First Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 An Introduction to Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Direction Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Separable Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Linear First Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5 Substitutions; Homogeneous and Bernoulli Equations . . . . . . . . 59
1.6 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.7 Existence and Uniqueness Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1 Definitions, Basic Formulas, and Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2 Partial Fractions: A Recursive Method for Linear Terms . . . . . . 107
2.3 Partial Fractions: A Recursive Method for Irreducible
Quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4 Laplace Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.5 Exponential Polynomials and Laplace Transform
Correspondences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.7 Laplace Inversion involving Irreducible Quadratics** . . . . . . . . . 157
2.8 Table of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.9 Table of Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3 Second Order Constant Coefficient Linear Differential
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.1 The Laplace Transform Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2 Consequences of Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.3 Linear Homogeneous Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.4 The Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.5 The Incomplete Partial Fraction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.6 Spring Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 Contents
4 Second Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1 The Existence and Uniqueness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.2 The Homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3 The Cauchy-Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.4 Laplace Transform Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.5 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.6 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5 Laplace Transform II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.1 Calculus of Discontinuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.2 The Heaviside class ℋ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.3 Laplace Transform Method for f(t) ∈ ℋ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.4 The Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.5 Impulse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.6 Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.7 Undamped Motion with Periodic Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.8 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.1 Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2 Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3 Invertible Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
6.4 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7 Linear Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.1 Linear Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.2 The Laplace Transform Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.3 The Matrix Exponential and its Computation . . . . . . . . . . . . . . . 390
A APPENDIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
A.1 The Laplace Transform is Injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
A.2 The Linear Independence of ℬq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
B Selected Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
C Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
· · · · · · (收起)