前言
第1章 預備知識
1.1 Banach空間上的微分學
1.1.1 Fréchet導數
1.1.2 Gâteaux導數
1.2 無條件局部極值
1.2.1 無條件極值存在的必要條件
1.2.2 無條件極值的存在性
1.3 應用
習題1
第2章 二階綫性橢圓算子的特徵值問題
2.1 引言
2.2 主特徵值及其對應的特徵函數
2.3 主特徵值、最大值原理與正的嚴格上解之間的關係
2.4 散度型二階綫性橢圓算子的特徵值
2.4.1 特徵值的極值性質
2.4.2 特徵值的無界性和特徵函數係的完備性
2.4.3 特徵值的變化
2.4.4 主特徵值與譜半徑之間的關係
2.5 非完全耦閤的二階綫性橢圓型方程組的特徵值問題
2.6 另一類特徵值問題
2.6.1 在Ω上p(x)≥0的情形
2.6.2 在Ω上p(x) 變號的情形
2.7 特徵值的完備性定理的應用
習題2
第3章 上下解方法
3.1 完全非綫性方程古典解的比較原理
3.2 一個一般形式的比較原理和正解的唯一性
3.3 方程式的上下解方法
3.3.1 解的存在性
3.3.2 單調迭代序列
3.4 應用I——幾個例子
3.5 應用II——非退化的Logistic方程
3.6 應用III——退化的Logistic方程
3.6.1 正解的存在性和漸近性
3.6.2 攝動與解的模式(pattern)
3.7 弱耦閤方程組的上下解方法
3.7.1 解的存在性
3.7.2 單調迭代序列
3.8 弱耦閤方程組的例子
3.9 強耦閤方程組的上下解方法
3.10 弱上下解方法
3.10.1 半綫性方程
3.10.2 擬綫性方程
3.11 無界區域上的上下解方法
習題3
第4章 拓撲度和分支理論
4.1 有限維空間上的拓撲度(Brouwer度)
4.1.1 定義
4.1.2 基本性質
4.1.3 應用
4.2 Banach空間上的拓撲度(Leray-Schauder度)
4.2.1 Schauder不動點定理
4.2.2 Leray-Schauder度
4.3 隱函數定理
4.4 孤立解處的度——不動點指數
4.5 分支理論
4.5.1 Lyapunov-Schmidt過程
4.5.2 Morse引理
4.5.3 Morse引理的應用
4.5.4 Krasnoselski定理
4.5.5 Rabinowitz定理
4.6 穩定性
4.7 橢圓型方程組解的穩定性與不動點指數的關係
4.8 應用
4.9 錐上的拓撲度理論
4.9.1 抽象理論
4.9.2 應用
習題4
第5章 方程組的齊次Dirichlet邊值問題
5.1 一個帶有修正的Holling II型響應函數的捕食模型
5.1.1 先驗估計
5.1.2 不動點指數的計算
5.1.3 共存解的存在性
5.1.4 共存解的穩定性與多解性
5.1.5 共存解的分支、穩定性與多解性
5.2 一個帶有Holling II型響應函數的捕食模型
5.2.1 共存解的存在性
5.2.2 共存解的漸近性質和估計
5.2.3 共存解的多解性、精確個數與穩定性
習題5
第6章 方程組的齊次Neumann邊值問題
6.1 常數解處的指數計算
6.2 一個具有約定機製的三種群模型
6.2.1 U的全局漸近穩定性——常微分問題(6.2.1)
6.2.2 U的全局漸近穩定性——偏微分問題(6.2.4)
6.2.3 交錯擴散問題的正平衡解的估計
6.2.4 特徵多項式的分析和特徵根的估計
6.2.5 非常數正解的大範圍存在性
6.3 一個具有年齡結構和交錯擴散的捕食模型
6.3.1 先驗估計
6.3.2 非常數正解的不存在性
6.3.3 非常數正解的存在性
習題6
第7章 解耦方法
7.1 最大值原理與上下解方法
7.2 變分方法
習題7
第8章 Nehari流形及其應用
8.1 Nehari流形
8.2 應用
8.2.1 λ<λ1(a)的情況
8.2.2 λ>λ1(a)的情況
8.2.3 不存在性
習題8
第9章 p-Laplace方程
9.1 解的正則性、強最大值原理與Harnack不等式
9.2 特徵值問題
9.3 主特徵值與最大值原理之間的關係
9.4 一個邊值問題解的漸近性質
9.5 上下解方法
9.6 應用
9.6.1 一個方程式的邊值問題
9.6.2 一個非綫性特徵值問題
9.7 p-Laplace方程組
習題9
附錄A Sobolev空間的若乾結論
A.1 幾個常用不等式
A.2空間Lp(Ω) 和Wk,p(Ω) 的幾個重要性質
A.3 Sobolev不等式
A.4空間Wk,p(Ω) 中的嵌入
A.5空間Wk,p(Ω) 中的緊嵌入
附錄B 二階綫性橢圓型方程的若乾結論
B.1 極值原理
B.1.1 古典解的極值原理
B.1.2 弱解的極值原理
B.2 Schauder 理論和Lp理論
B.2.1 Schauder估計
B.2.2 Lp估計
B.2.3 解的存在性和估計
參考文獻
索引
《現代數學基礎叢書》已齣版書目
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