微分几何习题集

出版者:武汉大学出版社

作者:傅朝金

页数:190

出版时间:2005-1

价格:18.00元

装帧:平装

isbn号码:9787307043220

具体描述

微分几何是数学的一个重要分支，它是以微积分为工具研究空间形式的几何学科。

经典的微分几何主要内容是曲线论与曲面论。本书为高等院校微分几何课程的教学参考书。书中系统地介绍了三维欧氏空间中曲线与曲面的基本理论与习题，其内容以局部几何性质为主，但也涉及一些整体几何性质。

全书共分四章，第一章作为预备知识，介绍了向量的代数算与向量函数的微分和积分运算，第二章叙述曲线的基本理论，包括曲线的基本公式与曲线的存在惟一定理以及各种特殊的曲线，第三章叙述曲面的基本理论，包括曲面的第一、第二与第三基本齐式，与曲面有关的各处曲率及曲面上的各种特殊的曲面，第四章简单介绍了曲线和曲面的一些整体的理论和习题。

在叙述几何理论的内容提醒时，本书力示做到全面系统并高度概括，在许多地方通过列表格来展示各有关概念之间的内在联系。

目录信息

第一章  变换群与几何学  第二章  射影平面  第三章  射影变换  第四章  二次曲线的射影理论  第五章  射影几可的子几何  *第六章  几何基础介绍 &nbsp
· · · · · · (收起)

用户评价

这本书的装帧和排版也值得称赞，这对于需要长时间沉浸在复杂数学公式中的读者来说非常重要。字体清晰易读，公式的对齐和编号做得非常规范，这在阅读需要反复对照引用的证明题时，极大地减少了阅读疲劳。我特别喜欢它在章节末尾设置的“几何直观与拓展”部分，虽然这不是直接的习题，但它通过对某些著名定理（比如高斯绝妙定理或黎曼曲率的几何解释）的讨论，将习题中抽象的代数结果与具体的几何图像联系起来。这有效地缓解了纯粹抽象数学带来的枯燥感。通过这些拓展性的思考题，我开始思考微分几何在物理学（如广义相对论）中的潜在应用，这让学习过程充满了探索的乐趣，而不是仅仅为了应付考试。它成功地将枯燥的符号运算与深邃的几何洞察力熔于一炉，是连接理论学习与应用实践的坚实桥梁。

坦白说，我一开始对习题集的期望并不高，通常这类辅助材料要么过于简单，要么难度陡增且缺乏必要的提示。然而，这本书的编排方式给了我一个惊喜。它在一些关键的证明题后，会附带一些非常精炼的“思路引导”或者“关键引理回顾”，这些提示恰到好处，既没有直接给出答案，又有效地指明了解决问题的核心切入点。这种处理方式非常尊重读者的自主探索精神。例如，在讨论切丛上的张量运算时，很多细节的坐标变换过程很容易出错，这本书中的习题往往要求读者明确写出变换规则，并验证其协变性，这极大地强化了我对张量分析的理解。我甚至发现，有些习题的难度已经超越了一般研究生教材的平均水平，更像是博士预备阶段的筛选题。它迫使我回顾并重新理解了微分形式的外积和内积在流形上是如何运作的，这些在初次学习时常常一笔带过的内容，在这里得到了细致的考察和应用。

作为一本习题集，它最核心的价值在于其对“系统性”的坚持。从基础的拓扑流形、向量场，到更高级的联络形式、曲率张量，每一个知识点都被拆解成了若干个不同角度的练习。我注意到，对于一些基础但至关重要的概念，比如微分同胚和浸入，它会设计一系列相互关联的习题，让你从不同维度去理解这些概念的等价性和差异性。这套习题群的设计哲学似乎是：不放过任何一个容易产生误解的细节。举个例子，关于李导数和流的生成元之间的关系，书中设计了两道题，一道侧重于代数计算，另一道则要求从微分形式的稳定性角度进行解释，迫使我必须从不同数学工具的视角审视同一个概念。这种全方位的考察，让我在应对期末考试或后续研究时，面对新的问题不再感到手足无措，因为我已经习惯了从多个角度去剖析一个微分几何的对象了。可以说，这本书不仅仅是解题的工具，更是一套完整的几何思维训练手册。

翻开这本书，首先映入眼帘的是那些结构严谨的章节标题，每一个都像是通往更深奥数学殿堂的门扉。我对其中关于曲面论的那部分印象尤为深刻。作者并没有满足于欧氏空间中光滑曲面的经典处理，而是将其拓展到了更具几何直觉的讨论。习题不再是简单的参数化计算，而是开始要求读者去探究曲面的内在属性，比如如何利用第一、第二基本形式来判定曲面的曲率性质，以及高斯曲率、平均曲率在几何意义上的体现。我记得有一组关于等距浸入的习题，它要求我们运用藤森（Frenet-Serret）标架的演化来证明某些局部性质，那个过程非常烧脑，需要极强的空间想象力和严密的代数推导能力相结合。完成之后，那种豁然开朗的感觉，远胜于单纯看懂书本上的例题。这本书的价值在于，它不只是让你“学会做题”，更是强迫你“学会思考几何问题”。它训练的不是你的计算速度，而是你对几何结构本质的洞察力，让人不得不佩服编纂者的功力，仿佛能感受到他们当年攻克这些难题时的智慧火花。

这本习题集，我拿到手就感觉沉甸甸的，开篇的绪论部分，作者花了很大篇幅梳理了微分几何的核心概念，从基础的流形、切空间讲起，直到纤维丛和联络的初步介绍，逻辑脉络清晰得像一幅精心绘制的地图。我特别欣赏它在理论和习题之间的衔接处理，每讲完一个重要的定理或定义，紧接着就会出现一组与该知识点紧密相关的练习题。这些习题的难度设置也很有层次感，初期的计算题用来巩固基本操作，中间穿插着一些需要巧妙构造的证明题，最后几道大题往往需要综合运用前几章的知识。我感觉自己就像在攀登一座知识的高山，每完成一组题，都能清晰地感受到自己对抽象概念的把握又深入了一层。特别是对于那些抽象的拓扑背景和黎曼几何的初步探索，习题的设计巧妙地引导读者去思考“为什么”而不是仅仅停留在“是什么”。如果说教科书是理论的宏伟蓝图，那么这本习题集就是施工过程中必须用到的精确图纸和脚手架，少了它，很多理论上的高楼大厦都难以真正建立起来。对于自学者来说，这种循序渐进的引导简直是雪中送炭，它有效避免了直接面对复杂证明时的那种迷茫感。