Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Marcel Berger

页数:217

出版时间:1999-12-30

价格:$38.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821820520

丛书系列:University Lecture Series

具体描述

During its first hundred years, Riemannian geometry enjoyed steady, but undistinguished growth as a field of mathematics. In the last fifty years of the twentieth century, however, it has exploded with activity. Berger marks the start of this period with Rauch’s pioneering paper of 1951, which contains the first real pinching theorem and an amazing leap in the depth of the connection between geometry and topology. Since then, the field has become so rich that it is almost impossible for the uninitiated to find their way through it. Textbooks on the subject invariably must choose a particular approach, thus narrowing the path. In this book, Berger provides a truly remarkable survey of the main developments in Riemannian geometry in the last fifty years.

One of the most powerful features of Riemannian manifolds is that they have invariants of (at least) three different kinds. There are the geometric invariants: topology, the metric, various notions of curvature, and relationships among these. There are analytic invariants: eigenvalues of the Laplacian, wave equations, Schrödinger equations. There are the invariants that come from Hamiltonian mechanics: geodesic flow, ergodic properties, periodic geodesics. Finally, there are important results relating different types of invariants. To keep the size of this survey manageable, Berger focuses on five areas of Riemannian geometry: Curvature and topology; the construction of and the classification of space forms; distinguished metrics, especially Einstein metrics; eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian; the study of periodic geodesics and the geodesic flow. Other topics are treated in less detail in a separate section.

While Berger’s survey is not intended for the complete beginner (one should already be familiar with notions of curvature and geodesics), he provides a detailed map to the major developments of Riemannian geometry from 1950 to 1999. Important threads are highlighted, with brief descriptions of the results that make up that thread. This supremely scholarly account is remarkable for its careful citations and voluminous bibliography. If you wish to learn about the results that have defined Riemannian geometry in the last half century, start with this book.

用户评价

我发现此书最吸引我的地方，在于其对知识“社会性”的揭示。黎曼几何的进步并非孤立的灵感爆发，而是高度依赖于学术共同体的交流与巩固。书中对一些重要的国际研讨会和机构合作项目的描述，清晰地展示了理论成果是如何在同行评审、互相挑战中被提炼和升华的。它不仅记录了“发现了什么”，更关注“发现是如何被接受和内化的”。尤其是对某些在当时看来极为激进的理论（比如与拓扑学深度融合的趋势）是如何逐步被主流学界接纳的过程，描写得尤为生动。这种对数学实践背后人类交往和认可机制的关注，使得这部作品具有了一种近乎人类学研究的深度。它让读者明白，即便是最抽象的数学真理，其诞生和发展也深深植根于特定的历史和社会土壤之中，充满了时代的烙印。

这本专注于战后黎曼几何演变的巨著，其叙事结构极为巧妙，它并非简单地按时间顺序排列发现，而是以“问题”为驱动力构建章节。每一部分都围绕着一个核心的、悬而未决的几何难题展开，然后详细阐述不同阵营的数学家们是如何从各自的角度发起进攻的。这种“问题导向”的写作风格，极大地增强了阅读的代入感，让读者仿佛也置身于那个需要解决难题的年代。书中对于“度量”概念在不同几何体系中的意义演变，有着非常细腻的笔触，从早期的欧几里得刚性视角，过渡到后来的动态与概率视角，每一步转变都解释得逻辑严密、引人入胜。它成功地将那些晦涩难懂的微分几何定理，转化为了一场关于“什么是空间”的哲学对话，这使得这本书的价值超越了纯粹的数学文献范畴，具备了更广泛的学术吸引力。

读完这本关于二十世纪后半叶黎曼几何的文献，我最大的感受是它成功地将一门高度抽象的学科，描绘成了一场充满人性色彩的智力竞赛。作者的文笔极其凝练，但又充满了对数学家个体贡献的深切敬意。书中对于某位先驱者在面临“不可能”的猜想时，那种近乎孤注一掷的研究态度的描摹，简直可以称得上是微型传记艺术。它没有直接堆砌公式，而是通过对重要会议记录、私人信函的引用，重现了那些决定几何学走向的关键时刻。尤其令我震撼的是，它对“时空几何”与纯粹数学几何之间张力的处理。在战后全球学术氛围日渐紧绷的背景下，几何学家们如何在这种宏大叙事与微观结构之间寻求平衡，书中的论述提供了极其深刻的洞察。这不仅仅是一本数学史，它更像是一部关于人类理性如何试图捕捉宇宙本质的史诗，充满了对未知领域探索的激情与敬畏。

这本书在处理不同学派之间的学术路线分歧时，展现出了极高的成熟度和公正性。例如，它细致地比较了基于分析方法的几何学家与基于拓扑学思维的几何学家在处理“直径”概念时的视角差异，这种对比极为犀利且富有启发性。作者似乎深谙，真正的突破往往诞生于方法论的冲突之中。我尤其欣赏其对“全局性”与“局部性”这一对矛盾的持续追问，这贯穿了整个下半叶黎曼几何的发展主线。书中对某些关键反例的讨论，与其说是数学证明的复述，不如说是对现有理论边界的一次次勇敢试探，每一次试探都拓展了人们对“空间”可能性的想象。对于读者而言，这本书提供的并非一套现成的知识体系，而是一张地图，标明了通往不同数学真理分支的路径，并指出了哪些路径在当时是死胡同，哪些则通往了新的大陆。

这本厚重的著作，聚焦于二十世纪下半叶黎曼几何的演进历程，其广度令人印象深刻。作者并没有沉溺于纯粹的数学细节，而是以一种历史的视角，梳理了这一时期几何学核心概念的萌芽、发展与碰撞。我特别欣赏它对“结构”一词的反复探究，不仅仅是微分流形的拓扑结构，更是数学思想如何在不同的研究群体间建立连接，以及物理学、乃至哲学思潮对几何学想象力的塑造。书中对某些关键定理的引用，不仅展示了其技术层面的精妙，更重要的是，它们被置于当时的研究背景下，让人得以窥见数学家们在面对“弯曲空间”这一终极难题时，思维的跳跃与挣扎。阅读过程中，我仿佛能听到那些在普林斯顿、哥廷根或巴黎的咖啡馆里，思想激烈交锋的声音，那些关于测地线、曲率张量的深入探讨，是如何一步步构建起我们今天所理解的现代黎曼几何的宏伟殿堂。这本书的叙事节奏把握得恰到好处，既有对基础概念的温和引入，也有对复杂理论的深入剖析，使得即便是对某一特定分支了解不深的读者，也能沿着清晰的脉络，领略这门学科的壮丽风景。