 NormedLinearSpaces . 135
7.2 The Inequalities of Young, H older, and Minkowski 139¨
7.3 Lp IsComplete:TheRiesz-FischerTheorem 144
7.4 ApproximationandSeparability 150
8The Lp Spaces: Duality and Weak Convergence 155
8.1 The Riesz Representation for the Dual of Lp, 1 155
8.2 Weak Sequential Convergence in Lp 162
8.3 WeakSequentialCompactness 171
8.4 TheMinimizationofConvexFunctionals174
II Abstract Spaces: Metric, Topological, Banach, and Hilbert Spaces 181
Metric Spaces: General Properties 183
9.1 ExamplesofMetricSpaces 183
9.2 Open Sets, Closed Sets, and Convergent Sequences 187
9.3 ContinuousMappingsBetweenMetricSpaces 190
9.4 CompleteMetricSpaces 193
9.5 CompactMetricSpaces . 197
9.6 SeparableMetricSpaces 204
10 Metric Spaces: Three Fundamental Theorems 206
10.1TheArzela-AscoliTheorem `. 206
10.2TheBaireCategoryTheorem 211
10.3TheBanachContractionPrinciple. 215
11 Topological Spaces: General Properties 222
11.1 OpenSets,ClosedSets,Bases,andSubbases. 222
11.2TheSeparationProperties 227
11.3CountabilityandSeparability 228
11.4 Continuous Mappings Between Topological Spaces 230
11.5CompactTopologicalSpaces. 233
11.6ConnectedTopologicalSpaces 237
12 Topological Spaces: Three Fundamental Theorems 239
12.1 Urysohn’s Lemma and the Tietze Extension Theorem . 239
12.2TheTychonoffProductTheorem . 244
12.3TheStone-WeierstrassTheorem 247
13 Continuous Linear Operators Between Banach Spaces 253
13.1NormedLinearSpaces . 253
13.2LinearOperators . 256
13.3 Compactness Lost: Infinite Dimensional Normed Linear Spaces 259
13.4 TheOpenMappingandClosedGraphTheorems . 263
13.5TheUniformBoundednessPrinciple 268
14 Duality for Normed Linear Spaces 271
14.1 Linear Functionals, Bounded Linear Functionals, and Weak Topologies 271
14.2TheHahn-BanachTheorem . 277
14.3 Reflexive Banach Spaces and Weak Sequential Convergence 282
14.4 LocallyConvexTopologicalVectorSpaces 286
14.5 The Separation of Convex Sets and Mazur’s Theorem . 290
14.6TheKrein-MilmanTheorem. 295
15 Compactness Regained: The Weak Topology 298
15.1 Alaoglu’sExtensionofHelley’sTheorem . 298
15.2 Reflexivity and Weak Compactness: Kakutani’s Theorem 300
15.3 Compactness and Weak Sequential Compactness: The Eberlein-ˇ
Smulian Theorem 302
15.4MetrizabilityofWeakTopologies . 305
16 Continuous Linear Operators on Hilbert Spaces 308
16.1TheInnerProductandOrthogonality 309
16.2 The Dual Space and Weak Sequential Convergence 313
16.3 Bessel’sInequalityandOrthonormalBases . 316
16.4 AdjointsandSymmetryforLinearOperators 319
16.5CompactOperators 324
16.6TheHilbert-SchmidtTheorem 326
16.7 The Riesz-Schauder Theorem: Characterization of Fredholm Operators 329
III Measure and Integration: General Theory 335
17 General Measure Spaces: Their Properties and Construction 337
17.1MeasuresandMeasurableSets 337
17.2 Signed Measures: The Hahn and Jordan Decompositions 342
17.3 The Carath′346
eodory Measure Induced by an Outer Measure
17.4TheConstructionofOuterMeasures 349
17.5 The Carath′eodory-Hahn Theorem: The Extension of a Premeasure to a
Measure 352
18 Integration Over General Measure Spaces 359
18.1MeasurableFunctions 359
18.2 Integration of Nonnegative Measurable Functions 365
18.3 Integration of General Measurable Functions 372
18.4TheRadon-NikodymTheorem 381
18.5 The Nikodym Metric Space: The Vitali–Hahn–Saks Theorem 388
19 General Lp Spaces: Completeness, Duality, and Weak Convergence 394
19.1 The Completeness of LpX,μ1 ≤≤. 394
19.2 The Riesz Representation Theorem for the Dual of LpX,μ1 ≤≤ 399
19.3 The Kantorovitch Representation Theorem for the Dual of L∞X,μ. 404
19.4 Weak Sequential Compactness in LpX,μ1 [p[ 1. 407
19.5 Weak Sequential Compactness in L1X,μ: The Dunford-Pettis Theorem 409
20 The Construction of Particular Measures 414
20.1 Product Measures: The Theorems of Fubini and Tonelli 414
20.2 Lebesgue Measure on Euclidean Space Rn 424
20.3 Cumulative Distribution Functions and Borel Measures on 437
20.4 Caratheodory Outer Measures and Hausdorff Measures on a Metric Space ′. 441
21 Measure and Topology 446
21.1LocallyCompactTopologicalSpaces 447
21.2 SeparatingSetsandExtendingFunctions452
21.3TheConstructionofRadonMeasures 454
21.4 The Representation of Positive Linear Functionals on CcX:The Riesz-
MarkovTheorem . 457
21.5 The Riesz Representation Theorem for the Dual of CX 462
21.6 RegularityPropertiesofBaireMeasures 470
22 Invariant Measures 477
22.1 Topological Groups: The General Linear Group . 477
22.2Kakutani’sFixedPointTheorem . 480
22.3 Invariant Borel Measures on Compact Groups: von Neumann’s Theorem 485
22.4 Measure Preserving Transformations and Ergodicity: The Bogoliubov-Krilov
Theorem 488
Bibliography 495
Index 497
· · · · · · (收起)

读后感

这本书是我在看Stanford的博资考题目时看到的参考书目，当时我还不太了解国外研究生标准的实分析课程内容，这本书让我明白国外的实分析通常包含如下几部分：Lebesgue积分（国内常称为实变函数）、点集拓扑和初等的泛函分析（主要研究Banach空间和Hilbert空间的基本内容）、测度...  

Royden这本书名气太大，但可能不是最好的教材。Folland的书现在很流行，Terence Tao在UCLA给graduate开课就是这本教材，但是……Folland的书需要一定数学基础才能看，很多细节需要补充。

从2015年5月到2016年3月，这本书我断断续续看了大概6个月的时间。 刚开始看的时候，困难重重，许多地方，自己都感到挺费解的。 就这样，看到第三遍的时候，我开始做后面的习题，并且结合着A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration，2ed和 real analysis, 4th ...  

Royden这本书名气太大，但可能不是最好的教材。Folland的书现在很流行，Terence Tao在UCLA给graduate开课就是这本教材，但是……Folland的书需要一定数学基础才能看，很多细节需要补充。

用户评价

这本书的封面设计就给我一种沉静而深邃的感觉，深蓝色调搭配银色的书名“实分析”，仿佛在暗示着书中蕴含着数学世界里那些严谨、抽象却又极其重要的基石。拿到手里，它的分量感也恰到好处，纸质厚实，翻阅起来手感舒适，这让我对即将开始的阅读之旅充满期待。我一直对数学的逻辑之美着迷，尤其是在接触到微积分之后，就对那些看似“无限”的概念产生了浓厚的兴趣，而“实分析”这个词本身就充满了引力，让人联想到对实数集及其性质的深入探讨，这对于理解高等数学的各个分支至关重要。我希望这本书能够帮助我构建起扎实的实数理论基础，理解那些支撑着连续性、极限、导数和积分等概念的严密证明，从而更清晰地把握数学的脉络。我尤其期待书中能够详细阐述开集、闭集、紧集等拓扑概念在实数线上的具体表现，以及这些概念如何影响函数的连续性和一致收敛性，这些都是我在学习微积分时常常觉得不够透彻的地方。

我一直对数学证明的严谨性感到敬畏，而这本书正是这样一本能够让你领略数学证明之美的典范。书中对每一个重要的定理，都给出了详细、完整的证明过程，并且在证明的关键步骤都做了细致的解释，甚至还会探讨不同的证明思路。这让我不再是“看懂”证明，而是真正“理解”证明的逻辑链条。例如，在关于连续函数的紧集上一致连续性的证明中，书中一步一步地构建了开区间覆盖，并巧妙地利用了实数集的完备性，最终导出了结论，整个过程严谨而优美。我深刻体会到，数学的强大之处在于其逻辑的无懈可击。通过反复研读这些证明，我不仅掌握了具体的知识点，更重要的是培养了严密的逻辑思维能力，这对于解决生活中遇到的各种问题都非常有帮助。此外，书中还包含了一些经典的数学难题，并提供了详细的解题思路和步骤，这对于提升我的解题能力非常有启发。

我特别欣赏书中对“一致收敛”这一概念的深入探讨。这不仅仅是简单的逐点收敛的推广，而是涉及到函数序列在整个定义域上的“同步”逼近。书中通过一个精心设计的例子，展示了逐点收敛不一定能保持极限函数的连续性，而一致收敛则可以避免这个问题，这让我深刻理解了“一致性”的重要性。这种对细节的关注，以及对概念之间微妙差别的清晰阐释，正是这本书最吸引我的地方。我还在书中看到了关于一致收敛与逐点收敛在交换极限和积分顺序上的应用，这对我理解更高级的分析工具起到了至关重要的作用。我发现，很多看似复杂的数学结果，追根溯源，都离不开对这些基本概念的深刻理解。

这本书在对“函数”这一核心概念的阐述上，展现了令人惊叹的深度和广度。它不仅仅局限于我们熟悉的代数函数，而是从集合论的角度出发，将函数定义为一种映射关系，并在此基础上探讨了单射、满射、复合函数等基本性质。我特别欣赏书中对函数的“连续性”和“可微性”的详细讨论，不仅给出了严格的定义，还深入分析了它们之间的关系，以及在不同条件下这些性质是如何传递或保持的。书中还涉及了反函数定理、隐函数定理等重要成果，这些都极大地拓展了我对函数行为的理解。我还在书中发现了关于特殊函数，如指数函数、对数函数、三角函数等的分析，它们是如何通过实数分析的理论来严格定义的，这让我对这些熟悉的函数有了全新的认识。

这本书的章节编排给我留下了深刻的印象，清晰地划分了从最基础的实数公理体系到更加抽象的度量空间理论，每一步都衔接得恰到好处，循序渐进，这对于我这样非专业背景但对数学充满热情的读者来说，无疑是最大的福音。我特别欣赏书中在引入新概念时，都会辅以大量的例子和几何直观的解释，这使得那些抽象的定义不再是冰冷的文字，而是有了鲜活的生命力。例如，在讲解“完备性”时，书中通过对Cauchy序列的详细分析，并结合数轴上点与点的对应关系，让我对实数集无“空隙”的特性有了前所未有的深刻理解。我一直觉得，数学的学习不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解其背后的逻辑和思想。这本书在这方面做得非常出色，它鼓励读者去思考“为什么”，而不是仅仅记住“是什么”。我还在书中看到了关于实数序列的收敛性判别法的丰富内容，以及函数序列和级数的一致收敛性讨论，这对于我之后学习函数逼近和傅里叶分析等领域打下了坚实的基础。

这本书的语言风格非常独特，既有数学的严谨和精确，又不失流畅和易懂。作者在阐述复杂的概念时，善于运用类比和比喻，将抽象的数学原理形象化，让我能够更容易地理解。例如，在讲解“测度”这个概念时，书中通过类比“长度”和“面积”，让我初步理解了测度作为一种广义的“量”的概念，能够衡量集合的大小。这种“讲人话”的数学风格，对于我这样的非数学专业人士来说，是非常难得的。我发现，这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，它耐心地引导我一步步深入理解数学的奥秘。我尤其欣赏书中在引用重要定理时，都会提及该定理的提出者和历史背景，这让我感受到数学发展的厚重感和人文关怀。

这本书的参考价值非常高，它的内容严谨而不失全面，对于想要深入理解数学分析理论的读者来说，无疑是一本不可多得的宝藏。我发现，这本书不仅能够帮助我理解微积分和高等数学中的基本概念，还能为我后续学习更高级的数学分支，如泛函分析、微分几何等奠定坚实的基础。书中对一些数学史上的重要人物和成果的提及，也让我在学习数学的同时，感受到数学发展的脉络和智慧的传承。我非常喜欢书中在介绍每一个重要定理时，都会简要介绍其证明的难点和意义，这让我能够更好地把握知识的学习重点。这本书的编排结构也非常合理，每个章节都设计有小结和回顾，方便我巩固学习内容。

这本书的内容非常丰富，涵盖了实分析的几乎所有核心概念。从最基础的集合论概念，到实数系的构造，再到序列、级数、函数及其极限、连续性、导数、积分等，几乎每一个主题都进行了深入的剖析。我尤其喜欢书中关于黎曼积分理论的详细介绍，它不仅解释了黎曼和的构造过程，还探讨了可积函数的充要条件，以及积分的性质。我一直觉得，理解积分的本质，是理解微积分的关键。这本书在这方面做得非常出色，它让我对“面积”和“累积”的概念有了更深的认识。同时，书中还涉及了单调函数、有界变差函数等重要概念，并阐述了它们与积分的关系，这对于我理解函数性质的深度和广度提供了新的视角。我还在书中发现了关于不连续点的分类讨论，这让我认识到函数行为的多样性和复杂性。

阅读这本书的过程，就像是在一个精心构建的数学迷宫中探索，每一步都充满了挑战和惊喜。作者的文字功底非常扎实，他能够用最精炼的语言表达最深刻的数学思想。我发现，这本书让我对“严谨”这个词有了全新的理解，它不仅仅是正确的，更是滴水不漏、逻辑自洽的。我特别享受那种在理解一个复杂证明后，大脑豁然开朗的感觉。这本书也让我认识到，数学的学习是一个持续不断积累和思考的过程，没有捷径可走，但只要坚持下去，就能收获知识的果实。我还在书中看到了对一些数学分析中“怪异”现象的讨论，比如处处连续但处处不可微的函数，这让我对数学世界的多样性和不可思议性有了更深的体会。

这本书的习题设计非常具有代表性，涵盖了从基础概念的巩固到高难度定理的证明，形式多样，难度递进。我尤其喜欢书中那些能够引发思考的开放性问题，它们并没有标准答案，而是鼓励读者去探索不同的解题思路和方法。我尝试着去解决其中的一些习题，通过解答的过程，我不仅巩固了书中的知识点，更重要的是，我学会了如何将理论知识应用于实际问题。有时候，一道习题可能会困扰我几个小时，但当我最终找到解题思路时，那种成就感是无与伦比的。我发现，通过主动解决问题，我才能真正将数学知识内化为自己的能力。书中还提供了部分习题的解答或提示，这为我提供了重要的参考和指导。

其实这本书作为实分析的入门书还是很扎实的。

教材，要是有时间做做作业就好了，老师竟然把它作为大二非数学系教材，好恐怖，幸好我是旁听而已

读了对应的翻译版。 优点：重视直观和易学度。 缺点：翻译太差（但我并不想看英文版），多了一些暂时没什么用的定理引理，捆绑泛函分析（那可是半本书那么多）。

越看越觉得是好书...喜欢上美国数学教材了都...不过只学了一小部分- -

教材，要是有时间做做作业就好了，老师竟然把它作为大二非数学系教材，好恐怖，幸好我是旁听而已