九年级数学(下北师大版)

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出版时间:2005-11
价格:11.80元
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isbn号码:9787530343449
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  • 九年级数学
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具体描述

深入探索:高等代数与抽象结构(面向专业研究者) 本书导读 本书并非针对中学数学课程设计的教材,而是一部面向高等院校数学专业高年级本科生、研究生及专业研究人员的深度学术专著。它旨在系统、严谨地阐述高等代数的核心理论体系,特别是其在抽象结构、群论、环论、域论以及模论等现代数学分支中的应用与深层原理。本书的编写风格力求保持数学论证的精确性与概念定义的严格性,避免使用中学代数中常见的、偏向于计算和技能训练的表述方式。 第一部分:集合论基础与代数结构预备 本部分首先回顾了严格的集合论基础,为后续抽象结构的建立打下逻辑基石。重点讨论了良序原理、选择公理及其在代数结构定义中的必要性。 1.1 集合论的完备性回顾 详细阐述了集合、关系、函数的范畴。特别深入讨论了序关系与等价关系在划分数学对象方面的核心作用。通过构造性的方法讨论了有限集、无限集的基数理论,为理解群的阶与域的特征打下基础。 1.2 代数结构的公理化视角 与初等代数注重解方程不同,本书从公理化角度定义了基本的代数结构。着重分析了二元运算的性质(结合律、分配律、恒等元、逆元)在不同结构中的表现。此处引入了“代数结构”这一核心概念,强调结构本身的研究价值远超具体运算的实现。 第二部分:群论——对称性与变换的代数 群论是抽象代数的核心支柱。本部分超越了简单的置换群计算,专注于群的内部结构、同态性质及其在几何、物理中的映射能力。 2.1 群的定义与基本性质的深化 除了标准的群公理,本书详细分析了子群、陪集、正规子群的构造条件。引入了群的中心、换位子子群等概念,用以衡量群的“阿贝尔化”程度。 2.2 同构、同态与群的分类 重点探讨了同构定理(第一、第二、第三同构定理)的普适性。对有限群,本书引入了Sylow定理的完整证明与应用,用于确定群的结构分解。对无限群,则深入分析了自由群的构造及其在拓扑学中的应用(如基本群的概念引入)。 2.3 作用与表示 详细论述了群在集合上的作用(Group Action)及其与同态的关系。着重讲解了 Cayley 定理(任何群都可被表示为置换群)的意义,以及群表示论的初步概念——将抽象群映射到线性空间上的可逆矩阵群,这为后续学习表示论(如李群理论)奠定了基础。 第三部分:环论——推广的数系与理想 环是拥有两种运算(加法和乘法)的代数结构,是数论、代数几何的基础。本书的讨论聚焦于环的内部关系而非简单的整数或多项式运算。 3.1 环的定义与特殊环类型 详细定义了交换环、单位环。重点区分了整环(Integral Domain)与域(Field)的本质区别,即零因子(Zero Divisor)的排除。对非交换环,讨论了除环(Division Ring)的存在性与性质。 3.2 理想与商环结构 理想(Ideal)被视为环中推广的“正规子群”。本书严格区分了左、右理想与双边理想,并深入研究了理想生成的概念。商环(Quotient Ring)的构造是本章的重点,它展示了如何通过“模去一个理想”来构造出新的、结构更简单的环,这是代数几何中局部化思想的萌芽。 3.3 主理想环、唯一因子分解整环与诺特环 这是环论中最具理论深度的部分之一。本书详细探讨了欧几里得整环、主理想整环(PID)和唯一因子分解整环(UFD)之间的层级关系。特别强调了在特定结构下,多项式环的因子分解性质。引入了诺特定理(Noetherian Property)及其在建立代数几何基础中的关键作用。 第四部分:域论——代数扩张的几何化 域论主要研究域的扩张,即如何在已有域的基础上构造出包含更多元素的域,以保证特定多项式方程有解。 4.1 域的扩张与代数元 定义了域扩张 $E/F$,讨论了扩张的次数 $[E:F]$。重点分析了代数扩张(Algebraic Extension)与超越扩张(Transcendental Extension)的区分,伽罗瓦理论的基础——最小多项式的构造与性质。 4.2 分裂域与正规扩张 深入研究了分裂域(Splitting Field)的唯一性。着重分析了正规扩张与可分扩张(Separable Extension)的性质,这些性质是后续伽罗瓦理论能够成立的必要条件。 4.3 伽罗瓦群:扩张与自同构的桥梁 本书的最高潮部分是伽罗瓦理论的介绍。通过构造伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$,展示了域扩张结构与群结构之间的精确对应关系。这部分将理论应用于解决经典问题,如证明五次及以上代数方程没有根式解(即证明 $S_5$ 不是可解群)。 第五部分:模论导论(高级选修) 作为对环论的自然延伸,本章简要介绍了模(Module)的概念——即“关于环的向量空间”。 5.1 模的基本概念 定义了左模与右模。将向量空间(关于域的模)的许多性质推广到模上,但同时也指出了与向量空间本质的区别(例如,模不一定有基,即可能不是自由模)。 5.2 模的结构定理 简要介绍有限生成阿贝尔群的结构定理,并将其推广到更一般的模上,为理解代数几何中的复杂对象(如凝聚层)提供了初步的代数框架。 总结与展望 本书的最终目标是引导读者从具体的运算技巧提升到对数学结构的深刻理解。它为学习代数拓扑、代数几何、表示论以及更深层次的抽象代数分支(如同调代数、李代数)铺设了坚实、严谨且现代的理论基础。本书的难度远超高中或普通本科基础课程,它要求读者具备扎实的逻辑思维能力和对公理化体系的接受能力。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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从实用性角度来看,这本书的装订质量着实值得称赞。高强度的使用,包括在课间、晚自习甚至周末的图书馆里,反复地折叠和翻页,它依然保持着良好的形态。内页的印刷清晰度很高,尤其是那些复杂的几何图形和函数图像,线条的粗细和角度的标注都非常精准,这在做几何题时至关重要,因为一个微小的误差可能导致整个证明方向的偏离。我对它在代数部分处理大数运算和符号变换的清晰度印象深刻,每一步的移项、提取公因式都标注得井井有条,几乎没有出现过油墨模糊的情况,这在长时间学习后眼睛容易疲劳的时候,极大地减轻了阅读负担。如果说有什么可以改进的,那就是希望在未来修订版中,能稍微增加一些与现代科技应用相关的案例,比如让代数方程与更贴近日常生活的建模问题结合起来,增加一些趣味性,而不是总是围绕着传统的几何和物理模型。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得挺朴素的,没有太多花哨的装饰,让人感觉很专注。拿到手里的时候,分量适中,纸张的质感也挺舒服的,不像有些教辅那么薄,能让人安心地做笔记和反复翻阅。我记得我是在暑假开始前买的,那时候还想着能提前预习一下,结果真正翻开之后才发现,内容安排得非常紧凑,几乎没有让人喘息的空间。尤其是几何部分,那些定理和证明步骤,图文并茂地展示出来,虽然清晰,但对于初学者来说,理解起来还是需要下不少功夫的。我尤其欣赏它在例题选择上的独到之处,很多题目都像是从真实考试中精选出来的,很有针对性。比如某道关于二次函数的综合题,涉及到了解析几何的一些初步概念,对我后续学习代数和几何的结合非常有帮助。不过,说实话,有时候那些详细的步骤解析我看得云里雾里,可能还是需要老师在课堂上再做一次深入的讲解才能真正融会贯通。总的来说,它给我的第一印象是严谨、扎实,绝对是那种能陪伴你度过一个充实学习阶段的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

不得不提的是,这本书在处理那些“压轴大题”或者说综合应用题时的风格,简直可以说是冷峻而高效。它不会过多地渲染背景故事,直接把数学模型的结构摆在你面前,让你直面问题的核心。我记得有一次为了准备一个模拟测试,我反复研究了其中关于“最优化问题”的那几个案例。书中给出的解法往往是最精炼的那一种,几乎没有冗余的步骤,每一步都是为了达成目标而存在的。这对我培养解题的“精确度”很有帮助,让我学会了如何摒弃不必要的干扰信息,直击要害。然而,这种精炼的风格也带来了一个副作用:对于我这种喜欢“刨根问底”的学生来说,我常常会好奇,为什么解题者会选择这种方法而不是另一种?书中对此类方法的“选择依据”的讨论相对较少,更多的是展示“正确路径”。如果能增加一些不同解法之间的对比分析,或者加入一些反思性的注释,对我们深化理解会更有裨益。总体来说,它是一本教会你如何高效“战斗”的工具书。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的整体感觉是,它更像是一位经验丰富、不苟言笑的老教师,他相信学生有能力通过自己的努力去探索和发现真理,所以他只是提供了一张精确的“地图”,而不是手把手牵着你走完全程。它很少使用“循序渐进”这样的安抚性语言,而是直接把你带到知识的“前线”。我尤其欣赏它在引入新概念时那种审慎的态度,每一个新符号、每一个新定义都会被放在一个严密的逻辑框架内进行解释,确保学生不会因为基础不牢而对后续内容产生抵触情绪。对我个人而言,这本书带来的最大收获是养成了“先思考,再下笔”的习惯。因为它提供的习题难度分布非常合理,前面的基础题让你热身,中间的提升题让你思考策略,而后面的挑战题则要求你整合多个知识点。这种节奏感,让我觉得数学学习不再是枯燥的重复劳动,而是一场需要策略和耐力的智力挑战。这是一本真正可以信赖的、能让你打下坚实基础的教材。

评分☆☆☆☆☆

这本教材的叙述方式有一种奇特的“老派”魅力,它不像市面上很多新出的教辅那样追求酷炫的排版或者使用大量的网络热词来吸引人。相反,它更像是遵循着一套非常传统的数学教育逻辑在推进。每一章的知识点展开都非常线性,从最基础的定义开始,然后是性质的阐述,接着就是一系列的巩固练习。我最喜欢的是它在章节末尾设置的“知识网络构建”部分,虽然看起来简单,但它帮助我梳理了本章所有知识点之间的逻辑关系,避免了我知识点孤立记忆的毛病。有一次我在做关于概率的题目时卡住了,翻回去看那张知识网络图,突然就明白了为什么某些条件组合在一起会产生特定的结果。唯一美中不足的是,对于那些学习基础比较薄弱的同学来说,它提供的“脚手架”可能不够坚固,很多过渡性的解释不够充分,比如涉及到一些比较抽象的向量概念的引入,初次接触时会感觉有点突兀。但这或许也是一种挑战吧,逼着我们自己去多思考,去探究背后的原理,而不是被动地接受。

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