Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations

作者:Edixhoven, Bas; Couveignes, Jean-Marc;

页数:438

出版时间:2011-5

价格:$ 79.10

isbn号码:9780691142029

具体描述

Modular forms are tremendously important in various areas of mathematics, from number theory and algebraic geometry to combinatorics and lattices. Their Fourier coefficients, with Ramanujan's tau-function as a typical example, have deep arithmetic significance. Prior to this book, the fastest known algorithms for computing these Fourier coefficients took exponential time, except in some special cases. The case of elliptic curves (Schoof's algorithm) was at the birth of elliptic curve cryptography around 1985. This book gives an algorithm for computing coefficients of modular forms of level one in polynomial time. For example, Ramanujan's tau of a prime number p can be computed in time bounded by a fixed power of the logarithm of p. Such fast computation of Fourier coefficients is itself based on the main result of the book: the computation, in polynomial time, of Galois representations over finite fields attached to modular forms by the Langlands program. Because these Galois representations typically have a nonsolvable image, this result is a major step forward from explicit class field theory, and it could be described as the start of the explicit Langlands program. The computation of the Galois representations uses their realization, following Shimura and Deligne, in the torsion subgroup of Jacobian varieties of modular curves. The main challenge is then to perform the necessary computations in time polynomial in the dimension of these highly nonlinear algebraic varieties. Exact computations involving systems of polynomial equations in many variables take exponential time. This is avoided by numerical approximations with a precision that suffices to derive exact results from them. Bounds for the required precision - in other words, bounds for the height of the rational numbers that describe the Galois representation to be computed - are obtained from Arakelov theory. Two types of approximations are treated: one using complex uniformization and another one using geometry over finite fields. The book begins with a concise and concrete introduction that makes its accessible to readers without an extensive background in arithmetic geometry. And the book includes a chapter that describes actual computations.

用户评价

我是一名对理论物理，特别是数论物理和低维拓扑领域有濃厚興趣的博士生。在我的研究方向中，模形式和伽罗瓦表示扮演着至关重要的角色，它们出现在诸如弦理论、共形场论以及代数几何与拓扑的交叉领域。然而，尽管我理解了这些概念在理论框架中的重要性，但对于它们的“计算方面”却了解得相对有限。我非常期待《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书能为我揭示这一点。我好奇书中会如何介绍计算模形式的方法，比如如何通过算法生成特定的模形式，如何利用这些计算工具来验证某些猜想，或者如何分析模形式的性质，比如它的L函数。同时，我对伽罗瓦表示的计算方面也充满好奇，例如，如何从数域的自同构群出发计算其表示，如何利用计算方法来确定一个伽罗瓦表示的某些不变量，或者它们在算术几何中的计算应用。我相信，这本书会提供一些关于如何使用计算机工具（如Maple, Mathematica, SageMath等）来处理模形式和伽罗瓦表示问题的具体指导，这将极大地帮助我将在理论层面学到的知识转化为实际的研究工具。例如，通过书中介绍的计算方法，我或许可以尝试去计算某些特定模形式与数域表示之间的联系，或者在研究低维拓扑不变量时，找到与模形式相关的计算公式。这本书对我而言，不仅是拓展理论知识的途径，更是提升我解决实际研究问题的能力的关键。

作为一名对理论计算机科学和数论交叉领域感兴趣的研究生，我一直在寻找能够连接这两个领域的书籍。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书的书名立即引起了我的注意。在理论计算机科学中，我们常常关注算法的效率和可计算性，而数论中的模形式和伽罗瓦表示则是一些非常深刻且具有挑战性的数学结构。我非常好奇书中会如何阐述“计算”在理解和应用模形式与伽罗瓦表示中的核心作用。是会介绍一些新颖高效的算法来处理这些数学对象，还是会讨论如何利用计算工具来发现新的数学性质或猜想？例如，我希望了解是否存在用于生成特定模形式的算法，或者用于分析模形式的L函数及其零点的计算方法。同时，对于伽罗瓦表示，我希望能学习到如何从代数结构中计算出它们的表示，以及如何利用计算来确定表示的某些不变性，例如其局部和全局性质。这本书对我来说，不仅是一次学习数学新知识的机会，更是一次了解数学问题是如何通过计算来解决的宝贵经验。我特别关注书中是否会涉及计算代数几何在模形式和伽罗瓦表示研究中的应用，以及这些计算方法在密码学、编码理论或其他应用领域是否有潜在的用途。

我是一名致力于研究数论和代数几何交叉领域的博士后研究员，尤其关注那些能够提供深刻见解的计算方法。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书的书名直接点明了其核心关注点，这对我来说具有极大的吸引力。我一直认为，理解像模形式和伽罗瓦表示这样复杂的数学对象，离不开强大的计算工具和算法。我非常想了解书中会如何深入探讨这些数学概念的计算方面。例如，我好奇是否会介绍一些用于计算模形式的显式公式，或者如何利用数值方法来逼近模形式的某些性质。对于伽罗瓦表示，我也希望能学习到如何通过计算来确定它们的分类、构造，以及它们与数域的算术性质之间的关联。这本书对我而言，不仅仅是拓展理论知识的工具，更像是提供了一个“算法工具箱”，让我能够更有效地探索数论中的未解之谜。我特别关注书中是否会涵盖一些关于模形式的L函数计算，以及这些计算如何与伽罗瓦表示的算术性质联系起来。此外，我也对书中可能提及的计算在解决模形式理论中的某些猜想，例如关于模形式的周期积分或它们的模方程方面的应用，充满了期待。

我是一名数学系的教授，研究领域集中在数论和代数几何的交汇处。我在研究中经常会遇到模形式和伽罗瓦表示，并且深知其在现代数学中的重要性。然而，我一直在寻找能够系统性地介绍这些概念的“计算方面”的书籍，因为我发现，将抽象理论转化为具体的计算过程，对于深化理解和发现新的数学结果至关重要。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书的书名，尤其是“计算方面”的强调，正是我所期盼的。我非常希望这本书能够提供关于如何有效地计算模形式及其相关函数的算法，例如如何计算模形式的L函数、周期积分，以及如何利用计算工具来验证模形式理论中的猜想。对于伽罗瓦表示，我也期待书中能够深入探讨其计算方法，比如如何从代数群和数域的结构中计算出表示，以及如何利用计算来分析表示的局部和全局性质。这本书对我而言，不仅是理论知识的补充，更是研究方法上的重要启发。我特别希望书中能有一些关于计算方法在解决数论问题中的实际应用，例如与椭圆曲线、安培猜想或格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理相关的计算。我相信，这本书能够为我以及我的学生们提供一个宝贵的资源，帮助我们在数论研究中取得新的进展。

我是一名对数学史和理论数学交叉领域有浓厚兴趣的学者。在学习数学的过程中，我常常会被那些能够将抽象概念与实际计算联系起来的工作所吸引。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书的书名，特别是“计算方面”这几个字，让我产生了浓厚的兴趣。我一直在思考，在模形式和伽罗瓦表示这样高度抽象的数学领域，计算是如何扮演着至关重要的角色的。这本书会如何阐述计算在理解这些概念中的作用呢？是会介绍一些早期数学家如何通过计算来发现和发展这些理论，还是会聚焦于现代计算方法和软件在这一领域的应用？我非常希望能够从书中了解到一些关于计算模形式的具体方法，比如如何利用算法来枚举或识别特定的模形式，以及这些计算如何帮助我们理解模形式与数论函数之间的关系。同时，对于伽罗瓦表示，我也好奇计算是如何帮助我们揭示数域的内在结构，或者如何通过计算来判断一个伽罗瓦表示的某些算术性质。这本书对我来说，不仅仅是一本关于前沿数学的著作，更是一次深入了解数学发展过程，特别是计算在其中所起作用的绝佳机会。

作为一名在代数几何领域摸索前进的研究生，我对连接不同数学分支的桥梁性工作尤为关注。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书的书名本身就充满了吸引力，它暗示了将数论中的核心概念——模形式和伽罗瓦表示——置于一个计算的框架下进行考察。在我的学习过程中，我接触到了一些数论与代数几何交叉的成果，而模形式和伽罗瓦表示无疑是其中最为深刻和富有影响力的部分。我特别好奇这本书会如何处理“计算”这一维度。是会介绍一些经典的算法，还是会探索现代计算代数在这一领域的发展？例如，如何有效地计算模形式的Fourier展开，如何利用计算工具来构造和分析伽罗瓦表示，以及这些计算方法如何在解决具体的模形式理论问题或代数簇的性质分析中发挥作用。我对书中可能涉及的计算技术，如计算数论的算法、符号计算系统（如SageMath, Magma）的应用，以及如何将抽象的理论转化为可操作的计算步骤，充满了浓厚的兴趣。我相信，通过理解这些计算方面，我能够更深入地掌握模形式和伽罗瓦表示的本质，并有可能将这些知识应用到我自己的研究中，例如在研究椭圆曲线、代数曲面或数域的算术性质时，也许能找到新的计算视角和解决问题的思路。这本书在我眼中，更像是一本“实用手册”，它提供了将理论应用于实践的工具箱，让我能够用更具象化的方式来理解那些看似“遥不可及”的数学对象。

我是一名对理论物理特别是弦理论领域充满好奇的数学系学生，一直渴望将抽象的数学概念与具体的物理模型联系起来。偶然间，我听闻了《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书，尽管我目前对“模形式”和“伽罗瓦表示”这两个概念还比较陌生，但“计算方面”这个词语激起了我极大的兴趣。我一直坚信，数学的美丽不仅在于其内在的逻辑严谨性，更在于它能够被有效地计算和应用于解决现实问题。这本书似乎提供了一个桥梁，让我能够窥探那些在数论和代数几何中闪耀着璀璨光芒的概念，并且了解它们是如何通过计算手段展现其生命的。我非常期待通过阅读这本书，能够理解模形式在计算中的角色，例如它们如何通过算法被生成、分析和分类，以及它们在密码学、编码理论等领域可能存在的应用。同时，我也好奇伽罗瓦表示的计算方法，它们是如何揭示数域的结构，以及如何在代数几何问题中扮演关键角色。我对书中可能涉及的算法、软件实现（如果有的话）以及具体的计算实例充满了期待，希望能借此机会，将我已有的数学知识（如群论、域论）与这些新兴的数学工具相结合，为我未来的学术研究打下坚实的基础。这本书在我看来，不仅仅是一本学术专著，更像是一扇通往深邃数学世界的窗户，而“计算”则是打开这扇窗户的钥匙，让我能够更直观、更深入地理解这些抽象而强大的数学工具。我希望能从这本书中学习到如何将理论转化为可执行的步骤，如何利用计算机的力量来探索数学的边界，这对我而言，是一种令人兴奋的挑战和学习过程。

我是一名数学系高年级本科生，目前正在探索数论和代数几何的交叉领域。我对模形式和伽罗瓦表示的抽象性和美感深感着迷，但也意识到理解它们的理论需要坚实的计算基础。当我看到《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书时，我立刻被它的主题所吸引。我一直认为，将抽象的数学概念通过计算来具象化，是一种非常有效的学习方式。我非常希望通过阅读这本书，能够了解到一些关于如何“手工”或者借助计算工具来处理模形式的例子，比如如何计算模形式的取值，如何识别不同类型的模形式，以及它们之间可能存在的计算关系。同时，我也对伽罗瓦表示的计算过程感到好奇，例如，如何从一个数域的伽罗瓦群出发，计算出其表示的迹或行列式，以及这些计算结果如何帮助我们理解数域的结构。这本书在我看来，提供了一个绝佳的机会，让我能够将课堂上学到的理论知识与实际的计算操作联系起来。我希望能从中学习到一些实用的算法和技巧，以便将来在我的研究或学习中能够更有效地运用模形式和伽罗瓦表示。我特别期待书中能有一些具体的例子，能够展示这些计算在解决某些数论问题时是如何发挥作用的，比如与整数方程、二次域或高次域相关的计算。

我是一名物理系的研究生，目前的研究方向涉及弦理论和凝聚态物理中的某些数学结构。在学习过程中，我逐渐认识到数论，特别是模形式和伽罗瓦表示，在描述一些物理现象时扮演着不可或缺的角色。然而，我对这些数学概念的“计算方面”知之甚少，而这正是我在将理论应用于物理模型时所面临的一个挑战。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书的书名，尤其是“计算方面”这个强调，对我来说非常有启发性。我非常期待能够从书中了解到，如何利用计算工具来处理模形式和伽罗瓦表示，例如，如何通过算法来生成某些具有物理意义的模形式，或者如何计算与物理模型相关的伽罗瓦表示的某些不变量。我相信，书中提供的计算方法和算法，能够帮助我更直观地理解这些抽象的数学概念，并将它们更有效地应用于我所研究的物理问题。我特别希望书中能有一些关于模形式在物理模型中应用的具体例子，例如它们在共形场论、黑洞熵计算或拓扑量子场论中的作用，以及这些应用背后所涉及的计算技术。

我是一名数学系三年级的学生，正在为我的毕业论文寻找一个既有深度又不乏计算实践性的研究方向。在浏览数学文献时，我注意到“模形式”和“伽罗瓦表示”这两个词汇频繁出现于许多高水平的研究论文中，但它们所涉及的抽象概念一度让我望而却步。偶然间，我发现了《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书，它的标题立刻吸引了我。我一直相信，理论的掌握离不开实践的检验，而“计算方面”恰恰是连接理论与实践的桥梁。《Computational Aspects of Modular Forms and Galois Representations》这本书似乎为我提供了一个绝佳的途径，让我能够以一种更易于理解和操作的方式来学习模形式和伽罗瓦表示。我非常好奇书中会介绍哪些具体的计算方法，例如如何利用算法来生成模形式，或者如何计算伽罗瓦表示的迹和特征。我也希望能从中学习到一些计算机软件（如Mathematica或SageMath）在这些计算中的应用，这将大大增强我进行实际研究的能力。这本书对我来说，不仅仅是一本教科书，更像是一本“实践指南”，它将带领我一步步地走进数论的深奥世界，并教会我如何利用计算的力量来探索和理解这些复杂的数学对象，这对于我未来的学术生涯规划具有重要意义。