具体描述
《大学文科高等数学》以微积分、线性代数、概率论和数理统计为主要内容，采用“模块式”结构分两册出版。两册内容既相互独立，又互相衔接、逐层递进，以便不同专业根据各自的需要和学时的多少灵活地选取或给合。第一册包括初等微积分、线性代数简介、概率统计初步等三部分内容；第二册包括一元微积分、线性代数、初等概率论和一元统计分析初步等四部分内容。此外，每章的最后一节是历史注记，介绍一些与该章内容有关的数学史知识；章末有习题。
图书简介：文科数学的基石与拓展 书名：《大学文科高等数学：基础与应用进阶》 内容概述： 本书旨在为接受文科教育的学生提供一套系统、深入且贴合其专业需求的数学基础知识与应用能力训练。我们深知，文科学生并非要成为数学家，但扎实的数学思维和分析工具，却是理解现代经济、社会科学乃至人文领域复杂模型和数据背后的关键所在。本书摒弃了传统理工科高等数学中过于偏重物理模型和繁复计算的冗余内容，而将重点聚焦于那些能直接服务于文科专业学习、研究与未来职业发展的核心数学分支。 本书共分为五大部分，层层递进，构建起一个完整且实用的文科数学知识体系。 --- 第一部分：微积分的经济学与社会学视角（函数、极限与导数重述） 本部分着力于重塑读者对函数概念的理解，强调其在描述变量关系中的核心作用。我们从现实世界的问题出发，如人口增长模型、消费者效用函数、成本最小化等，引入极限的概念，而非仅仅停留在形式化的 $epsilon-delta$ 语言上。 核心内容详述： 1. 现实情境中的函数建模： 详细探讨线性、指数、对数函数在经济学（如供需曲线、复利计算）和社会学（如扩散模型）中的应用。 2. 导数的经济学意义深化： 导数不再仅仅是“斜率”，而是被赋予了明确的经济学含义——边际量。详述边际成本、边际收益、边际消费倾向等概念的数学表达与分析方法。如何利用导数判断一个经济系统的稳定性或最优状态。 3. 优化问题的设定与求解： 重点讲解一阶与二阶条件在求解最大收益（或最小成本）问题中的应用。引入拉格朗日乘数法，但侧重于解释其在资源约束条件下的决策意义，而非纯粹的代数推导。 4. 积分在累积效应中的体现： 积分被定位为总量的计算工具。例如，从边际消费倾向函数推导总消费额，或从瞬时变化率推导出总的社会福利累积。 --- 第二部分：多元分析与决策空间（多变量函数与偏导数） 文科领域的许多问题涉及多个相互影响的变量。本部分将基础微积分扩展到多维空间，为理解复杂系统和进行多因素分析打下基础。 核心内容详述： 1. 偏导数的解释与应用： 深入剖析偏导数在多变量函数中的含义——保持其他因素不变时，单个因素对总结果的影响。这直接对应于经济学中的“Ceteris Paribus”（其他条件不变）假设。例如，分析收入和价格对需求量的共同影响。 2. 多元函数的极值问题： 探讨在多个约束条件下寻找最优解（如消费者在预算约束下的效用最大化）。重点解析无约束优化和带约束优化（二次规划的简单形式）的几何与代数求解。 3. 方向导数与梯度向量： 梯度向量被解释为函数增长最快的方向，这在理解市场敏感度或社会趋势的最优路径时至关重要。通过方向导数，评估某一特定方向上的变化率。 4. 定性分析工具： 引入海森矩阵（Hessian Matrix）的概念，用以判断多变量函数的极值点是最大值、最小值还是鞍点，从而对复杂模型的结果进行稳健性检验。 --- 第三部分：线性代数：结构、关系与数据组织（矩阵代数基础） 线性代数是现代数据分析和结构化思维的骨干。本部分聚焦于矩阵作为数据结构、变换工具以及线性方程组求解器的角色。 核心内容详述： 1. 矩阵的意义： 将矩阵视为数据的规范化表示（如输入-输出表、关联矩阵）和线性变换（如市场份额的转移、人口结构的演变）。 2. 线性方程组与现实世界： 重点讲解如何用高斯消元法或矩阵求逆求解大规模、多重关联的方程组，例如投入-产出模型的平衡计算，或社会网络中信息的传播路径。 3. 行列式与系统解的存在性： 行列式被用作判断一个线性系统是否存在唯一解的关键判据，对应于经济模型中是否存在稳定的均衡状态。 4. 向量空间与基（概念引入）： 介绍向量空间的基本概念，理解“维度”在分析问题时的限制与自由度。 --- 第四部分：概率论与数理统计：不确定性下的决策（基础概率与推断） 对于处理社会现象和市场波动的文科领域而言，理解不确定性是至关重要的。本部分提供必要的概率论和统计推断工具。 核心内容详述： 1. 概率的基本概念与随机变量： 重点关注离散型（如伯努利试验、二项分布）和连续型（如正态分布）随机变量在描述抽样结果、风险评估中的应用。 2. 期望与方差的直观理解： 期望代表长期平均结果，方差代表风险或波动性。通过实际案例（如保险定价、投资组合风险评估）来强化对这两个核心概念的理解。 3. 统计推断的入门： 引入大数定律和中心极限定理，解释为何可以通过有限样本来推断总体特征。 4. 假设检验的基本框架： 介绍如何设定零假设和备择假设，并理解P值在拒绝或接受初步结论时的作用，这直接服务于社会调查结果的科学解读。 --- 第五部分：微积分的进阶视角：微分方程导论（动态系统分析） 本部分作为全书的拓展和深化，引入微分方程的概念，用以描述随时间或其他参数变化的动态过程。 核心内容详述： 1. 一阶微分方程： 聚焦于可分离变量的微分方程，用于模拟简单的增长、衰减或市场供需的动态调整过程。例如，简单的流行病模型（未深入S-I-R模型，但触及其思想）。 2. 平衡点分析： 识别一个动态系统在长期内可能趋向的稳定状态或周期性行为。 3. 斜率场（Slope Field）的可视化理解： 强调在没有解析解的情况下，如何通过斜率场来大致描绘出解的走向，这是理解复杂动态系统的第一步。 --- 适用对象： 本书特别适合经济学、管理学、社会学、政治学、国际关系及部分人文学科对数学分析有基础需求的学生。本书的数学语言力求精确，但叙述方式始终紧密围绕实际应用场景，旨在帮助学生跨越数学工具与专业知识之间的理解鸿沟。通过本书的学习，读者将能够自信地阅读和理解涉及定量分析的专业文献，并运用数学工具解决复杂的、多因素交织的现实问题。
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